上海市東華大學(xué)附屬奉賢致遠(yuǎn)中學(xué)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期中考數(shù)學(xué)Word版含解析.docx

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東華致遠(yuǎn)2023學(xué)年高二第一學(xué)期期中教學(xué)評(píng)估數(shù)學(xué)試卷考試時(shí)間：120分鐘滿(mǎn)分150分一、填空題（本大題共12小題，第1-6每題4分，7-12每題5分，共54分）1.已知球半徑是，則球體積為_(kāi)___________.2.已知四棱錐的底面積為4，體積為8，則該四棱錐的高為_(kāi)___________3.已知圓錐的軸截面是一個(gè)邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，則該圓錐的側(cè)面積為_(kāi)_____.4.設(shè)，若向量與向量平行，則__________.5.已知經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)的一個(gè)法向量為，則的點(diǎn)法式方程為_(kāi)_______.6.把一個(gè)圓錐截成圓臺(tái)，已知圓臺(tái)的上、下底面半徑的比為，母線(xiàn)（原圓錐母線(xiàn)在圓臺(tái)中的部分）長(zhǎng)為9，則原圓錐的母線(xiàn)長(zhǎng)______．7.體積為64正方體的頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為_(kāi)____________．8.平面的法向量為，，那么直線(xiàn)與平面的關(guān)系是_____．9.已知直線(xiàn)和直線(xiàn)都過(guò)點(diǎn)，求過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)的直線(xiàn)方程______．10.如圖，正方的棱長(zhǎng)為2，若空間中的動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足，若，則二面角的平面角的大小為_(kāi)__________.11.如圖，一個(gè)圓錐挖掉一個(gè)內(nèi)接正三棱柱（棱柱各頂點(diǎn)均在圓錐側(cè)面或底面上），若棱柱側(cè)面落在圓錐底面上．已知正三棱柱底面邊長(zhǎng)為，高為2，則該幾何體的表面積______________． 12.下圖是位于南橋工商銀行和大菜場(chǎng)南面的一個(gè)正方體雕塑，其六個(gè)面鏤空刻滿(mǎn)了大美奉賢的多個(gè)地標(biāo).可以將其視為：某正方體的頂點(diǎn)A在平面內(nèi)，三條棱都在平面的同側(cè).若頂點(diǎn)B，C，D到平面的距離分別為，，2，則該正方體外接球的表面積為_(kāi)_____.二、選擇題（本大題共4小題，每題5分，共20分）13.下列幾何體中，多面體是（）A.B.C.D.14.關(guān)于直線(xiàn)的傾斜角和斜率，有下列說(shuō)法：①兩直線(xiàn)的傾斜角相等，它們的斜率也相等；②平行于x軸直線(xiàn)的傾斜角為或；③若直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)與，則該直線(xiàn)的斜率為．其中正確說(shuō)法個(gè)數(shù)為（）A.3B.2C.1D.015.空間中不共面的三個(gè)向量，，可以作為空間向量的一組基底，若，則稱(chēng)在基底下的坐標(biāo)為，在四面體中，，，．點(diǎn)在上．且，為中點(diǎn)，則在基底下的坐標(biāo)為（） A.B.C.D.16.已知空間四邊形的每條邊和對(duì)角線(xiàn)的長(zhǎng)都等于a，點(diǎn)E、F分別是、的中點(diǎn)，則的值為（）A.B.C.D.三、解答題（本大題共5題，共76分）17.已知直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，斜率為，求直線(xiàn)的點(diǎn)法向式、點(diǎn)斜式和一般式方程．18.已知空間中的三點(diǎn)，，，設(shè)，.（1）若與互相垂直，求的值；（2）求點(diǎn)到直線(xiàn)的距離.19.有很多立體圖形都體現(xiàn)了數(shù)學(xué)對(duì)稱(chēng)美，其中半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體，半正多面體因其最早由阿基米德研究發(fā)現(xiàn)，故也被稱(chēng)作阿基米德體.如圖，這是一個(gè)棱數(shù)為，棱長(zhǎng)都相等的半正多面體，它的所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)正方體的表面上，可以看成是由一個(gè)正方體截去八個(gè)一樣的四面體所得.已知點(diǎn)為線(xiàn)段上一點(diǎn)且，若直線(xiàn)與直線(xiàn)所成角的余弦值為，設(shè)半正多面體的棱長(zhǎng)為，將半正多面體補(bǔ)成正方體，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.（1）求正方體的棱長(zhǎng)，并寫(xiě)出A，B，C，D，F(xiàn)點(diǎn)的坐標(biāo).（2）求.20.如圖，在空間之間坐標(biāo)系中，四棱錐的底面在平面上，其中點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，點(diǎn)在軸上，，，頂點(diǎn)在軸上，且，. （1）求直線(xiàn)與平面所成角的大?。唬?）設(shè)為的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，且，求二面角的正弦值.21.如圖，為圓錐的頂點(diǎn)，是圓錐底面的圓心，為底面直徑，為底面圓的內(nèi)接正三角形，且邊長(zhǎng)為，點(diǎn)在母線(xiàn)上，且，．（1）求證：平面；（2）求證：平面平面（3）若點(diǎn)為線(xiàn)段上的動(dòng)點(diǎn)．當(dāng)直線(xiàn)與平面所成角的正弦值最大時(shí)，求此時(shí)點(diǎn)到平面的距離． 東華致遠(yuǎn)2023學(xué)年第一學(xué)期期中教學(xué)評(píng)估高二數(shù)學(xué)考試時(shí)間：120分鐘滿(mǎn)分150分一、填空題（本大題共12小題，第1-6每題4分，7-12每題5分，共54分）1.已知球的半徑是，則球體積為_(kāi)___________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)球的體積公式直接計(jì)算得結(jié)果.【詳解】由于球的半徑為，故體積為.【點(diǎn)睛】本小題主要考查球的體積公式，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.2.已知四棱錐的底面積為4，體積為8，則該四棱錐的高為_(kāi)___________【答案】6【解析】【分析】根據(jù)棱錐的體積公式，即可求得答案.【詳解】設(shè)該四棱錐的高為h，則，故答案為：63.已知圓錐的軸截面是一個(gè)邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，則該圓錐的側(cè)面積為_(kāi)_____.【答案】【解析】【分析】由軸截面得到圓錐的底面半徑和母線(xiàn)，利用側(cè)面積公式求出答案.【詳解】由題意得，圓錐的底面半徑為，母線(xiàn)長(zhǎng)為，故圓錐的側(cè)面積為.故答案為：4.設(shè)，若向量與向量平行，則__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)已知可得，求解即可得出答案. 【詳解】因?yàn)椋杂校遥?，，所?故答案：.5.已知經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)的一個(gè)法向量為，則的點(diǎn)法式方程為_(kāi)_______.【答案】【解析】【分析】由直線(xiàn)方程的點(diǎn)法式求解即可.【詳解】∵直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，一個(gè)法向量為，∴直線(xiàn)的點(diǎn)法式方程為.故答案為：.6.把一個(gè)圓錐截成圓臺(tái)，已知圓臺(tái)的上、下底面半徑的比為，母線(xiàn)（原圓錐母線(xiàn)在圓臺(tái)中的部分）長(zhǎng)為9，則原圓錐的母線(xiàn)長(zhǎng)______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)圓臺(tái)的幾何特征利用三角形相似即可求得結(jié)果.【詳解】由題意可得，幾何體如下圖所示：取軸截面可知，圓臺(tái)的上、下底面半徑的比為，且，設(shè)圓錐的母線(xiàn)長(zhǎng)為，根據(jù)相似比可得，解得，即原圓錐的母線(xiàn)長(zhǎng)為.故答案為：.7.體積為64的正方體的頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為_(kāi)____________．【答案】 【解析】【分析】根據(jù)正方體的體積公式，求得棱長(zhǎng)，結(jié)合球與正方體的對(duì)稱(chēng)性，求正方體的體對(duì)角線(xiàn)，可得球的半徑，利用球的表面積公式，可得答案.【詳解】設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，則體積，即，易知正方體的體對(duì)角線(xiàn)為外接球的直徑，設(shè)外接球的半徑為，則，即，故該球的表面積.故答案為：.8.平面的法向量為，，那么直線(xiàn)與平面的關(guān)系是_____．【答案】或【解析】【分析】計(jì)算平面的法向量和的數(shù)量積，即可判斷的關(guān)系，進(jìn)而判斷直線(xiàn)與平面的關(guān)系.【詳解】由題意知，，則，故，則或，故答案為：或9.已知直線(xiàn)和直線(xiàn)都過(guò)點(diǎn)，求過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)的直線(xiàn)方程______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)，得出所求直線(xiàn)方程.【詳解】因?yàn)橹本€(xiàn)和直線(xiàn)都過(guò)點(diǎn)，所以，.由上式可得點(diǎn)和點(diǎn)都在直線(xiàn)上，即過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)的直線(xiàn)方程為.故答案為： 10.如圖，正方的棱長(zhǎng)為2，若空間中的動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足，若，則二面角的平面角的大小為_(kāi)__________.【答案】##【解析】【分析】根據(jù)幾何法求解二面角的平面角，即可求解大小.【詳解】若，則為正方體的體對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn)，即為正方體的中心，因此平面即為平面，平面，平面，，，是二面角的平面角，在等腰直角三角形中，，故二面角的平面角為，故答案為：11.如圖，一個(gè)圓錐挖掉一個(gè)內(nèi)接正三棱柱（棱柱各頂點(diǎn)均在圓錐側(cè)面或底面上），若棱柱側(cè)面落在圓錐底面上．已知正三棱柱底面邊長(zhǎng)為，高為2，則該幾何體的表面積______________． 【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，求得底面圓的半徑以及圓錐的母線(xiàn)長(zhǎng)，再由多面體的表面積公式代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【詳解】因?yàn)檎庵牡酌孢呴L(zhǎng)為，高為2，則，，設(shè)圓錐的底面圓圓心為O，則O是矩形的中心，設(shè)圓O半徑為，有，即，令的中點(diǎn)為，連接，則，且，，，于是，解得，則圓錐的母線(xiàn)長(zhǎng)，圓錐的底面圓面積，側(cè)面積， 三棱柱的表面積為，所以該幾何體的表面積為：.故答案為：12.下圖是位于南橋工商銀行和大菜場(chǎng)南面的一個(gè)正方體雕塑，其六個(gè)面鏤空刻滿(mǎn)了大美奉賢的多個(gè)地標(biāo).可以將其視為：某正方體的頂點(diǎn)A在平面內(nèi)，三條棱都在平面的同側(cè).若頂點(diǎn)B，C，D到平面的距離分別為，，2，則該正方體外接球的表面積為_(kāi)_____.【答案】【解析】【分析】利用點(diǎn)到平面的距離的向量求法得出法向量的坐標(biāo)，再利用單位向量的模求出正方體棱長(zhǎng)，根據(jù)正方體外接球的半徑為體對(duì)角線(xiàn)求解即可.【詳解】設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a，取空間的一個(gè)基底，設(shè)是平面的一個(gè)方向向上的單位法向量.由空間向量基本定理，存在唯一有序?qū)崝?shù)組，使得.由題意，在方向上的投影向量的長(zhǎng)度分別為，，2.于是，即，即，即. 同理，.從而，由，得，即，解得，所以正方體的外接球半徑為，外接球的表面積為.故答案為：二、選擇題（本大題共4小題，每題5分，共20分）13.下列幾何體中，多面體是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】判斷各選項(xiàng)中幾何體的形狀，從而可得出多面體的選項(xiàng).【詳解】A選項(xiàng)中的幾何體是球，是旋轉(zhuǎn)體；B選項(xiàng)中的幾何體是三棱柱，是多面體；C選項(xiàng)中幾何體是圓柱，旋轉(zhuǎn)體；D選項(xiàng)中的幾何體是圓錐，是旋轉(zhuǎn)體.故選B.【點(diǎn)睛】本題考查多面體的判斷，要熟悉多面體與旋轉(zhuǎn)體的基本概念，考查對(duì)簡(jiǎn)單幾何體概念的理解，屬于基礎(chǔ)題.14.關(guān)于直線(xiàn)的傾斜角和斜率，有下列說(shuō)法：①兩直線(xiàn)的傾斜角相等，它們的斜率也相等；②平行于x軸的直線(xiàn)的傾斜角為或；③若直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)與，則該直線(xiàn)的斜率為．其中正確說(shuō)法的個(gè)數(shù)為（）A.3B.2C.1D.0【答案】D【解析】 【分析】對(duì)于①：舉反例：傾斜角均為，斜率不存在.否定結(jié)論；對(duì)于②：由傾斜角的范圍直接判斷；對(duì)于③：舉反例：當(dāng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)與的直線(xiàn)的斜率不存在.否定結(jié)論【詳解】若兩直線(xiàn)的傾斜角均為90°，則它們的斜率都不存在.所以①不正確；直角傾斜角的取值范圍為[,)，所以平行于x軸的直線(xiàn)的傾斜角為不可能是.所以②不正確；當(dāng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)與的直線(xiàn)的斜率不存在；當(dāng)時(shí)過(guò)點(diǎn)與的直線(xiàn)的斜率為.所以③不正確.故選：D.15.空間中不共面的三個(gè)向量，，可以作為空間向量的一組基底，若，則稱(chēng)在基底下的坐標(biāo)為，在四面體中，，，．點(diǎn)在上．且，為中點(diǎn)，則在基底下的坐標(biāo)為（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】首先利用基底表示向量，再根據(jù)定義求解坐標(biāo).【詳解】因?yàn)椋栽诨紫碌淖鴺?biāo)為.故選：B16.已知空間四邊形的每條邊和對(duì)角線(xiàn)的長(zhǎng)都等于a，點(diǎn)E、F分別是、的中點(diǎn)，則的值為（） A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)向量的線(xiàn)性運(yùn)算運(yùn)算律可得，在根據(jù)數(shù)量積的定義求其值.【詳解】由題意，和之間夾角均為，結(jié)合平面向量線(xiàn)性運(yùn)算有故選：C三、解答題（本大題共5題，共76分）17.已知直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，斜率為，求直線(xiàn)的點(diǎn)法向式、點(diǎn)斜式和一般式方程．【答案】點(diǎn)法向式；點(diǎn)斜式；一般式.【解析】【分析】根據(jù)給定條件，求出直線(xiàn)的方向向量，進(jìn)而求出其法向量，再依次求出直線(xiàn)的點(diǎn)法向式、點(diǎn)斜式和一般式方程作答.【詳解】因?yàn)橹本€(xiàn)的斜率為，于是得直線(xiàn)的一個(gè)方向向量為，設(shè)直線(xiàn)的一個(gè)法向量為，則有，令，得， 所以直線(xiàn)的點(diǎn)法向式方程是，點(diǎn)斜式方程為，一般式方程為.18.已知空間中的三點(diǎn)，，，設(shè)，.（1）若與互相垂直，求的值；（2）求點(diǎn)到直線(xiàn)的距離.【答案】(1)或（2）【解析】【分析】(1）寫(xiě)出兩個(gè)向量的坐標(biāo)，利用向量的數(shù)量積為0，求解k即可．(2）求出直線(xiàn)PM的單位方向向量為，然后利用空間點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式求解即可.【詳解】因?yàn)?，，，所以?），，因?yàn)椋?，整理得，解得或，所以的值為?(2)設(shè)直線(xiàn)的單位方向向量為，則由于，所以， 所以點(diǎn)N到直線(xiàn)PM的距離【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)空間向量的坐標(biāo)表示，利用向量垂直的數(shù)量積為0，向量表示的點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式是解決本題的關(guān)鍵,考查了運(yùn)算能力，屬于中檔題.19.有很多立體圖形都體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱(chēng)美，其中半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體，半正多面體因其最早由阿基米德研究發(fā)現(xiàn)，故也被稱(chēng)作阿基米德體.如圖，這是一個(gè)棱數(shù)為，棱長(zhǎng)都相等的半正多面體，它的所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)正方體的表面上，可以看成是由一個(gè)正方體截去八個(gè)一樣的四面體所得.已知點(diǎn)為線(xiàn)段上一點(diǎn)且，若直線(xiàn)與直線(xiàn)所成角的余弦值為，設(shè)半正多面體的棱長(zhǎng)為，將半正多面體補(bǔ)成正方體，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.（1）求正方體的棱長(zhǎng)，并寫(xiě)出A，B，C，D，F(xiàn)點(diǎn)的坐標(biāo).（2）求.【答案】（1）2，點(diǎn)的坐標(biāo)見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題中建立的空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合半正多面體的棱長(zhǎng)，可求得正方體棱長(zhǎng)，繼而求得各點(diǎn)坐標(biāo)；（2）求出相關(guān)向量坐標(biāo)，利用坐標(biāo)法表示異面直線(xiàn)夾角余弦值，列出方程，解方程即可.【小問(wèn)1詳解】由題意可知，半正多面體的棱長(zhǎng)為，則正方體的棱長(zhǎng)為， ??所以，，，，；【小問(wèn)2詳解】，，所以，，則，則，設(shè)直線(xiàn)與直線(xiàn)所成角為，則，即，解得或（舍），即的值為.20.如圖，在空間之間坐標(biāo)系中，四棱錐的底面在平面上，其中點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，點(diǎn)在軸上，，，頂點(diǎn)在軸上，且，.（1）求直線(xiàn)與平面所成角的大小； （2）設(shè)為的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，且，求二面角的正弦值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）列出、、、、的坐標(biāo)，計(jì)算出平面的一個(gè)法向量，利用空間向量法計(jì)算出直線(xiàn)與平面所成角的正弦值，即可得出直線(xiàn)與平面所成角的大小；（2）求出點(diǎn)、的坐標(biāo)，計(jì)算出平面和的法向量、，利用空間向量法求出二面角的余弦值的絕對(duì)值，由此可得出二面角的正弦值.【詳解】因?yàn)樗睦忮F的底面在平面上，其中點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，點(diǎn)在軸上，，，頂點(diǎn)在軸上，且，，所以，，，，.（1），，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即，取，則，，得.所以.所以直線(xiàn)與平面所成角的大小為；（2）因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，點(diǎn)在上，且，所以，.設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即，取，則，，得.又平面的一個(gè)法向量為，所以. 所以二面角的正弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查利用空間向量法求直線(xiàn)與平面所成的角和二面角，解題的關(guān)鍵就是要列出問(wèn)題所涉及的點(diǎn)的坐標(biāo)，并計(jì)算出平面的法向量，考查運(yùn)算求解能力，屬于中等題.21.如圖，為圓錐頂點(diǎn)，是圓錐底面的圓心，為底面直徑，為底面圓的內(nèi)接正三角形，且邊長(zhǎng)為，點(diǎn)在母線(xiàn)上，且，．（1）求證：平面；（2）求證：平面平面（3）若點(diǎn)為線(xiàn)段上動(dòng)點(diǎn)．當(dāng)直線(xiàn)與平面所成角的正弦值最大時(shí)，求此時(shí)點(diǎn)到平面的距離．【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）證明見(jiàn)解析（3）【解析】【分析】（1）設(shè)交于點(diǎn)，連接，利用三角形相似證得，從而證得，進(jìn)而證得直線(xiàn)平面；（2）通過(guò)平面，證得平面，所以平面平面；（3）建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，通過(guò)向量和平面的法向量建立直線(xiàn)與平面所成角的正弦值的關(guān)系式，并利用基本不等式，即可求最值.【小問(wèn)1詳解】如圖，設(shè)交于點(diǎn)，連接，由圓錐的性質(zhì)可知底面， 因?yàn)槠矫?，所以，又因?yàn)槭堑酌鎴A的內(nèi)接正三角形，由，可得，，解得，又，，所以，即，，又因?yàn)?，所以，所以，即，又平面，直線(xiàn)平面，平面，所以直線(xiàn)平面．【小問(wèn)2詳解】因?yàn)槠矫?，所以平面，又平面，所以平面平面；【小?wèn)3詳解】易知，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線(xiàn)分別為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，所以，，，， 設(shè)平面的法向量為，則，令，則，設(shè)，可得，設(shè)直線(xiàn)與平面所成的角為，則，即，令，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以當(dāng)時(shí)，有最大值， 即當(dāng)時(shí)，的最大值為1，此時(shí)點(diǎn)，所以，所以點(diǎn)到平面的距離，故當(dāng)直線(xiàn)與平面所成角的正弦值最大時(shí)，點(diǎn)到平面的距離為.