四川省綿陽市江油中學(xué)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)模擬三 Word版含解析.docx

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江油中學(xué)2022級(jí)高二上期期末模擬試卷（3）數(shù)學(xué)試卷一、單選題1.已知，是平面的一個(gè)法向量，且是平面內(nèi)一點(diǎn)，則點(diǎn)A到平面的距離為（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】求出的坐標(biāo)，再利用點(diǎn)到面的距離公式求解即可.【詳解】由已知，又，則點(diǎn)A到平面的距離為.故選：D.2.圓與圓的公共弦的長(zhǎng)為（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】求出圓的公共弦所在直線，利用圓中半徑、半弦長(zhǎng)、圓心距之間的關(guān)系求弦長(zhǎng).【詳解】?jī)蓤A方程作差可得：，即兩圓公共弦所在直線方程為，因?yàn)閳A的圓心為，半徑為，所以圓心到公共弦所在直線距離，故弦長(zhǎng)為.故選：B3.已知雙曲線的漸近線方程為，且經(jīng)過點(diǎn)，則的標(biāo)準(zhǔn)方程為（） A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)雙曲線的漸近線方程，可設(shè)雙曲線方程，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入，求得參數(shù)，即可得答案.【詳解】因?yàn)殡p曲線的漸近線方程為，故可設(shè)雙曲線方程為，又經(jīng)過點(diǎn)，故，故雙曲線方程為，故選：A4.如圖是某景區(qū)內(nèi)的一座拋物線拱形大橋，該橋拋物線拱形部分的橋面跨度為10米，拱形最高點(diǎn)與水面的距離為6米，為增加景區(qū)的夜晚景色，景區(qū)計(jì)劃在拱形橋的焦點(diǎn)處懸掛一閃光燈，則豎直懸掛的閃光燈到水面的距離為（）（結(jié)果精確到0.01）A.4.96B.5.06C.4.26D.3.68【答案】A【解析】【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)拋物線的方程，根據(jù)題意知拋物線經(jīng)過點(diǎn)，把點(diǎn)代入拋物線方程即可求出，根據(jù)豎直懸掛的閃光燈距離水面的距離為，即可求出答案.【詳解】如圖，設(shè)拋物線的方程為，拋物線經(jīng)過點(diǎn)， 所以，解得，所以拋物線頂點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為，故豎直懸掛的閃光燈距離水面的距離為米.故選：A.5.若直線的一個(gè)方向向量，且在軸上的截距為2，則的方程為（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由方向向量求出直線的斜率，進(jìn)而得到直線方程.【詳解】由直線的一份方向向量，得的斜率，又在軸上的截距為2，所以的方程為，即.故選：A.6.如圖，在直三棱柱中，面，，則直線與直線夾角的余弦值為（）A.B.C.D.【答案】C【解析】 【分析】以為原點(diǎn)，所在的直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，求出，，利用向量的夾角公式可得答案.【詳解】在直三棱柱中，平面，平面，所以，，平面，平面，所以，所以互相垂直，以為原點(diǎn)，分別以所在的直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，可得，，所以.所以直線與直線夾角的余弦值為.故選：C.7.已知圓：，過點(diǎn)作圓的切線，則切線長(zhǎng)為（）A.3B.4C.5D.6【答案】B【解析】【分析】求出圓的圓心與半徑，利用圓心到的距離與半徑、切線長(zhǎng)滿足勾股定理，求出切線長(zhǎng)即可．【詳解】圓：，即，圓心坐標(biāo)，半徑為3， 圓心到的距離為5，所以切線長(zhǎng)為．故選：B8.某學(xué)校高一高二年級(jí)共1000人，其中高一年級(jí)400人，現(xiàn)按照年級(jí)進(jìn)行分層隨機(jī)抽樣調(diào)查學(xué)生身高，得到高一、高二兩個(gè)年級(jí)的樣本平均數(shù)分別為，和樣本標(biāo)準(zhǔn)差分別為3，4，則總體方差（）A.18.5B.19.2C.19.4D.20【答案】B【解析】【分析】利用分層抽樣方差公式計(jì)算即可得.【詳解】總體樣本平均數(shù)，.故選：B.二、多選題9.已知直線，直線，則下列結(jié)論正確的是（）A.在軸上的截距為B.過定點(diǎn)C.若，則或D.若，則【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)直線截距的定義可判定A，由直線方程可求定點(diǎn)判定B，利用兩直線的位置關(guān)系可判定C、D.【詳解】由易知，故A正確；由，故B正確；若兩直線平行，則有且，解得，故C錯(cuò)誤；若兩直線垂直，則有，故D正確. 故選：ABD10.下列關(guān)于空間向量的說法正確的是（）A.若是空間的一個(gè)基底，則也是空間的一個(gè)基底B.已知，，若，則C.任意向量，，滿足D.若，，是空間的一組基底，且，則四點(diǎn)共面【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)共面與否即可判斷A，根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算即可判斷B，根據(jù)共線定理即可求解C，根據(jù)共面即可求解D.【詳解】因?yàn)槭强臻g的一個(gè)基底，則，，不共面，若，，共面，則存在實(shí)數(shù)，使得，故，由于，，不共面，所以，所以無解，故，，不共面，所以也可以作為空間的一個(gè)基底，故A正確；因?yàn)?，，所以，，又，所以，解得，故B正確；因?yàn)橄蛄?，不一定是共線向量，因此不一定成立，故C錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以，即，所以四點(diǎn)共面，故D正確．故選：ABD．11.已知圓：，直線：，則（）A.直線與圓的軌跡一定相交B.直線與圓交于兩點(diǎn)，則的最大值為 C.圓上點(diǎn)到直線距離的最大值為D.當(dāng)時(shí)，則圓上存在四個(gè)點(diǎn)到直線的距離為1.【答案】AD【解析】【分析】確定直線過定點(diǎn)，點(diǎn)在圓內(nèi)，A正確，當(dāng)時(shí)，最大，計(jì)算得到B錯(cuò)誤，最大值為，C錯(cuò)誤，確定直線過圓心，，D正確，得到答案.【詳解】圓：，圓心，半徑，直線過定點(diǎn)，，對(duì)選項(xiàng)A：，點(diǎn)圓內(nèi)，故直線與圓一定相交，正確；對(duì)選項(xiàng)B：當(dāng)過圓心時(shí)，最大為，錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)C：圓上點(diǎn)到直線距離的最大值為，錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)D：直線：，圓心在直線上，，故圓上存在四個(gè)點(diǎn)到直線的距離為1，正確；故選：AD12.已知直線l：過拋物線C：的焦點(diǎn)F，且與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，則（）A.B.C.D.拋物線C上的動(dòng)點(diǎn)到直線距離的最小值為【答案】BD【解析】【分析】求得拋物線的焦點(diǎn)代入直線的方程，求得，可判定A錯(cuò)誤；聯(lián)立方程組，根據(jù)韋達(dá)定理和拋物線的焦點(diǎn)弦的性質(zhì)，求得，可判定B正確；結(jié)合拋物線的定義，求得的值，可判定C錯(cuò)誤；設(shè)設(shè)是拋物線上的任意一點(diǎn)，利用點(diǎn)到直線的距離公式，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，可判定D正確. 【詳解】由拋物線，可得焦點(diǎn)為，因?yàn)檫^拋物線的焦點(diǎn)，可得，解得，所以A錯(cuò)誤；聯(lián)立方程組，整理得，設(shè)，則，，由拋物線的焦點(diǎn)弦的性質(zhì)，可得，所以B正確；又由，解得，根據(jù)拋物線的定義，可得，所以，所以C錯(cuò)誤；設(shè)是拋物線上的任意一點(diǎn)，可得，則點(diǎn)到直線的距離為，當(dāng)時(shí)，，所以D正確.故選：BD.三、填空題13.管理人員為了了解某水庫(kù)里大概有多少條魚，拖網(wǎng)打撈出1000條魚，在魚身處打上一個(gè)不會(huì)掉落的印記，再放回水庫(kù)，一個(gè)月后再次捕撈1000條魚，發(fā)現(xiàn)其中有20條有印記的魚，問：這個(gè)水庫(kù)里大概有______條魚．【答案】【解析】【分析】設(shè)這個(gè)水庫(kù)里大概有條魚，利用等比例性質(zhì)求即可.【詳解】令這個(gè)水庫(kù)里大概有條魚，由題意有，可得條.故答案為：14.某大學(xué)餐飲中心為了解新生的飲食習(xí)慣，在全校大一新生中進(jìn)行了抽樣調(diào)查．已知在被調(diào)查的新生中有5名數(shù)學(xué)系的學(xué)生，其中2名喜歡甜品現(xiàn)在從這5名學(xué)生中隨機(jī)抽取3人、則抽到的3人中有人喜歡甜品的概率為_________． 【答案】【解析】【分析】利用列舉法，結(jié)合古典概型概率計(jì)算公式求得正確答案.【詳解】名喜歡甜品的編號(hào)；名不喜歡甜品的編號(hào)，從中任取人，基本事件有：，，共個(gè).抽到的3人中有人喜歡甜品的事件有：，，共個(gè).所以抽到的3人中有人喜歡甜品的概率為.故答案為：15.過點(diǎn)作斜率為的直線與橢圓：相交于，若是線段的中點(diǎn)，則橢圓的離心率為_____．【答案】【解析】【詳解】試題分析：設(shè)A，B，則①，②，∵M(jìn)是線段AB的中點(diǎn)，∴，∵直線AB的方程是，∴，∵過點(diǎn)M（1，1）作斜率為的直線與橢圓C：（a＞b＞0）相交于A，B兩點(diǎn)，M是線段AB的中點(diǎn)，∴①②兩式相減可得，即．考點(diǎn)：橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì) 16.已知點(diǎn)，點(diǎn)P是雙曲線左支上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)為雙曲線右焦點(diǎn)，N是圓的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為_______________．【答案】【解析】【分析】利用，當(dāng)且僅當(dāng)是的延長(zhǎng)線與圓的交點(diǎn)時(shí)取等號(hào)，及，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)，再結(jié)合雙曲線的定義可得．【詳解】由已知，是雙曲線的左焦點(diǎn)，它也是圓的圓心，，圓半徑為，，當(dāng)且僅當(dāng)是的延長(zhǎng)線與圓的交點(diǎn)時(shí)取等號(hào)，，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)，所以，又由雙曲線定義，，所以，即的最小值為，故答案為：．四、解答題17.已知圓圓心在直線上，且與直線相切于點(diǎn)．（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若過點(diǎn)的直線被圓截得的弦長(zhǎng)為，求直線的方程．【答案】（1）（2）或 【解析】【分析】（1）設(shè)圓心，根據(jù)直線與直線垂直，根據(jù)直線的斜率關(guān)系可求出的值，可得出圓心的坐標(biāo)，進(jìn)而可求得圓的半徑，由此可得出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）利用勾股定理求出圓心到直線的距離，對(duì)直線的斜率是否存在進(jìn)行分類討論，在直線的斜率不存在時(shí)，直接驗(yàn)證即可；在直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，利用點(diǎn)到直線的距離公式可得出關(guān)于的方程，解出的值，綜合可得出直線的方程.【小問1詳解】解：因?yàn)閳A心在直線上，設(shè)圓心，則與直線垂直，且直線的斜率為，則，可得，解得，所以，圓心的坐標(biāo)為，則圓的半徑為，所以，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【小問2詳解】解：由題意可知，圓心到直線的距離為，若直線軸，則直線的方程為，此時(shí)，圓心到直線的距離為，合乎題意；若直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，即，則圓心到直線的距離為，可得，解得，此時(shí)，直線的方程為，即.綜上所述，直線的方程為或.18.2020年1月15日教育部制定出臺(tái)了“強(qiáng)基計(jì)劃”，2020年起不再組織開展高校自主招生工作，改為實(shí)行強(qiáng)基計(jì)劃，強(qiáng)基計(jì)劃主要選拔培養(yǎng)有志于服務(wù)國(guó)家重大戰(zhàn)略需求且綜合素質(zhì)優(yōu)秀或基礎(chǔ)學(xué)科拔尖的學(xué)生，據(jù)悉強(qiáng)基計(jì)劃的校考由試點(diǎn)高校自主命題，?？歼^程中通過筆試，進(jìn)入面試環(huán)節(jié).現(xiàn)隨機(jī)抽取了100名同學(xué)的面試成績(jī)，并分成五組：第一組，第二組，第三組，第四組，第五組，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖．已知第三、四、五組的頻率之和為0.7，第一組和第五組的頻率相同． （1）求a，b的值；（2）估計(jì)這100名同學(xué)面試成績(jī)的眾數(shù)和分位數(shù)（百分位數(shù)精確到0.1）；（3）在第四、第五兩組中，采用分層抽樣的方法從中抽取5人，然后再?gòu)倪@5人中選出2人，求選出的兩人來自不同組的概率．【答案】（1），（2）估計(jì)眾數(shù)為70，分位數(shù)為（3）【解析】【分析】（1）由第三、四、五組的頻率之和為0.7，各組頻率之和為，建立方程組求解；（2）由頻率分布直方圖可知最高的矩形組為第三組，取中點(diǎn)可得眾數(shù)，求前兩組與前三組頻率之和，確定第分位數(shù)所在組，再由比例關(guān)系求解；（3）由抽樣比可得兩組選取人數(shù)，列舉法得，，再由古典概型概率公式可求.【小問1詳解】由題意可知：，，解得，；【小問2詳解】由頻率分布直方圖估計(jì)眾數(shù)為，前兩個(gè)分組頻率之和為0.3，前三個(gè)分組頻率之和為0.75，則估計(jì)第分位數(shù)為；【小問3詳解】根據(jù)分層抽樣，和的頻率比為故在和中分別選取4人和1人，分別設(shè)為和 則在這5人中隨機(jī)抽取兩個(gè)的樣本空間包含的樣本點(diǎn)有共10個(gè)，即，記事件“兩人來自不同組”，則事件包含樣本點(diǎn)有共4個(gè)，即，所以.19.已知雙曲線C：的實(shí)軸長(zhǎng)為2.（1）若雙曲線C的漸近線方程為，求雙曲線方程；（2）設(shè)、是C的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，且，的面積為9，求C的標(biāo)準(zhǔn)方程【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意結(jié)合雙曲線的漸近線方程求，即可得方程；（2）根據(jù)題意結(jié)合雙曲線的定義求，即可得方程；【小問1詳解】因?yàn)殡p曲線C：的實(shí)軸長(zhǎng)為2，即，則，又因?yàn)殡p曲線一條漸近線方程為，即，可得，所以雙曲線方程為.【小問2詳解】雙曲線定義可得：，由知，且的面積為9， 則，即，又因?yàn)椋傻?，即，所以，因此，故雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.20.在第19屆杭州亞運(yùn)會(huì)上中國(guó)射擊隊(duì)獲得32枚金牌中的16枚，并刷新3項(xiàng)世界紀(jì)錄.甲、乙兩名亞運(yùn)選手進(jìn)行賽前訓(xùn)練，甲每次射中十環(huán)的概率為，乙每次射中十環(huán)的概率為，在每次射擊中，甲和乙互不影響.已知兩人各射擊一次至少有一人射中十環(huán)的概率為.（1）求；（2）甲、乙兩人各射擊兩次，求兩人共射中十環(huán)次的概率.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用對(duì)立事件的概率公式列等式求；（2）“兩人共射中十環(huán)次”即“甲中次且乙中次”與“甲中次且乙中次”的和事件，利用互斥事件的概率加法公式可得.【小問1詳解】設(shè)事件“兩人各射擊一次至少有一人射中十環(huán)”，則“兩人均未射中十環(huán)”，由題意知甲每次射中十環(huán)的概率為，乙每次射中十環(huán)的概率為，則甲每次未射中十環(huán)的概率為，乙每次未射中十環(huán)的概率為，由對(duì)立事件的概率公式與相互獨(dú)立事件的概率乘法公式可得， ，解得；【小問2詳解】設(shè)表示事件“甲兩次射擊恰射中十環(huán)次”，，設(shè)表示事件“乙兩次射擊恰射中十環(huán)次”，.則，，，.設(shè)“甲、乙兩人各射擊兩次，兩人共射中十環(huán)3次”，則，且事件與互斥，則由互斥事件的概率加法公式可得，.故甲、乙兩人各射擊兩次，兩人共射中十環(huán)3次的概率為.21.已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在拋物線上，且．（1）求拋物線的方程；（2）過點(diǎn)且斜率存在的直線交拋物線于不同的兩點(diǎn)，設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線的斜率分別為，求證：為定值．【答案】（1）（2）見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)拋物線的焦半徑公式求出，即可得解；（2）設(shè)直線，聯(lián)立方程，利用韋達(dá)定理求得，再結(jié)合斜率公式即可得出結(jié)論.【小問1詳解】解：點(diǎn)在拋物線上，且，，解得，拋物線的方程為；【小問2詳解】 證明依題意，設(shè)直線，聯(lián)立，得，則，故為定值．22.如圖，四棱錐的底面是矩形，，，M為的中點(diǎn)，，.（1）證明：底面（2）若，求二面角的正弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）先證明，即可證明平面，從而證明，根據(jù)線面垂直的判定定理即可證明結(jié)論；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求得相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)，求出平面AMP和平面PBM的法向量，根據(jù)空間角的向量求法，結(jié)合同角的三角函數(shù)關(guān)系，即可求得答案.【小問1詳解】設(shè)交于E，四棱錐的底面是矩形，，,M為的中點(diǎn)，則，故∽，則,而，則，故， 故，又，且平面，故平面，平面，故，又，平面，所以底面；【小問2詳解】以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，則，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即，令，則，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即，令，則，則，由于二面角的取值范圍為，故其正弦值.