河南省南陽(yáng)市六校2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題 Word版含解析.docx

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2023年春期六校高一年級(jí)第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）注意事項(xiàng)：1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)填寫(xiě)在答題卡上.2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上，寫(xiě)在本試卷上無(wú)效.3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．）1.已知復(fù)數(shù)（i虛數(shù)單位），則（）A.B.C.D.2【答案】A【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，由即可得結(jié)果.【詳解】，由.故選：A2.若扇形的弧長(zhǎng)是8，面積是16，則這個(gè)扇形的圓心角的弧度數(shù)是（）A.2B.3C.4D.5【答案】A【解析】【分析】利用扇形的面積、弧長(zhǎng)公式求圓心角的弧度即可.【詳解】令扇形的圓心角的弧度數(shù)為，半徑為，則，即，又，故. 故選：A3.在平面直角坐標(biāo)系中，角的頂點(diǎn)為O，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊與單位圓相交于點(diǎn)，則（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由誘導(dǎo)公式、倍角余弦公式得，三角函數(shù)定義知，代入求值即可.【詳解】，由題意，所以.故選：B4.函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（）A.B.C.D.【答案】A【解析】 【分析】根據(jù)函數(shù)圖象可得，即可求出、，再根據(jù)函數(shù)的周期求出，最后根據(jù)函數(shù)過(guò)點(diǎn)求出，即可得解.【詳解】依題意可得，解得，又，所以，解得，所以，又函數(shù)過(guò)點(diǎn)，所以，即，所以，，所以，，又，所以，所以.故選：A5.在平行四邊形中，．若，則（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)向量對(duì)應(yīng)線段的數(shù)量及位置關(guān)系，用表示出，求出參數(shù)，進(jìn)而得結(jié)果.【詳解】，所以，則.故選：D 6.在中，角所對(duì)的邊分別為，且．若有兩解，則的值可以是（）A.4B.6C.8D.10【答案】B【解析】【分析】由題意畫(huà)出圖形，可得，求出的范圍，結(jié)合選項(xiàng)得出答案.【詳解】如圖，過(guò)點(diǎn)作，垂足為,則.若有兩解，所以，則，即，得.故選：B7.已知向量滿足，，，則（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)向量坐標(biāo)運(yùn)算和數(shù)量積運(yùn)算的性質(zhì)，結(jié)合可求得，由此可得，進(jìn)而求得結(jié)果.【詳解】，，，解得：，，解得：.故選：C.8.已知，則（）A.B.C.D.【答案】C【解析】 【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式、倍角余弦公式有，將條件代入求值即可.【詳解】.故選：C二、選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，選對(duì)但不全的得2分，有選錯(cuò)的得0分．）9.下列選項(xiàng)中，正確的是（）A.若，則B.C.在任意斜中D.在中，角所對(duì)的邊分別為則【答案】BCD【解析】【分析】應(yīng)用誘導(dǎo)公式判斷A；利用平方關(guān)系化簡(jiǎn)判斷B；由商數(shù)關(guān)系、三角形內(nèi)角性質(zhì)、和角正余弦公式及正弦邊角關(guān)系化簡(jiǎn)、判斷C、D.【詳解】A：，錯(cuò)；B：，對(duì)；C：，所以，注意不能有直角，即為任意斜，上述等式成立，對(duì)；D：由，根據(jù)正弦邊角關(guān)系知：，對(duì).故選：BCD10.已知，則（） A.B.C.D.【答案】ABD【解析】【分析】應(yīng)用關(guān)系求得，進(jìn)而確定角的范圍，并求出、，即可判斷各項(xiàng)正誤.【詳解】，故①，由，則，故，A對(duì)；將①聯(lián)立，可得或（舍），所以，故，，B、D對(duì)，C錯(cuò).故選：ABD11.已知函數(shù)，則（）A.函數(shù)的最小正周期為B.將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位后的圖象關(guān)于軸對(duì)稱C.函數(shù)的一個(gè)對(duì)稱中心為D.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減【答案】AD【解析】【分析】由輔助角公式得，由正弦型函數(shù)性質(zhì)求最小正周期、代入判斷對(duì)稱中心、整體法判斷區(qū)間單調(diào)性，根據(jù)圖象平移寫(xiě)出解析式判斷奇偶性，即可知各項(xiàng)正誤.【詳解】，最小正周期，A對(duì)； ，顯然不關(guān)于軸對(duì)稱，B錯(cuò)；，故的一個(gè)對(duì)稱中心為，C錯(cuò)；由上，，根據(jù)正弦型函數(shù)性質(zhì)知：遞減，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，D對(duì).故選：AD12.已知函數(shù)在上單調(diào)，且滿足，．若在有且僅有7個(gè)零點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（）A.B.C.與在上有且僅有4個(gè)公共點(diǎn)D.在上單調(diào)遞增【答案】AC【解析】【分析】確定的對(duì)稱中心為，對(duì)稱軸為，得到，根據(jù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)得到，，A正確，B錯(cuò)誤，確定得到C正確，計(jì)算單調(diào)區(qū)間得到D錯(cuò)誤，得到答案.【詳解】在區(qū)間上單調(diào)，，，，故的對(duì)稱中心為， 且，則，故，且，故的對(duì)稱軸為.從而，且，故，，在上有且僅有7個(gè)零點(diǎn)，故，即，故，，又，所以，對(duì)選項(xiàng)A：，正確；對(duì)選項(xiàng)B：，錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)C：，則，，有4個(gè)解，正確；對(duì)選項(xiàng)D：由得，，即在，上單調(diào)遞增，故在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，錯(cuò)誤.故選：AC三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分．）13.已知，且，則向量的坐標(biāo)為_(kāi)______．【答案】或【解析】【分析】設(shè)，由向量垂直坐標(biāo)表示、模長(zhǎng)的坐標(biāo)公式列方程求坐標(biāo)即可.【詳解】令，則，可得或，所以或，經(jīng)檢驗(yàn)滿足要求.故答案：或14.已知，則_______． 【答案】##【解析】【分析】將分母“1”化為，應(yīng)用齊次運(yùn)算求值即可.【詳解】.故答案為：15.計(jì)算_______．【答案】【解析】【分析】利用誘導(dǎo)公式、倍角正弦公式得，再由關(guān)系求值即可.【詳解】，由，，所以，綜上，.故答案為：16.將函數(shù)（且）的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍，縱坐標(biāo)保持不變，若所得函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象重合，則______. 【答案】【解析】【分析】先求出變換之后的函數(shù)解析式，然后根據(jù)兩函數(shù)為同一函數(shù)，結(jié)合誘導(dǎo)公式可得，然后可解.【詳解】將函數(shù)（且）的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍，縱坐標(biāo)保持不變，所得圖象的函數(shù)為，所以與為同一函數(shù)，故，即所以故答案為：四、解答題（本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．）17.已知復(fù)數(shù)，其中為虛數(shù)單位，．（1）若是純虛數(shù)，求的值；（2）若在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，求的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由純虛數(shù)定義列方程求參數(shù)；（2）由復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所在象限列不等式組求參數(shù)范圍.【小問(wèn)1詳解】由是純虛數(shù)，則，故.【小問(wèn)2詳解】由在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，，所以. 18.在中，分別是角的對(duì)邊，已知是銳角，且．（1）若，求實(shí)數(shù)的值；（2）若，求面積的最大值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由二倍角余弦公式易得，結(jié)合已知及余弦定理列方程求m值.（2）由余弦定理可得，應(yīng)用基本不等式可得，注意等號(hào)成立條件，最后應(yīng)用三角形面積公式求面積最大值即可.【小問(wèn)1詳解】由是銳角，且，則，又，可得.【小問(wèn)2詳解】由（1）知：，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，又，則，所以面積的最大值為.19.設(shè)函數(shù)．（1）求的最小正周期和單調(diào)遞減區(qū)間；（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最大值和最小值，并求出對(duì)應(yīng)的．【答案】（1），函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為； （2）時(shí)，；時(shí)，.【解析】【分析】（1）先根據(jù)三角恒等變換將整理化簡(jiǎn)得到，然后根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)得到，解不等式即得解；（2）求出，再利用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)進(jìn)行求解.【小問(wèn)1詳解】所以的最小正周期是，由，解得，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為.【小問(wèn)2詳解】當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)即時(shí)，；當(dāng)即時(shí)，.所以時(shí)，；時(shí)，.20.“灣區(qū)之光”摩天輪位于深圳市華僑城歡樂(lè)港灣內(nèi)，摩天輪總高128米，轉(zhuǎn)輪直徑約為114米，共有28個(gè)酷似太空艙膠囊的全景式進(jìn)口轎廂，每個(gè)轎廂可容納25人“灣區(qū)之光”旋轉(zhuǎn)一圈的時(shí)間是28分鐘，摩天輪開(kāi)啟后按照逆時(shí)針?lè)较騽蛩傩D(zhuǎn)，游客在座艙轉(zhuǎn)到距離地面最近的位置進(jìn)艙，設(shè)開(kāi)始轉(zhuǎn)動(dòng)t（單位：min）后距離地面的高度為H（單位：m）． （1）若以摩天輪在地面上投影所在直線為軸，過(guò)摩天輪的中心且垂直軸的直線為軸建立直角坐標(biāo)系，求在轉(zhuǎn)動(dòng)一周的過(guò)程中，關(guān)于的函數(shù)解析式；（2）若游客甲進(jìn)艙分鐘后游客乙進(jìn)艙，在運(yùn)行一周的過(guò)程中，記（單位：m）表示甲、乙兩人距離地面的高度差，求游客甲進(jìn)艙多長(zhǎng)時(shí)間后，第一次達(dá)到最大值，最大值是多少？【答案】（1），且（2）游客甲進(jìn)艙min后，第一次達(dá)到最大值，為米【解析】【分析】（1）由題意確定最高點(diǎn)、最低點(diǎn)及最小正周期，令，且，且過(guò)求參數(shù)，即可得解析式；（2）游客乙進(jìn)艙min后，則高度差，利用和差角余弦公式化簡(jiǎn)，結(jié)合正弦型函數(shù)的性質(zhì)求最值.【小問(wèn)1詳解】由題意，最高點(diǎn)，最低點(diǎn)，最小正周期min，若，且，則，，，所以，函數(shù)過(guò)，即，所以，則，故.【小問(wèn)2詳解】由題意，甲乙所在太空艙夾角為，所以游客乙進(jìn)艙min后，則高度差， 所以，要使達(dá)到最大，則且，可得，，所以時(shí)，第一次達(dá)到最大值，此時(shí)min，米，綜上，游客甲進(jìn)艙min后，第一次達(dá)到最大值，最大值是米.21.已知，，，，求：（1）的值；（2）的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先由已知條件判斷的范圍，再利用同角三角函數(shù)的關(guān)系求出，則由利用兩角差的余弦公式可求得，（2）由同角三角函數(shù)的關(guān)系求出，從而可求得的值，再利用正切的二倍角公式可求得的值.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，，所以，，所以，?所以.【小問(wèn)2詳解】因?yàn)椋?，所以，所以，所?2.已知向量，，設(shè)函數(shù)．（1）求函數(shù)在上的零點(diǎn)；（2）當(dāng)時(shí)，關(guān)于的方程有2個(gè)不等實(shí)根，求的取值范圍．【答案】（1）零點(diǎn)有、、（2）【解析】【分析】（1）應(yīng)用向量數(shù)量積坐標(biāo)表示、倍角正余弦公式及輔助角公式化簡(jiǎn)得，令求上的零點(diǎn)；（2）問(wèn)題化為在上有2個(gè)不等實(shí)根，畫(huà)出在 的圖象，數(shù)形結(jié)合求參數(shù)a的范圍.【小問(wèn)1詳解】由題設(shè)，令，則，而上，所以或或，即或或，綜上，在上的零點(diǎn)有、、.【小問(wèn)2詳解】，所以在上有2個(gè)不等實(shí)根，由，則，且上遞增，上遞減，所以在的圖象如下：所以，則.