浙江省紹興市柯橋區(qū)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題 Word版含解析.docx

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2023學(xué)年高二第一學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量調(diào)測(cè)數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1．本科考試分為試題卷和答題卷，考生須在答題卷上答題．2．答題前，請(qǐng)?jiān)诖痤}卷的規(guī)定處用黑色字跡的簽字筆或鋼筆填寫學(xué)校?班級(jí)?姓名和準(zhǔn)考證號(hào)．3．試卷分為選擇題和非選擇題兩部分，共4頁(yè)．全卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘．一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的，1.下列方程所表示的直線中，傾斜角為的是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】將直線方程化成斜截式得到直線斜率，由此確定直線的傾斜角是否符合.【詳解】對(duì)于A項(xiàng)，直線的斜率為2，故直線的傾斜角不是，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B項(xiàng)，直線的斜率為，故直線的傾斜角不是，故B項(xiàng)錯(cuò)誤;對(duì)于C項(xiàng)，直線的斜率為1，故直線的傾斜角是，故C項(xiàng)正確；對(duì)于D項(xiàng)，直線的斜率為，故直線的傾斜角不是，故D項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：C2.已知平面平面的法向量分別為，則實(shí)數(shù)（）A.3B.-3C.2D.-2【答案】B【解析】【分析】由平面互相垂直可知其對(duì)應(yīng)的法向量也垂直，然后用空間向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算求解即可.【詳解】∵平面平面， ∴平面的法向量也垂直，∴，即，解得：.故選：B.3.已知等比數(shù)列，則數(shù)列的前10項(xiàng)和為（）A.55B.110C.511D.1023【答案】D【解析】【分析】根據(jù)已知條件求得公比，再利用等比數(shù)列前項(xiàng)和公式，即可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，前項(xiàng)和，則，故.故選：D.4.已知直線，圓，則直線與圓的位置關(guān)系是（）A.相交B.相切C.相離D.以上都有可能【答案】C【解析】【分析】求出點(diǎn)到直線的距離即可求解.【詳解】因?yàn)閳A，所以，半徑，因?yàn)辄c(diǎn)到直線的距離，所以直線與圓的位置關(guān)系是相離.故選：C.5.已知橢圓，過(guò)原點(diǎn)且傾斜角為的直線交橢圓于兩點(diǎn)，則（）A.B.C.D.【答案】D【解析】 【分析】依題寫出直線的點(diǎn)斜式方程,與橢圓方程聯(lián)立，求出兩交點(diǎn)坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)距離公式計(jì)算即得.【詳解】依題意，可得直線的方程為：，代入中，整理解得：，當(dāng)，；當(dāng)時(shí)，，故有,則.故選：D.6.正方體中，分別是的中點(diǎn)，點(diǎn)是線段（含端點(diǎn)）上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)由點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，三棱錐的體積（）A.先變大后變小B.先變小后變大C.不變D.無(wú)法判斷【答案】C【解析】【分析】，的面積不變，判斷點(diǎn)到平面的距離變化情況即可.【詳解】正方體中，，，四邊形為平行四邊形，有正方形中，分別是的中點(diǎn)，有，得，平面，平面，則平面，所以由點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)到平面的距離保持不變，又三點(diǎn)為定點(diǎn)，的面積不變，所以三棱錐的體積不變，即三棱錐的體積不變.故選：C 7.斐波那契數(shù)列因數(shù)學(xué)家萊昂納多?斐波那契（LeonardodaFibonaci）以兔子繁殖為例而引入，故又稱為“兔子數(shù)列”．在數(shù)學(xué)上，斐波那契數(shù)列由以下遞推方法定義：數(shù)列滿足，則（）AB.C.D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)遞推公式，，累加即可求得結(jié)果.【詳解】根據(jù)斐波那契數(shù)列的遞推公式，可得.故選：B.8.已知直線過(guò)點(diǎn)交拋物線于兩相異點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，過(guò)原點(diǎn)作直線的垂線，垂足為，則點(diǎn)的軌跡方程為（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】求得直線恒過(guò)的定點(diǎn)，結(jié)合圓的定義，即可容易求得結(jié)果.【詳解】設(shè)拋物線上兩點(diǎn)坐標(biāo)為，若直線斜率存在，則，則直線方程為：，，又，故方程為：；若直線斜率不存在，則，此時(shí)直線方程為：，顯然也可表示這種情況； 綜上所述：拋物線上兩點(diǎn)，若坐標(biāo)分別為，則直線方程可表示為：.又過(guò)點(diǎn)，故；又，同理可得直線方程為：，也即，其恒過(guò)定點(diǎn)，記該點(diǎn)為；根據(jù)題意可得，，故點(diǎn)在以為直徑的圓上，且不與重合；容易得該圓圓心為，半徑，故點(diǎn)軌跡方程為：.故選：A.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵是能夠求得直線恒過(guò)的定點(diǎn)，本題采用表達(dá)直線方程，可簡(jiǎn)化運(yùn)算；屬綜合困難題.二?多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知曲線，則下列結(jié)論正確的是（）A.當(dāng)時(shí)，曲線是橢圓B.當(dāng)或時(shí)，曲線是雙曲線C.若曲線是焦點(diǎn)在軸上的橢圓，則D.若曲線是焦點(diǎn)在軸上的雙曲線，則【答案】BC【解析】【分析】對(duì)的取值范圍進(jìn)行分類討論，即可判斷和選擇.【詳解】對(duì)方程：若，表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，此時(shí)；若，表示圓，此時(shí)；若，表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，此時(shí)； 若，表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線，此時(shí)；若，表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線，此時(shí)；根據(jù)上述討論，BC正確.故選：BC.10.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，則（）A.B.C.數(shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列D.取得最大值時(shí)，【答案】BCD【解析】【分析】由已知條件求出等差數(shù)列的首項(xiàng)和公差，通過(guò)計(jì)算驗(yàn)證各選項(xiàng)的結(jié)論即可.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，得，解得，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；，B選項(xiàng)正確；由，，等差數(shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列，C選項(xiàng)正確；，由二次函數(shù)的性質(zhì)可知，取得最大值時(shí)，，D選項(xiàng)正確.故選：BCD11.已知點(diǎn)，若過(guò)點(diǎn)的直線交圓于兩點(diǎn)，是圓上的動(dòng)點(diǎn)，則（）A.的最大值為6B.的最小值為4C.的最小值為-1D.的最大值為34【答案】ABD【解析】【分析】對(duì)于A，B，由圓的性質(zhì)可得當(dāng)直線與垂直時(shí)，有最小值，當(dāng)直線經(jīng)過(guò)圓心時(shí)，有最大值，求出即可判斷；設(shè)，從而可得 ，進(jìn)而可求出其最小值和最大值可判斷C、D.【詳解】當(dāng)直線與垂直時(shí)，圓心到直線的距離取最大值，此時(shí)的最小值為，當(dāng)直線經(jīng)過(guò)圓心時(shí)，的最大值為6，故A，B正確；設(shè)，則，由，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故C錯(cuò)誤，D正確.故選：ABD12.在三棱錐中，分別是線段上的點(diǎn)，且滿足平面平面，則下列說(shuō)法正確的是（）A.四邊形為矩形B.三棱錐的外接球的半徑為C.D.四邊形的面積最大值為【答案】BCD【解析】【分析】對(duì)于A，由即可舉出反例；對(duì)于B，由補(bǔ)形法將其放入長(zhǎng)方體中即可驗(yàn)算；對(duì)于C，由截平行線段成比例即可驗(yàn)算；對(duì)于D，由三角形面積公式結(jié)合基本不等式相關(guān)推論即可驗(yàn)算. 【詳解】對(duì)于A，平面,平面，又面，面面，所以，同理，而，所以與不垂直，從而與也不垂直，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，把題設(shè)四棱錐放入長(zhǎng)方體中，如圖所示，不妨設(shè)長(zhǎng)方體的棱長(zhǎng)分別為，且，三棱錐的外接球的半徑為，易知長(zhǎng)方體的體對(duì)角線長(zhǎng)度等于三棱錐的外接球的半徑的兩倍，所以，解得，故B正確；對(duì)于C，由A可知，且， 所以由截平行線段成比例得，又，所以，故C正確；對(duì)于D，由A可知，所以，所以四邊形的面積，等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)，故D正確.故選：BCD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：B選項(xiàng)的關(guān)鍵是把題設(shè)四棱錐放入長(zhǎng)方體中，由此即可順利得解.三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知空間向量，且，則__________．【答案】【解析】【分析】由向量平行，求得參數(shù)，再求的坐標(biāo)以及模長(zhǎng)即可.【詳解】，故可得，解得，故，則.故答案為：.14.拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，點(diǎn)為拋物線上一點(diǎn)，滿足（為坐標(biāo)原點(diǎn)），，垂足為，若，則__________．【答案】【解析】【分析】利用拋物線定義，將已知條件轉(zhuǎn)化到中，求得，即的高，進(jìn)而求得面積. 【詳解】由已知，則軸，過(guò)作軸，垂足為，過(guò)作，垂足為，則，四邊形為平行四邊形，所以，且中以為底邊的高即為，在中，由拋物線的定義知，又，則，則.故答案為：.15.已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為，過(guò)的直線分別交雙曲線的左，右兩支于兩點(diǎn)，若為正三角形，則雙曲線的離心率為__________．【答案】【解析】【分析】首先利用雙曲線的定義求出和，然后在中用余弦定理即可求解.【詳解】如圖所示：因?yàn)槭钦切危?，?由雙曲線定義可知，即，再由可得在中，，即，整理得：，，所以故答案為：16.已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則的最小值為__________．【答案】【解析】【分析】由的關(guān)系得，由等差數(shù)列求和公式結(jié)合對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)即可得解.【詳解】由題意，因?yàn)閿?shù)列是正項(xiàng)數(shù)列，所以解得，當(dāng)時(shí)，有，，兩式相減得，整理得，因?yàn)閿?shù)列是正項(xiàng)數(shù)列，所以，即數(shù)列是首項(xiàng)為2，公差為1的等差數(shù)列，所以，，，又在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，而， 所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，的最小值為.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：關(guān)鍵是首先得出，，由此即可順利得解.四?解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟．17.如圖所示，在棱長(zhǎng)均相等的平行六面體中分別為線段的中點(diǎn)．（1）設(shè)，請(qǐng)以向量表示；（2）求證：平面平面．【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）由題意直接分解向量即可.（2）由向量的數(shù)量積公式得，結(jié)合菱形性質(zhì)線面、面面垂直的判定定理即可得證.【小問(wèn)1詳解】.【小問(wèn)2詳解】∵∴，又∵， ∴，即，∵底面菱形中，，且，平面.所以平面．又平面．∴平面平面．18.在數(shù)列中，已知，．（1）求證：是等比數(shù)列．（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【答案】（1）證明詳見解析（2）【解析】【分析】（1）通過(guò)湊配法證得是等比數(shù)列.（2）利用分組求和法求得.【小問(wèn)1詳解】由，得，即，所以是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列.【小問(wèn)2詳解】由（1）得.所以 .19.如圖，已知中，，是上一點(diǎn)，且，將沿翻折至，．（1）求證：；（2）求直線與平面所成角的正弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）利用已知線面位置關(guān)系結(jié)合勾股定理，證明平面，可證；（2）以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求線面角的正弦值.【小問(wèn)1詳解】∵中，，由余弦定理，，而為三角形內(nèi)角，∴，，∵，，∴，即，又∵中，，，∴，平面，，∴平面，平面，∴.【小問(wèn)2詳解】以為原點(diǎn)，分別為軸，過(guò)垂直于平面的直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系：， ，，，由正弦定理，，，平面，則點(diǎn)在平面內(nèi)，，，得，又，，∴，，設(shè)平面的法向量為，∴，∴，設(shè)，則，又∵，故直線與平面所成角的正弦值為20.已知雙曲線的焦距為，漸近線方程為：，雙曲線左，右兩個(gè)頂點(diǎn)分別為．（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過(guò)點(diǎn)的直線與雙曲線交于兩點(diǎn)．設(shè)的斜率分別為，若，求的方程． 【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）依題意，分別求出，即得雙曲線方程；（2）由題意，設(shè)出直線的點(diǎn)斜式方程，與雙曲線方程聯(lián)立消元得一元二次方程，求出的取值范圍，再將代入點(diǎn)的坐標(biāo)進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，得到，解此方程，并進(jìn)行取舍即得直線的方程.【小問(wèn)1詳解】雙曲線的焦距，；雙曲線的漸近線方程為，即，，又，，，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：．【小問(wèn)2詳解】由（1）得：，，設(shè)，，如圖可知：直線的斜率一定存在，則可設(shè)，由得：，由解得：且，，， ；，，即，，解得：或，又且，故，則直線的方程為：，即．21.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足．（1）求的值；（2）設(shè)的前項(xiàng)和為，求證：．【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）由等差數(shù)列及其求和公式基本量的計(jì)算，依次得通項(xiàng)公式，代入求和公式即可得解；（2）由錯(cuò)位相減法求和即可得證.【小問(wèn)1詳解】∵，∴，得：，∴，∴，∴.【小問(wèn)2詳解】 由（1）得，①，②，①-②得：，∴，.22.已知橢圓過(guò)點(diǎn)，且離心率．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）圓的圓心為橢圓的右焦點(diǎn)，半徑為，過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓及圓交于四點(diǎn)（如圖所示），若存在，求圓的半徑取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題設(shè)條件列出關(guān)于的方程組，解之即得；（2）聯(lián)立直線與橢圓方程，得出韋達(dá)定理，將轉(zhuǎn)化為的表達(dá)式，再由轉(zhuǎn)化得，將求的范圍問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求的值域問(wèn)題，最后解不等式即得.【小問(wèn)1詳解】 由題意得：，②，③，①②③聯(lián)立得：，∴橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為：【小問(wèn)2詳解】∵過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓及圓依次交于四點(diǎn)，∴圓在橢圓內(nèi)部，故：；，∴設(shè)直線，由代入橢圓，整理得：，易知，∴∵，（*）又，，，代入（*）式得：，又，，所以，整理得：，故上述關(guān)于的方程有解即可；由因，則，故， 所以，即解得：又因，解得：；當(dāng)不存在時(shí)，直線，此時(shí)，，，即，解得.綜上所述：的取值范圍為．