浙江省溫州市2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量統(tǒng)一檢測數(shù)學(xué)（A） Word版含解析.docx

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2023學(xué)年溫州市高二第一學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量統(tǒng)一檢測數(shù)學(xué)試題（A卷）本試卷分選擇題和非選擇題兩部分，共4頁，滿分150分，考試時(shí)間120分鐘．考生注意：1．考生答題前，務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用黑色字跡的簽字筆或鋼筆填寫在答題卷上．2．選擇題的答案須用2B鉛筆將答題卷上對應(yīng)題目的答案涂黑，如要改動，須將原填涂處用橡皮擦凈．3．非選擇題的答案須用黑色字跡的簽字筆或鋼筆寫在答題卷上相應(yīng)區(qū)域內(nèi)，答案寫在本試題卷選擇題部分上無效．一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知直線方程，則傾斜角為（）A.45°B.60°C.120°D.135°【答案】D【解析】【分析】求出直線的斜率，進(jìn)而得到直線的傾斜角.【詳解】直線的斜率為-1，設(shè)直線的傾斜角為，則，因?yàn)?，所?故選：D.2.在空間四邊形ABCD中，點(diǎn)M，G分別是BC和CD的中點(diǎn)，則（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)已知可得，代入即可得出答案. 【詳解】因?yàn)椋c(diǎn)G是CD的中點(diǎn)，所以，，所以，故選：C3.已知函數(shù)滿足，則的值為（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】求出導(dǎo)函數(shù)，代入，即可得出答案.【詳解】由已知可得，，則，所以，.故選：A.4.已知為等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，，則（）A.2B.4C.8D.16【答案】C【解析】【分析】根據(jù)與的關(guān)系，求出當(dāng)時(shí)，，以及，. 由等比數(shù)列的可得，求出的值，代入得出，.【詳解】由已知可得，，當(dāng)時(shí)，，所以，，且.由為等比數(shù)列，可知，解得.所以，，.故選：C.5.已知圓錐有一個(gè)內(nèi)接圓柱，當(dāng)圓柱的側(cè)面積最大時(shí)，圓柱與圓錐的高之比為（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】畫出圓錐及其內(nèi)接圓柱的軸截面，利用條件結(jié)合圓柱的側(cè)面積公式求圓柱的側(cè)面積，利用二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)求解即可．【詳解】設(shè)圓錐的底面半徑為，高為；圓柱的底面半徑為，高為，畫出圓錐及其內(nèi)接圓柱的軸截面，如圖則，．圓柱側(cè)面積． 當(dāng)時(shí)，圓柱側(cè)面積最大，此時(shí)圓柱與圓錐的高之比為．故選：B.6.傳說古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家用沙?；蛐∈觼硌芯繑?shù)．他們根據(jù)沙?；蛐∈^所排列的形狀把數(shù)分成許多類，如圖的1，5，12，22稱為五邊形數(shù)，若五邊形數(shù)所構(gòu)成的數(shù)列記作，下列不是數(shù)列的項(xiàng)的是（）A.35B.70C.145D.170【答案】D【解析】【分析】根據(jù)已知得出的前幾項(xiàng)，進(jìn)而得出遞推公式.根據(jù)累加法求得通項(xiàng)公式為.分別令取35，70，145，170，求出的正整數(shù)解的情況，即可得出答案.【詳解】由已知可得，，，，，所以，.當(dāng)時(shí)，累加法求和如下，，，， 兩邊同時(shí)相加可得，，整理可得，.對于A項(xiàng)，令可得，，解得或（舍去）.所以，，故A項(xiàng)錯誤；對于B項(xiàng)，令可得，，解得或（舍去）.所以，，故B項(xiàng)錯誤；對于C項(xiàng)，令可得，，解得或（舍去）.所以，，故C項(xiàng)錯誤；對于D項(xiàng)，令可得，，解得（舍去）或（舍去）.所以，170不是數(shù)列的項(xiàng)，故D項(xiàng)正確.故選：D.7.已知F為橢圓的左焦點(diǎn)，過點(diǎn)F的直線l交橢圓于A，B兩點(diǎn)，，則直線AB的斜率為（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】求出坐標(biāo)，設(shè)，直線斜率為，傾斜角為，結(jié)合圖象得出，表示出直線的方程為，與橢圓聯(lián)立，根據(jù)韋達(dá)定理得出，進(jìn)而推得， 根據(jù)三角函數(shù)基本關(guān)系式化簡，得出方程，求解即可得出答案.【詳解】易知，，，點(diǎn).不妨設(shè)，，直線斜率為，傾斜角為，易知，且直線的方程為，聯(lián)立直線與橢圓的方程，消去可得，.根據(jù)韋達(dá)定理可得，.又，所以有，所以，.又，代入可得，所以，，解得，所以，.故選：B. 8.若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則a和b的可能取值為（）A.，B.，C.，D.，【答案】D【解析】【分析】二次求導(dǎo)得到在上單調(diào)遞增，要想在上單調(diào)遞增，只需，A選項(xiàng)，構(gòu)造，，求導(dǎo)得到單調(diào)性，求出，得到；B選項(xiàng)，；C選項(xiàng)，令，，求導(dǎo)得到其單調(diào)性，求出；D選項(xiàng)，構(gòu)造，，求導(dǎo)得到單調(diào)性，得到，從而求出.【詳解】，且，且，，令，則恒成立，故在上單調(diào)遞增，要想在上單調(diào)遞增，只需，即只需，A選項(xiàng)，令，，則在上恒成立，故在上單調(diào)遞增，故，即，故，A錯誤；B選項(xiàng)，由于，故，B錯誤；C選項(xiàng)，， 令，，則恒成立，故在上單調(diào)遞減，故，即，C錯誤；D選項(xiàng)，，令，，則恒成立，故在上單調(diào)遞減，故，即，故，D正確.故選：D【點(diǎn)睛】比較大小或證明不等式常用的不等式放縮如下：，，，，等，根據(jù)不等式特征，選擇合適的函數(shù)進(jìn)行求解.二、選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分．9.以下選項(xiàng)中的兩個(gè)圓錐曲線的離心率相等的是（）A.與B.與C.與D.與【答案】CD【解析】【分析】根據(jù)橢圓、雙曲線以及拋物線的離心率公式，分別求出各個(gè)圓錐曲線的離心率，即可得出答案.【詳解】對于A項(xiàng)，雙曲線的離心率為；橢圓 的離心率為，故A錯誤；對于B項(xiàng)，雙曲線的離心率為；雙曲線的離心率為，故B錯誤；對于C項(xiàng)，橢圓的離心率為；橢圓的離心率為，故C項(xiàng)正確；對于D項(xiàng)，方程可化為拋物線，方程可化為拋物線，而且拋物線的離心率均為1，故D項(xiàng)正確.故選：CD.10.已知函數(shù)，則（）A.B.有兩個(gè)極值點(diǎn)C.在區(qū)間上既有最大值又有最小值D.【答案】ABD【解析】【分析】求導(dǎo)得出導(dǎo)函數(shù)，代入，即可判斷A項(xiàng)；根據(jù)導(dǎo)函數(shù)得出函數(shù)的單調(diào)性，即可得出函數(shù)的極值，進(jìn)而判斷B項(xiàng)；根據(jù)B項(xiàng)的單調(diào)性與極值，結(jié)合函數(shù)的極值以及、，即可判斷C項(xiàng)；求出的值，即可判斷D項(xiàng).【詳解】對于A項(xiàng)，由已知可得，，所以.故A正確；對于B項(xiàng)，解可得，或.解可得，或，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增； 解可得，，所以在上單調(diào)遞減.所以，在處取得極大值，在處取得極小值.故B正確；對于C項(xiàng)，由B知，在處取得極大值，在處取得極小值.因，，，.顯然，所以，在區(qū)間上沒有最大值.故C錯誤；對于D項(xiàng)，因?yàn)?，?所以，.故D項(xiàng)正確.故選：ABD.11.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，，則下列命題正確的是（）A.若為等差數(shù)列，則數(shù)列為遞增數(shù)列B.若為等比數(shù)列，則數(shù)列為遞增數(shù)列C.若為等差數(shù)列，則數(shù)列為遞增數(shù)列D.若為等比數(shù)列，則數(shù)列為遞增數(shù)列【答案】ACD【解析】【分析】AC選項(xiàng)，得到公差，，結(jié)合等差數(shù)列求和公式得到對恒成立，A正確，推出得到C正確；BD選項(xiàng)，得到公比，舉出反例得到C錯誤，由，且，得到D正確.【詳解】因?yàn)椋?，所以，且，AC選項(xiàng)，若為等差數(shù)列，則公差，， 則，對恒成立，則數(shù)列為遞增數(shù)列，A正確；由于，故，又，故，則，數(shù)列為遞增數(shù)列，C正確；BD選項(xiàng)，若為等比數(shù)列，則公比，不妨設(shè)，，則，故，則數(shù)列不為遞增數(shù)列，B錯誤；由于，故，又，故數(shù)列遞增數(shù)列，D正確.故選：ACD12.已知在直三棱柱中，，，，點(diǎn)分別為棱，，上的動點(diǎn)（不含端點(diǎn)），點(diǎn)為棱的中點(diǎn)，且，則（）A.平面B.平面C.點(diǎn)到平面距離的最大值為D.平面與平面所成角正弦值的最小值為【答案】ABC【解析】 【分析】以點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，利用向量法逐一分析判斷即可.【詳解】如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，故，所以，則，故，所以，對于A，，則，，所以，則，又平面，平面，所以平面，故A正確；對于B，，則，假設(shè)平面，則四點(diǎn)共面，所以存在唯一實(shí)數(shù)對，使得，即，所以，解得，所以四點(diǎn)共面，即平面，故B正確； 對于C，，設(shè)平面的法向量為，則有，令，則，所以，所以點(diǎn)到平面距離為令，則，故，當(dāng)，即時(shí)，，所以點(diǎn)到平面距離的最大值為，故C正確；對于D，因?yàn)槠矫妫约礊槠矫娴囊粭l法向量，，則，設(shè)平面的法向量為，則有，令，則，故，設(shè)平面與平面所成的角為， 則，則，當(dāng)時(shí)，，所以平面與平面所成角正弦值的最小值為，故D錯誤.故選：ABC.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求空間角的常用方法：（1）定義法：由異面直線所成角、線面角、二面角的定義，結(jié)合圖形，作出所求空間角，再結(jié)合題中條件，解對應(yīng)的三角形，即可求出結(jié)果；（2）向量法：建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，通過計(jì)算向量的夾角（兩直線的方向向量、直線的方向向量與平面的法向量、兩平面的法向量）的余弦值，即可求得結(jié)果.非選擇題部分三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．13.等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知，且，則公差______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)已知可推得，進(jìn)而得出答案.【詳解】由可得，，即，又， 所以，.故答案為：.14.已知圓：和圓：外離，則整數(shù)的一個(gè)取值可以是______．【答案】（答案不唯一，或7或8）【解析】【分析】寫出兩圓的圓心及半徑，利用兩點(diǎn)之間坐標(biāo)公式求出圓心的距離，利用兩圓相離的關(guān)系列出不等式，求出整數(shù)m的值.【詳解】由題意，將兩圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程：得：圓，圓，圓的圓心為，圓的圓心為，圓的半徑為3，圓的半徑為，∴兩圓圓心的距離為．所以，解得，所以整數(shù)的取值可能是．故答案為：（答案不唯一，或7或8）.15.兩個(gè)正方形ABCD，ABEF的邊長都是1，且它們所在的平面互相垂直，M和N分別是對角線AC和BF上的動點(diǎn)，則MN的最小值為______．【答案】【解析】【分析】建立空間坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)的得到線段長度表達(dá)式，配方利用二次函數(shù)最小值.【詳解】因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平?，平面,根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理知平面，，從而，，兩兩垂直，如圖建立空間直角坐標(biāo)系， 設(shè)，，．=，當(dāng)時(shí)，最小，最小值為；故答案為：16.已知雙曲線C：的左、右焦點(diǎn)分別為，，l：是C的一條漸近線，是C第一象限上的點(diǎn)，直線與l交于點(diǎn)，，則______．【答案】##【解析】【分析】作出圖形，合理轉(zhuǎn)化條件，硬解出點(diǎn)的縱坐標(biāo)，利用焦點(diǎn)三角形面積相等求解即可.【詳解】如圖連接設(shè)，易知是C的一條漸近線，，則， 而，故，則雙曲線的方程為，，，則，，由得，解得，則，故，則的方程為，化簡得，聯(lián)立方程組，，設(shè)，，可得，故，，由圖易得，則，解得，易知，由焦點(diǎn)三角形面積公式得，故，解得.故答案為：四、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明．證明過程或演算步驟．17.如圖，四棱錐的底面是邊長為1的菱形，，平面ABCD，，M為PB的中點(diǎn)． （1）求證：平面平面PDB；（2）求CP與平面MAC所成角的正弦值．【答案】（1）證明過程見講解.（2）【解析】【分析】（1）利用直線與平面的垂直的性質(zhì)，平面與平面的判斷定理進(jìn)行證明.（2）利用空間向量求解.【小問1詳解】因?yàn)樗倪呅螢榱庑?，所?因?yàn)槠矫妫驗(yàn)槠矫?，所以，因?yàn)?，平面，所以平面，因?yàn)槠矫妫云矫嫫矫?【小問2詳解】連接，交于，因?yàn)樗倪呅螢榱庑?，所以為的中點(diǎn)，因?yàn)镸為PB的中點(diǎn)，所以為的中位線，所以，因?yàn)槠矫鍭BCD，所以平面，如圖建立空間直角坐標(biāo)系.根據(jù)題意有,,所以，易知平面的一個(gè)法向量為，設(shè)CP與平面MAC所成角為，則，所以CP與平面MAC所成角的正弦值. 18.已知圓滿足：①截軸所得弦長為2；②被軸分成兩段圓弧，其弧長比為3：1；③圓心到直線：的距離為，求該圓的方程．【答案】或【解析】【詳解】（法一）設(shè)圓P的圓心為P（a，b），半徑為r，則點(diǎn)P到x軸，y軸的距離分別為|b|，|a|．由題意可知圓P截x軸所得劣弧對的圓心角為90°圓P截x軸所得的弦長為，2|b|=，得r2=2b2，圓P被y軸所截得的弦長為2，由勾股定理得r2=a2+1，得2b2-a2=1．又因P（a，b）到直線x-2y=0的距離為，得d=，即有綜前述得，解得，，于是r2=2b2=2所求圓的方程是，或（法二）設(shè)圓的方程為，令x=0，得，所以，得再令y=0，可得，所以，得，即，從而有2b2-a2=1． 又因?yàn)镻（a，b）到直線x-2y=0的距離為，得d=，即有綜前述得，解得，，于是r2=2b2=2所求圓的方程是，或19.已知數(shù)列滿足，．（1）求證：數(shù)列為等差數(shù)列；（2）設(shè)數(shù)列前n項(xiàng)和為，且對任意的恒成立，求k的取值范圍．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）證明為定值即可；（2）先求出數(shù)列的通項(xiàng)，要使對任意的恒成立，只需要即可，令，利用單調(diào)法求出數(shù)列的最小項(xiàng)即可得解.【小問1詳解】因?yàn)椋?，即，所以?shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列；【小問2詳解】由（1）得，所以，要使對任意的恒成立，只需要即可，令，則 ，所以數(shù)列是遞增數(shù)列，所以，即，所以.20.已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）求證：當(dāng)時(shí)，．【答案】（1）答案見解析（2）證明見解析【解析】【分析】（1）求導(dǎo)，再分和兩種情況討論即可得解；（2）由（1）可得當(dāng)時(shí)，，要證，只需要證明即可，即，令，利用導(dǎo)數(shù)求出的最小值即可得證.【小問1詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，，?dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，令，則，令，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減； 【小問2詳解】由（1）可得當(dāng)時(shí)，，要證，只需要證明即可，即，即，令，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以，所以當(dāng)時(shí)，.21.已知點(diǎn)在雙曲線C：上，（1）求C的方程；（2）如圖，若直線l垂直于直線OA，且與C的右支交于P、Q兩點(diǎn)，直線AP、AQ與y軸的交點(diǎn)分別為點(diǎn)M、N，記四邊形MPQN與三角形APQ的面積分別為與，求的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】 【分析】（1）由點(diǎn)在雙曲線上，代入求得的值，即可求解；（2）根據(jù)題意，設(shè)直線為，聯(lián)立方程組，由，求得，且，利用弦長公式求得則，進(jìn)而得到，再由直線和的方程，得到，求得的面積，進(jìn)而得到，結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.【小問1詳解】解：由點(diǎn)在雙曲線上，可得，解得，所以雙曲線的方程為.【小問2詳解】解：由直線垂直于，可得直線的斜率為，設(shè)直線的方程為，且，聯(lián)立方程組，整理得，因?yàn)橹本€與雙曲線的右支交于兩點(diǎn)，則，解得，可得，則， 又由點(diǎn)到直線的距離為，所以，直線的方程為，令，可得，直線的方程為，令，可得則，所以的面積，又由，則，令，可得函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，所以，所以，即的取值范圍為.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解答圓錐曲線的最值與范圍問題的方法與策略：（1 ）幾何轉(zhuǎn)化代數(shù)法：若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用圓錐曲線的定義、圖形、幾何性質(zhì)來解決；（2）函數(shù)取值法：若題目的條件和結(jié)論的幾何特征不明顯，則可以建立目標(biāo)函數(shù)，再求這個(gè)函數(shù)的最值（或值域），常用方法：①配方法；②基本不等式法；③單調(diào)性法；④三角換元法；⑤導(dǎo)數(shù)法等，要特別注意自變量的取值范圍；（3）涉及直線與圓錐曲線的綜合問題：通常設(shè)出直線方程，與圓錐曲線聯(lián)立方程組，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系，合理進(jìn)行轉(zhuǎn)化運(yùn)算求解，同時(shí)抓住直線與圓錐曲線的幾何特征應(yīng)用.22.設(shè)函數(shù)．（1）若曲線在點(diǎn)處的切線方程為，求a，b的值；（2）若當(dāng)時(shí)，恒有，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（3）設(shè)時(shí)，求證：．【答案】（1）（2）（3）證明見解析【解析】【分析】（1）求導(dǎo)，根據(jù)題意結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義列式求解；（2）構(gòu)建，由題意可知：當(dāng)時(shí)，恒有，且，結(jié)合端點(diǎn)效應(yīng)分析求解；（3）由（2）可知：當(dāng)時(shí)，，令，，可得，再令，可得，利用累加法分析證明.【小問1詳解】因?yàn)?，則，則，，即切點(diǎn)坐標(biāo)為，斜率，由題意可得：，解得.【小問2詳解】令， 則，由題意可知：當(dāng)時(shí)，恒有，且，則，解得，若，則有：①當(dāng)時(shí)，，因?yàn)椋芍?，令，因?yàn)樵趦?nèi)單調(diào)遞增，可得在內(nèi)單調(diào)遞增，則，即，符合題意；②當(dāng)時(shí)，則在內(nèi)恒成立，符合題意；③當(dāng)時(shí)，令，則，因?yàn)?，則，，可知在內(nèi)恒成立，則在內(nèi)單調(diào)遞增，可得，則在內(nèi)單調(diào)遞增，可得，符合題意；綜上所述：實(shí)數(shù)a的取值范圍為.【小問3詳解】由（2）可知：當(dāng)時(shí)，，令，可得，令，則，則，整理得， 令，則，整理得，則，所以.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：兩招破解不等式的恒成立問題（1）分離參數(shù)法第一步：將原不等式分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為不含參數(shù)的函數(shù)的最值問題；第二步：利用導(dǎo)數(shù)求該函數(shù)的最值；第三步：根據(jù)要求得所求范圍．（2）函數(shù)思想法第一步：將不等式轉(zhuǎn)化為含待求參數(shù)的函數(shù)的最值問題；第二步：利用導(dǎo)數(shù)求該函數(shù)的極值；第三步：構(gòu)建不等式求解．