十二大考點(diǎn)+真題模擬題練選填03平面向量（原卷版）.docx

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選填03平面向量【考點(diǎn)01基底拆分】【例1】在中，點(diǎn)滿(mǎn)足，則（????）A．B．C．D．【例2】在中，，D為AB的中點(diǎn)，，P為CD上一點(diǎn)，且，則（????）A．B．C．D．【變式1-1】在中，點(diǎn)D在邊AB上且滿(mǎn)足，E為BC的中點(diǎn)，直線(xiàn)DE交AC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)13學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 F，則（????）A．B．C．D．【變式1-2】已知平行四邊形，若點(diǎn)是邊的三等分點(diǎn)（靠近點(diǎn)處），點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，直線(xiàn)與相交于點(diǎn)，則（????）A．B．C．D．【變式1-3】已知，，是直線(xiàn)上不同的三點(diǎn)，點(diǎn)在外，若，則（????）A．3B．2C．D．【考點(diǎn)02向量共線(xiàn)問(wèn)題】【例3】已知平面向量，，則“”是“存在，使得”的（????）A．必要不充分條件B．充分不必要條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件【例4】已知向量，，若，則（????）A．B．C．7D．8【變式2-1】已知向量，，若與反向共線(xiàn)，則的值為（????）A．0B．C．D．【變式2-2】如圖所示，O點(diǎn)在內(nèi)部，分別是邊的中點(diǎn)，且有，則的面積與的面積的比為（????）A．B．C．D．【變式2-3】如圖，在中，，P為CD上一點(diǎn)，且滿(mǎn)足，則m的值為．13學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 【考點(diǎn)03求數(shù)量積】【例5】已知圓的方程為，直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)且與圓交于兩點(diǎn)，當(dāng)弦長(zhǎng)最短時(shí)，（????）A．B．C．4D．8【例6】已知滿(mǎn)足，，O為的平分線(xiàn)與邊BC的垂直平分線(xiàn)的交點(diǎn)，，則（????）A．B．C．D．【變式3-1】已知在上的投影向量的坐標(biāo)為，，則．【變式3-2】是拋物線(xiàn)上異于坐標(biāo)原點(diǎn)的一點(diǎn)，點(diǎn)在軸上，，為該拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，則（????）A．12B．11C．10D．9【變式3-3】已知圓的半徑為2，弦的長(zhǎng)為，若，則（????）A．-4B．-2C．2D．4【考點(diǎn)04求向量的?！俊纠?】已知向量，滿(mǎn)足，，，則（????）A．3B．15C．-3或15D．3或15【例8】（多選）已知三個(gè)平面向量?jī)蓛傻膴A角相等，且，則（????）A．2B．4C．D．【變式4-1】已知，為非零向量，且，向量在向量上的投影向量為，則的模為．【變式4-2】已知向量，滿(mǎn)足，，，則.【變式4-3】已知兩個(gè)向量，則當(dāng)取得最小值時(shí)，.【考點(diǎn)05求向量的夾角】【例9】已知非零向量與滿(mǎn)足，若，則（????）A．B．C．D．【例10】已知向量，則“”是“與的夾角為鈍角”的（????）13學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件【變式5-1】已知向量，且與的夾角為，，向量與的夾角為，則（????）A．B．C．D．【變式5-2】在直角梯形ABCD中，，，，，M是CD的中點(diǎn)，N在BC上，且，則（????）A．B．C．D．【變式5-3】若向量，，且，則．【考點(diǎn)06求投影向量】【例11】已知，，若，則在上的投影向量為（?????）A．B．C．D．【例12】已知非零且不垂直的平面向量，滿(mǎn)足，若在方向上的投影與在方向上的投影之和等于，則，夾角的余弦值的最小值為．【變式6-1】已知向量，，若向量在向量上的投影向量，則（????）A．B．C．3D．7【變式6-2】已知向量，，若向量在向量上的投影向量為，則實(shí)數(shù)的值為（???）A．B．C．D．【變式6-3】在矩形中，，，，則向量在向量方向上的投影為．【考點(diǎn)07坐標(biāo)法求最值范圍】【例13】設(shè)向量、、滿(mǎn)足，，，，則的最大值等于（????）A．B．C．D．13學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 【例14】如圖，已知是半徑為2，圓心角為的扇形，點(diǎn)分別在上，且，點(diǎn)是圓弧上的動(dòng)點(diǎn)（包括端點(diǎn)），則的最小值為（????）??A．B．C．D．【變式7-1】已知，若動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足，則的最大值是（????）A．18B．9C．3D．【變式7-2】如圖，在四邊形中，已知，點(diǎn)在邊上，則的最小值為.【變式7-3】在平面四邊形中，，，向量在向量上的投影向量為，則；若，點(diǎn)為線(xiàn)段上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為．【考點(diǎn)08三角換元求最值范圍】【例15】窗花是貼在窗紙或窗戶(hù)玻璃上的剪紙，是中國(guó)古老的傳統(tǒng)民間藝術(shù).圖1是一張由卷曲紋和回紋構(gòu)成的正六邊形剪紙窗花，如圖2所示其外框是邊長(zhǎng)為2的正六邊形ABCDEF，內(nèi)部圓的圓心為該正六邊形的中心О，圓О的半徑為1，點(diǎn)P在圓О上運(yùn)動(dòng)，則的最小值為（????）A．-1B．-2C．1D．213學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 【例16】已知正方形的內(nèi)切圓的半徑為1，點(diǎn)M是圓上的一動(dòng)點(diǎn)，則的取值范圍是（????）A．B．C．D．【變式8-1】如圖是六角螺母的橫截面，其內(nèi)圈是半徑為1的圓，外框是以為中心，邊長(zhǎng)為2的正六邊形，則到線(xiàn)段的距離為；若是圓上的動(dòng)點(diǎn)，則的取值范圍是.??【變式8-2】已知正方形的邊長(zhǎng)為，動(dòng)點(diǎn)在以為圓心且與相切的圓上，則的取值范圍是．【變式8-3】設(shè)點(diǎn)Q在半徑為1的圓P上運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)P在半徑為2的圓O上運(yùn)動(dòng)．O為定點(diǎn)，P，Q兩點(diǎn)的初始位置如圖所示，其中，當(dāng)點(diǎn)P轉(zhuǎn)過(guò)角度時(shí)，點(diǎn)Q轉(zhuǎn)過(guò)角度，則在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的取值范圍為．??【考點(diǎn)09“四心”問(wèn)題（一）——重心與垂心】【例17】已知O是平面上的一個(gè)定點(diǎn)，A?B?C是平面上不共線(xiàn)的三點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足，則點(diǎn)P的軌跡一定經(jīng)過(guò)的（????）A．重心B．外心C．內(nèi)心D．垂心【例18】是所在平面上一點(diǎn)，若，則是的（????）A．外心B．內(nèi)心C．重心D．垂心【變式9-1】如圖所示，已知點(diǎn)G是的重心，過(guò)點(diǎn)G作直線(xiàn)分別與AB，AC兩邊交于M，N兩點(diǎn)（點(diǎn)M，N與點(diǎn)B，C不重合），設(shè)，，則的最小值為（????）13學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 ??A．2B．C．4D．【變式9-2】已知H為的垂心，若，則（????）A．B．C．D．【變式9-3】在平行四邊形中，為的重心，，則．【考點(diǎn)10“四心”問(wèn)題（二）——內(nèi)心與外心】【例19】在直角三角形中，，的重心、外心、垂心、內(nèi)心分別為，，，，若（其中），當(dāng)取最大值時(shí)，（????）A．1B．2C．3D．4【例20】在中，設(shè)，那么動(dòng)點(diǎn)的軌跡必通過(guò)的（????）A．垂心B．內(nèi)心C．重心D．外心【變式10-1】已知點(diǎn)O為所在平面內(nèi)一點(diǎn)，在中，滿(mǎn)足，，則點(diǎn)O為該三角形的（????）A．內(nèi)心B．外心C．垂心D．重心【變式10-2】O是平面上一定點(diǎn)，A、B、C是平面上不共線(xiàn)的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足，，則P的軌跡一定通過(guò)的（????）A．外心B．內(nèi)心C．重心D．垂心【變式10-3】在中，，，，為中點(diǎn)，為的內(nèi)心，且，則（????）A．B．C．D．【考點(diǎn)11極化恒等式】【例21】如圖，在等腰直角三角形中，斜邊，為線(xiàn)段上的動(dòng)點(diǎn)（包含端點(diǎn)），為的中點(diǎn)．將線(xiàn)段繞著點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得到線(xiàn)段，則的最小值為（　　）13學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 ??A．B．C．D．【例22】已知AB是圓O的直徑，AB長(zhǎng)為2，C是圓O上異于A，B的一點(diǎn)，P是圓O所在平面上任意一點(diǎn)，則(＋)的最小值為（????）A．B．C．D．【變式11-1】向量的數(shù)量積可以表示為：以這組向量為鄰邊的平行四邊形的“和對(duì)角線(xiàn)”與“差對(duì)角線(xiàn)”平方差的四分之一.即如圖所示：，我們稱(chēng)為極化恒等式.在△中，是中點(diǎn)，，，則（????）A．32B．-32C．16D．-16【變式11-2】已知正方形的邊長(zhǎng)為2，為對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在線(xiàn)段上，點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)，則的最大值為．【變式11-3】如圖，已知M，N是邊BC上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，若，，則=．【考點(diǎn)12向量與恒成立問(wèn)題】【例23】已知向量，，其中.若，則當(dāng)恒成立時(shí)實(shí)數(shù)的取值范圍是（????）13學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 A．或B．或C．D．【例24】中，為邊的中點(diǎn)，為線(xiàn)段上的任意一點(diǎn)（不含），且，（為正實(shí)數(shù)），若恒成立，則實(shí)數(shù)的最大值為（????）A．2B．4C．6D．8【變式12-1】已知單位向量，，若對(duì)任意實(shí)數(shù)，恒成立，則向量，的夾角的取值范圍為（????）A．B．C．D．【變式12-2】已知P是圓C：外一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作圓C的切線(xiàn)，切點(diǎn)分別為A，B，總有△為正三角形，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線(xiàn)l:上存在兩點(diǎn)M、N，使得恒成立，則線(xiàn)段MN長(zhǎng)度的最大值是．【變式12-3】已知中，，，，M是AB的中點(diǎn)，P為線(xiàn)段DC上的動(dòng)點(diǎn)，則的取值范圍是；延長(zhǎng)DC至，使，若T為線(xiàn)段上的動(dòng)點(diǎn)，且恒成立．則的最大值為．一、一、單選題1．（2024·廣東廣州·廣州六中?？既＃┰谄叫兴倪呅沃?，，，則（????）A．B．C．D．2．（2023·陜西榆林·?？寄M預(yù)測(cè)）在中，點(diǎn)滿(mǎn)足，點(diǎn)滿(mǎn)足，若，則（????）A．B．C．D．3．（2024·云南昭通·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知非零向量與滿(mǎn)足，且13學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 ，則向量在向量上的投影向量為（????）A．B．C．D．4．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知單位向量，的夾角為，向量，，，向量，的夾角的余弦值為，則（????）A．1B．C．2D．5．（2022·安徽·蕪湖一中校聯(lián)考三模）平面上有及其內(nèi)一點(diǎn)O，構(gòu)成如圖所示圖形，若將，，的面積分別記作，，，則有關(guān)系式．因圖形和奔馳車(chē)的很相似，常把上述結(jié)論稱(chēng)為“奔馳定理”．已知的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若滿(mǎn)足，則O為的（????）A．外心B．內(nèi)心C．重心D．垂心6．（2023·山東·山東省五蓮縣第一中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知是半徑為2的圓上的三個(gè)動(dòng)點(diǎn)，弦所對(duì)的圓心角為，則的最大值為（????）A．6B．3C．D．二、多選題7．（2023·廣東·統(tǒng)考二模）若平面向量，，其中，，則下列說(shuō)法正確的是（???）A．若，則B．若，則與同向的單位向量為C．若，且與的夾角為銳角，則實(shí)數(shù)的取值范圍為D．若，則的最小值為8．（2023·湖北襄陽(yáng)·襄陽(yáng)四中?？寄M預(yù)測(cè)）在直角梯形中，為中點(diǎn)，分別為線(xiàn)段的兩個(gè)三等分點(diǎn)，點(diǎn)為線(xiàn)段上任意一點(diǎn)，若，則的值可能是（????）13學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 ??A．1B．C．D．39．（2024·安徽淮北·統(tǒng)考一模）如圖，邊長(zhǎng)為2的正六邊形，點(diǎn)是內(nèi)部（包括邊界）的動(dòng)點(diǎn)，，，.（????）??A．B．存在點(diǎn)，使C．若，則點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為2D．的最小值為10．（2023·福建·統(tǒng)考一模）平面向量滿(mǎn)足，對(duì)任意的實(shí)數(shù)t，恒成立，則（????）A．與的夾角為B．為定值C．的最小值為D．在上的投影向量為三、填空題11．（2023·天津紅橋·統(tǒng)考一模）如圖所示，在中，點(diǎn)為邊上一點(diǎn)，且，過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與直線(xiàn)相交于點(diǎn)，與直線(xiàn)相交于點(diǎn)（，交兩點(diǎn)不重合）.若，則，若，，則的最小值為.12．（2023·四川成都·校聯(lián)考二模）平面向量，滿(mǎn)足，且，則的最小值是．13．（2022·江蘇南京·模擬預(yù)測(cè)）在中，，，，為的重心，13學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 在邊上，且，則．14．（2023·北京通州·統(tǒng)考三模）已知等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為2，⊙A的半徑為1，PQ為⊙A的任意一條直徑，則=.1．（2022年新高考全國(guó)II卷數(shù)學(xué)真題）已知向量，若，則（????）A．B．C．5D．62．（2023年高考全國(guó)乙卷數(shù)學(xué)（文）真題）正方形的邊長(zhǎng)是2，是的中點(diǎn)，則（????）A．B．3C．D．53．（2023年北京高考數(shù)學(xué)真題）已知向量滿(mǎn)足，則（????）A．B．C．0D．14．（2023年新課標(biāo)全國(guó)Ⅰ卷數(shù)學(xué)真題）已知向量，若，則（????）A．B．C．D．5．（2023年高考全國(guó)乙卷數(shù)學(xué)（理）真題）已知的半徑為1，直線(xiàn)PA與相切于點(diǎn)A，直線(xiàn)PB與交于B，C兩點(diǎn)，D為BC的中點(diǎn)，若，則的最大值為（????）A．B．C．D．6．（2022年新高考北京數(shù)學(xué)高考真題）在中，．P為所在平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且，則的取值范圍是（????）A．B．C．D．7．（2022年新高考浙江數(shù)學(xué)高考真題）設(shè)點(diǎn)P在單位圓的內(nèi)接正八邊形的邊上，則的取值范圍是．8．（2023年高考全國(guó)甲卷數(shù)學(xué)（理）真題）已知向量滿(mǎn)足，且，則13學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 （????）A．B．C．D．9．（2023年高考全國(guó)甲卷數(shù)學(xué)（文）真題）已知向量，則（????）A．B．C．D．10．（2022年新高考天津數(shù)學(xué)高考真題）在中，，D是AC中點(diǎn)，，試用表示為，若，則的最大值為11．（2023年新課標(biāo)全國(guó)Ⅱ卷數(shù)學(xué)真題）已知向量，滿(mǎn)足，，則．12．（2023年天津高考數(shù)學(xué)真題）在中，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，若設(shè)，則可用表示為；若，則的最大值為．13學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司