九大考點+真題模擬題練選填01集合 與常用邏輯用語（解析版）.docx

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選填01集合與常用邏輯用語【考點01集合的交并補運算】【例1】已知集合則（????）A．B．C．D．【答案】B【分析】先化簡集合，再利用并集和補集運算求解.【詳解】由題意得，，則，故選:B．【例2】設集合，則（????）A．B．C．D．【答案】C【分析】根據交集的定義和運算即可求解.31 【詳解】由題意知，僅點在直線上，所以.故選：C【變式1-1】設集合，，則（????）A．B．C．D．【答案】B【分析】根據函數式有意義列出不等式，求解不等式，利用集合的交集定義即得.【詳解】在中，由得，即，又由可得：，解得：，即，故.故選:B.【變式1-2】已知集合，，則（???）A．B．C．D．【答案】C【分析】根據對數的單調性、一元二次不等式的解法，結合并集的定義進行求解即可.【詳解】由，由，所以，故選：C【變式1-3】設全集，集合，則（????）A．B．C．D．【答案】C【分析】由題意確定集合B，求出，根據集合的交集運算，即可求得答案.【詳解】由題意知，，則，故，31 故選：C【考點02（真）子集問題】【例3】已知集合，，則的真子集個數為（????）A．B．C．D．【答案】C【分析】求出集合、，可求出集合，可得出集合的元素個數，即可得出的真子集個數.【詳解】因為，，則，所以，的真子集個數為.故選：C.【例4】已知集合，若，則的子集有（????）A．3個B．4個C．7個D．8個【答案】B【分析】先將集合A化簡，求出集合C得解.【詳解】集合，因為，所以，其子集有4個.故選：B.【變式2-1】已知集合，，則集合的真子集個數為（????）A．8B．16C．31D．63【答案】C【分析】根據題意，利用列舉法求化簡集合，從而求得集合的真子集個數.【詳解】依題意，得；；；；；；；；，故，其真子集的個數為：．故選：C.【變式2-2】已知集合和集合滿足：有2個元素，有6個元素，且集合31 的元素個數比集合的元素個數多2個，則集合的所有子集個數比集合的所有子集個數多（????）A．22B．23C．24D．25【答案】C【分析】設集合和集合的元素個數分別為，根據條件列方程求出，然后根據集合子集個數的公式求出集合和集合的所有子集個數，然后做差即可.【詳解】設集合和集合的元素個數分別為，則由有2個元素，有6個元素可知，．即①．又因為集合的元素個數比集合的元素個數多2個，所以②．聯(lián)立①②可得，，即集合和集合的元素個數分別為5和3，所以集合的所有子集個數和集合的所有子集個數分別為，，所以，故選：C．【變式2-3】設非空集合滿足，，則這樣的的個數為．【答案】【分析】利用非空集合子集的個數計算公式可求滿足條件的的個數.【詳解】由題設可得，這5組中的每一組中的元素必定同時出現在集合中，故這樣的非空集合的個數為，故答案為：【考點03集合的含參運算】【例5】已知集合，若，則實數（????）A．B．或0C．D．2【答案】C【分析】根據子集關系結合集合中元素的互異性求解出的值.【詳解】根據集合中元素的互異性，可得，所以，根據，可得，則或，解得，故選：C．31 【例6】已知集合，，若，則（????）A．－1B．－1或0C．±1D．0或±1【答案】A【分析】解一元高次方程求集合M，由題設有且即可求參數m.【詳解】依題意，．由，可知：，又，則.故選：A．【變式3-1】已知集合，，且，則實數（????）A．B．1C．或1D．0【答案】A【分析】根據集合的包含關系，利用元素互異性的特征，建立方程，可得答案.【詳解】解：∵集合，，，∴由集合元素的互異性及子集的概念可知，解得實數．故選：A．【變式3-2】設集合，，，若點，則的最小值為（????）A．B．C．D．【答案】C【分析】根據列不等式組，由此化簡求得的最小值.【詳解】、，由于，所以，，所以，即的最小值為.故選：C31 【變式3-3】設集合或，若，則的取值范圍是（????）A．或B．或C．D．【答案】B【分析】先求出，根據，可求得結果.【詳解】由集合或，得，又集合且，則2或，即或.故選：B.【考點04韋恩圖】【例7】已知全集為，集合滿足，則（????）A．B．C．D．【答案】B【分析】利用已知條件結合韋恩圖即可判斷.【詳解】由，結合韋恩圖，知；；不是的子集；．故選：B．【例8】已知全集，集合，，則能表示A，B，U關系的圖是（????）A．??B．??C．??D．??【答案】C31 【分析】計算出集合、后結合集合的關系即可得.【詳解】由，得，解得，即，由，得，即，則，又，，故選項C正確.故選：C.【變式4-1】（多選）已知集合均為的子集，若，則（????）A．B．C．D．【答案】AD【分析】畫出韋恩圖逐項分析即可.【詳解】如圖所示??根據圖可得，，故A正確，B錯誤；,故C錯誤，D正確，故選：AD.【變式4-2】設全集，或，.如圖所示，則陰影部分所表示的集合為（????）A．B．C．或D．【答案】A【分析】由韋恩圖可知，陰影部分為，根據并集運算求出31 ，再根據補集運算，即可求出結果.【詳解】由韋恩圖可知，陰影部分為，由題意，或，所以.故選：A.【變式4-3】已知全集，集合，則圖中陰影部分表示的集合為（????）A．B．C．D．【答案】C【分析】解二次不等式與指數不等式化簡集合，再利用韋恩圖所表示的集合即可得解.【詳解】因為或，所以，又，所以題圖中陰影部分表示的集合為.故選：C.【考點05充分必要條件的判定】【例9】已知是第三象限角，，則是的（????）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】根據三角函數以及充分、必要條件等知識確定正確答案.【詳解】若是第三象限角，則；若，如，則不是第三象限角.31 所以是的充分不必要條件.故選：A【例10】不等式成立的一個充分不必要條件是（???。〢．或B．或C．D．【答案】D【分析】解分式不等式得到其等價條件，結合充分不必要條件的定義逐一分析判斷即可.【詳解】對于A，由不等式，解得或，顯然兩者是充要條件，故A錯誤；對于B，或不能推出或，故B錯誤；對于C，不能推出或，故C錯誤；對于D，能推出或，反之推不出，故D正確.故選：D.【變式5-1】若為實數，則“”是“直線與直線平行”的（????）A．充要條件B．必要不充分條件C．充分不必要條件D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】根據直線平行的條件和充分必要條件的概念可判斷結果.【詳解】因為直線與直線平行的充要條件是且，即且，解得.所以由充分必要條件的概念判斷可知：“”是“直線與直線平行”的充要條件.故選：A【變式5-2】若“”是“”的一個充分條件，則的一個可能取值是.（寫出一個符合要求的答案即可）【答案】（答案不唯一）【分析】解不等式，可得出滿足條件的一個的值.【詳解】由可得，則，31 所以，解得.因為“”是“”的一個充分條件，所以的一個可能取值為（答案不唯一，均滿足題意）．故答案為：（答案不唯一，均滿足題意）.【變式5-3】“，是“”的（????）A．充分不必要條件B．充要條件C．必要不充分條件D．既不充分也不必要條件【答案】D【分析】根據不等性質直接判斷.【詳解】由于，的正負性不確定，由“，”不能推出“”，故充分性不成立；同時當“”時也不能推出“，”，故必要性也不成立.故選：D.【考點06充分必要的含參問題】【例11】設.若是的充分不必要條件，則的取值范圍是（????）A．B．C．D．【答案】A【分析】對，進行化簡，然后利用充分不必要條件的定義求解即可.【詳解】因為，所以，即，因為，所以，若是的充分不必要條件，則，解得，，故選：A.【例12】（多選）命題“是的必要不充分條件”是假命題，則不可能的取值是（????）A．1B．2C．3D．4【答案】BCD【分析】根據給定條件，結合必要不充分條件的定義求出即得結果.31 【詳解】由是的必要不充分條件，得，于是命題“是的必要不充分條件”是假命題，有，所以不可能的取值是2，3，4，即BCD正確，A錯誤.故選：BCD【變式6-1】已知集合，，若“”是“”的充分非必要條件，則實數的取值范圍是（????）A．B．C．D．【答案】B【分析】首先解一元二次不等式求出集合，依題意可得ü，即可得到，再求出集合，即可求出參數的取值范圍.【詳解】由，解得，所以，因為，所以不等式，等價于，因為“”是“”的充分非必要條件，所以ü，所以，則，所以不等式，即，解得，所以，又ü，所以.故選：B【變式6-2】若“”是“”的充分不必要條件，則a的取值范圍是．【答案】【分析】根據題意轉化為當時，恒成立，結合二次函數的性質，即可求解.【詳解】由是的充分不必要條件，可轉化為當時，恒成立，即當時，恒成立，又由函數在上為單調遞增函數，且，所以，經驗證，當時，不等價于，所以的取值范圍是．故答案為：.【變式6-3】設命題，命題．若q是p31 的必要不充分條件，則實數m的取值范圍是．【答案】【分析】化簡命題和，利用真子集關系列式可求出結果.【詳解】由，得，即；由，得，因為q是p的必要不充分條件，所以是的真子集，所以且兩個等號不同時取，解得.故答案為：【考點07判斷全稱命題與存在命題的真假】【例13】下列命題中，真命題是（????）A．“”是“”的必要條件B．C．D．的充要條件是【答案】B【分析】舉反例來判斷ACD，利用指數函數的性質判斷B.【詳解】對于A，當時，滿足，但不滿足，故“”不是“”的必要條件，故錯誤；對于B，根據指數函數的性質可得，對于，即，故正確；對于C，當時，，故錯誤；對于D，當時，滿足，但不成立，故錯誤.故選：B.【例14】命題：，，命題：，，則（????）A．真真B．假假C．假真D．真假【答案】D【分析】對于命題：根據特稱命題結合二次函數分析判斷；對于命題：根據存在命題結合二次函數的31 判別式分析判斷.【詳解】對于命題：令，則開口向上，對稱軸為，且，則，所以，，即命題為真命題；對于命題：因為，所以方程無解，即命題為假命題；故選：D.【變式7-1】下列四個命題中，是假命題的是（????）A．，且B．，使得C．若x＞0，y＞0，則D．若，則的最小值為1【答案】A【分析】A舉反例，B找一個滿足條件的，C基本不等式的應用，D分離常數結合基本不等式.【詳解】解析：選A.對于A，，且對x＜0時不成立；對于B，當x＝1時，x2＋1＝2，2x＝2，成立，正確；對于C，若x＞0，y＞0，則，化為，當且僅當時取等號，C正確；對于D，，因為，所以，所以，當且僅當，即時取等號.故y的最小值為1，D正確.故選：A【變式7-2】（多選）下列命題正確的是（????）A．，B．，31 C．若命題“，”為真命題，則實數的取值范圍為D．若，，使得，則實數的最小值為【答案】BD【分析】A，B，C結合二次函數圖像即可判斷；D，即求【詳解】對于A，因為，，開口向上，，，故A錯誤；對于B，令，則，即為，而在上單調遞減，故，故B正確；對于C，顯然，且，解得，故C錯誤；對于D，當時，，當時，，故，所以，故D正確.故選：BD．【變式7-3】有下列命題：①若“，則或”是真命題；②命題“，”的否定是“，”；③，為真命題，則a的最大值為2.其中正確的是（填序號）.【答案】①③【分析】①由于原命題和逆否命題為等價命題，可利用逆否命題判定；②用全稱量詞的否定判定；③可利用恒成立問題，由基本不等式找到判定a的范圍.【詳解】對于①，若“，則或”的逆否命題為：若且，則，顯然逆否命題為真命題，由于原命題和逆否命題為等價命題，故該命題是真命題，故①為真命題；對于②，命題“，”的否定是“，”，故②為假命題；對于③，因為，為真命題，所以，因為，當且僅當，即時，等號成立，所以，即a的最大值為2，故③為真命題.故答案為：①③.31 【考點08全稱命題與存在命題的含參問題】【例15】若“存在，使得”是假命題，則實數的取值范圍.【答案】【分析】由題意可得：“任意，使得”是真命題，參變分離結合基本不等式運算求解.【詳解】由題意可得：“任意，使得”是真命題，注意到，整理得，原題意等價于“任意，使得”是真命題，因為，當且僅當，即時，等號成立，所以，解得，所以實數的取值范圍.故答案為：.【例16】若“，”是假命題，則的取值范圍為（????）A．B．C．D．【答案】B【分析】確定對于恒成立，變換，根據三角函數的值域得到答案.【詳解】“，”是假命題，即對于恒成立，即，，，故.故選：B【變式8-1】若命題“，使成立”的否定是真命題，則實數的取值范圍是（????）A．B．C．D．【答案】C【分析】真命題轉化為不等式恒成立求參數的取值范圍求解即可.【詳解】若“，使成立”的否定是：31 “，使”為真命題，即；令，由，得，所以，所以，故選：C.【變式8-2】若命題“，”為假命題，則的取值范圍為.【答案】【分析】根據已知條件知命題“，”為真命題，再分類討論，即可求解.【詳解】由題意可知，命題“，”為真命題.當時，可得.若，則有，符合題意；若，則有，解得，不符合題意；當時，則，解得.綜上，的取值范圍是.故答案為：.【變式8-3】若命題：“，”是假命題，則的取值范圍是.【答案】【分析】本題首先可根據題意得出命題“”是真命題，然后分為三種情況進行討論，結合二次函數性質即可得出結果.【詳解】因為命題：“，”是假命題，所以命題“”是真命題，若，即或，當時，不等式為，恒成立，滿足題意；31 當時，不等式為，不恒成立，不滿足題意；當時，則需要滿足，即，解得，綜上所述，的取值范圍是.故答案為：【考點09集合的新定義】【例17】定義，若集合，則A中元素的個數為（????）A．6B．7C．8D．9【答案】B【分析】利用集合的新定義找到符合條件的元素個數即可.【詳解】由題知y的可能取值有，，，0，1，2，3，則集合A中有7個元素.故選：B.【例18】大數據時代，需要對數據庫進行檢索，檢索過程中有時會出現笛卡爾積現象，而笛卡爾積會產生大量的數據，對內存、計算資源都會產生巨大壓力，為優(yōu)化檢索軟件，編程人員需要了解笛卡爾積．兩個集合和，用中元素為第一元素，中元素為第二元素構成有序對，所有這樣的有序對組成的集合叫作與的笛卡兒積，又稱直積，記為．即且．關于任意非空集合，下列說法一定正確的是（????）A．B．C．üD．【答案】D【分析】舉例說明判斷ABC；利用給定的定義結合集合運算的意義推理判斷D.【詳解】對于A，若，則，A錯誤；對于B，若，則，而，B錯誤；31 對于C，若，則，，，，C錯誤；對于D，任取元素，則且，則且，于是且，即，反之若任取元素，則且，因此且，即且，所以，即，D正確.故選：D【變式9-1】若集合，，定義集合且，則（???）A．B．C．D．【答案】C【分析】化簡集合，結和所給定義域即可求解.【詳解】由得，則，又且，則.故選：C【變式9-2】對于數集，，定義，，，若集合，則集合中所有元素之和為（????）A．B．C．D．【答案】D【分析】由題意，理解新定義，可得，通過的集定義與集合運算即可得出結論.【詳解】試題分析：根據新定義，數集，，定義，，，集合，，，則可知所有元素的和為，故選：D.【變式9-3】（多選）給定數集M，若對于任意，有，且，則稱集合M31 為閉集合，則下列說法中不正確的是（????）A．集合為閉集合B．正整數集是閉集合C．集合為閉集合D．若集合，為閉集合，則為閉集合【答案】ABD【分析】首先判斷信息題型的做法，理解題，進一步利用信息做題，從而得到結果．【詳解】定數集，若對于任意，，有，且，則稱集合為閉集合，對于A：由于，但是，故集合不為閉集合，故A錯誤；對于B：對于正整數集，有，但是，故B錯誤；對于C：任取，則，則，所以，故.集合為閉集合，故C正確；對于D：由C可得為閉集合，同理為閉集合，所以，則有，但，則不為閉集合，故D錯誤；故選：ABD．一、單選題1．（2024·廣東中山·中山紀念中學?？家荒＃┤裘}“，”是假命題，則實數的最小值為（????）A．1B．2C．4D．8【答案】C【分析】根據特稱命題與全稱命題的真假性質，結合一元二次不等式的解集的性質進行求解即可.【詳解】因為命題“，”是假命題，所以命題“，”是真命題，31 因此有，所以實數的最小值為，故選：C2．（2023·貴州銅仁·校聯(lián)考模擬預測）已知，則的一個必要不充分條件是（????）A．B．C．D．【答案】A【分析】根據題意，利用指數函數的性質，求得不等式的解集，結合選項，以及必要不充分條件的判定方法，即可求解.【詳解】由不等式，可得，即，解得，結合選項，可得的一個必要不充分條件為.故選：A.3．（2024·廣東廣州·華南師大附中校考一模）集合，若且，則滿足條件的集合的個數為（????）A．7B．8C．15D．16【答案】C【分析】利用集合所包含子集的個數求解.【詳解】因為，所以共有子集個，又且，所以共有個，故選：C4．（2024·全國·模擬預測）已知集合，，，則的元素之和為（???）A．5B．6C．7D．8【答案】A【分析】根據給定的交集運算的結果，求出值即得.【詳解】由及，得，則，又，則，所以，所有元素之和為5．31 故選：A5．（2023·湖北黃岡·統(tǒng)考模擬預測）已知全集為U，集合M，N滿足，則下列運算結果一定為U的是（????）A．B．C．D．【答案】D【分析】根據集合間的基本關系及集合的基本運算，借助Venn圖即可求解.【詳解】由得當ü時，ü，故選項A不正確；，當時，ü，故選項B不正確；當ü時，ü，故選項C不正確；因為，所以，故選項D正確.故選：D.6．（2024·吉林白山·統(tǒng)考一模）“”是“方程有唯一實根”的（????）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．非充分非必要條件【答案】A【分析】應用數形結合求出“方程有唯一實根”時，的取值范圍，再結合充分性、必要性即可求解.【詳解】方程有唯一解，即直線與上半圓有且僅有一個交點，解得的取值范圍為，∴是方程有唯一解的充分不必要條件；故選：A．31 二、多選題7．（2023·吉林白山·撫松縣第一中學校考模擬預測）若對任意，，則稱為“影子關系”集合，下列集合為“影子關系”集合的是（????）A．B．C．D．【答案】ABD【分析】根據“影子關系”集合的定義逐項分析即可.【詳解】根據“影子關系”集合的定義，可知，，為“影子關系”集合，由，得或，當時，，故不是“影子關系”集合．故選：ABD8．（2019·廣東惠州·統(tǒng)考二模）下列命題正確的是（　?。〢．““是“”的充分不必要條件B．命題“”的否定是“”C．設，則“且”是“”的必要而不充分條件D．設，則“”是“”的必要而不充分條件【答案】ABD【分析】對于A，C，D，根據充分條件、必要條件的概念逐項判斷可得答案；對于B，根據全稱命題的否定是特稱命題可得B正確.【詳解】對于A，當時，，充分性成立；當時，有或，必要性不成立，所以““是“”的充分不必要條件，故A正確；對于B，命題“”的否定是“”，故B正確；對于C，，則“且時，，充分性成立；時，不能得出且，必要性不成立，31 所以“且”是“”的充分不必要條件，故C錯誤；對于D，設，時，不能得出，充分性不成立；“”時，得出，必要性成立，所以“”是“”的是必要不充分條件，故D正確．故選：ABD．9．（2023·云南昆明·昆明一中?？寄M預測）已知條件p：，條件q：，且p是q的必要條件，則m的值可以是（????）A．B．C．-D．0【答案】BCD【分析】根據必要條件轉化為集合的包含關系，求解即可.【詳解】設，,因為p是q的必要條件，所以，當時，由無解可得，符合題意；當時，或，當時，由解得，當時，由解得.綜上，的取值為0，，.故選：BCD10．（2023·海南·模擬預測）已知命題:“”，"”，則下列正確的是（????）A．的否定是“”B．的否定是“”C．若為假命題，則的取值范圍是D．若為真命題，則的取值范圍是【答案】AD【分析】根據含有一個量詞的命題的否定判斷A、B；C選項轉化為一元二次方程無實數解，用判別式計算的取值范圍；D選項轉化為二次不等式恒成立，計算參數的范圍.【詳解】含有一個量詞的命題的否定，是把量詞改寫，再把結論否定，所以A正確，B不正確；C選項，若為假命題，則的否定“”是真命題，即方程31 在實數范圍內無解，，得，C不正確；D選項，，等價于，解得，D正確；故選：AD.三、填空題11．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預測）已知集合有15個真子集，則的一個值為.【答案】（或，或，填其中一個即可）【分析】根據題意，得到集合中含有4個元素，則有4個因數，則除1和它本身外，還有2個因數，即可求解.【詳解】由集合有15個真子集，可得集合中含有4個元素，則有4個因數，則除1和它本身外，還有2個因數，所以的值可以為，故的一個值為6（或8，或10）.故答案為：（或，或，填其中一個即可）.12．（2023·上海浦東新·華師大二附中?？寄M預測）已知集合，，若，則實數值集合為．【答案】【分析】由得到，則的子集有，，，，分別求解即可.【詳解】因為，故；則的子集有，，，，當時，顯然有；當時，；當，；當，不存在，所以實數的集合為；故答案為．13．（2024·遼寧沈陽·統(tǒng)考一模）的一個充分不必要條件是.31 【答案】（答案不唯一）【分析】根據三角函數的性質結合充分不必要條件即可求解.【詳解】因為時，由可得,故的一個充分不必要條件是，故答案為：（答案不唯一）14．（2023·陜西榆林·?？寄M預測）若命題“，使得”是假命題，則的取值范圍是．【答案】【分析】由題意知原命題的否定為真，將問題轉換成立二次不等式在定區(qū)間上的恒成立問題了，對對稱軸的位置進行討論即可求解.【詳解】由題意原命題的否定“，使得”是真命題，不妨設，其開口向上，對稱軸方程為，則只需在上的最大值即可，我們分以下三種情形來討論：情形一：當即時，在上單調遞增，此時有，解得，故此時滿足題意的實數不存在；情形二：當即時，在上單調遞減，在上單調遞增，此時有，只需，解不等式組得，故此時滿足題意的實數的范圍為；情形三：當即時，在上單調遞減，此時有，解得，31 故此時滿足題意的實數不存在；綜上所述：的取值范圍是.故答案為：.1．（2023年高考全國乙卷數學（文）真題）設全集，集合，則（????）A．B．C．D．【答案】A【分析】由題意可得的值，然后計算即可.【詳解】由題意可得，則.故選：A.2．（2023年高考全國甲卷數學（理）真題）設甲：，乙：，則（????）A．甲是乙的充分條件但不是必要條件B．甲是乙的必要條件但不是充分條件C．甲是乙的充要條件D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件【答案】B【分析】根據充分條件、必要條件的概念及同角三角函數的基本關系得解.【詳解】當時，例如但，即推不出；當時，，即能推出.綜上可知，甲是乙的必要不充分條件.故選：B3．（2023年高考全國甲卷數學（理）真題）設全集,集合，（????）31 A．B．C．D．【答案】A【分析】根據整數集的分類，以及補集的運算即可解出．【詳解】因為整數集，，所以，．故選：A．4．（2023年高考全國乙卷數學（理）真題）已知等差數列的公差為，集合，若，則（????）A．－1B．C．0D．【答案】B【分析】根據給定的等差數列，寫出通項公式，再結合余弦型函數的周期及集合只有兩個元素分析、推理作答.【詳解】依題意，等差數列中，，顯然函數的周期為3，而，即最多3個不同取值，又，則在中，或，于是有，即有，解得，所以，.故選：B5．（2023年高考全國乙卷數學（理）真題）設集合，集合，，則（????）A．B．C．D．【答案】A31 【分析】由題意逐一考查所給的選項運算結果是否為即可.【詳解】由題意可得，則，選項A正確；，則，選項B錯誤；，則或，選項C錯誤；或，則或，選項D錯誤；故選：A.6．（2023年天津高考數學真題）“”是“”的（????）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充分必要條件D．既不充分又不必要條件【答案】B【分析】根據充分、必要性定義判斷條件的推出關系，即可得答案.【詳解】由，則，當時不成立，充分性不成立；由，則，即，顯然成立，必要性成立；所以是的必要不充分條件.故選：B7．（2023年新課標全國Ⅰ卷數學真題）記為數列的前項和，設甲：為等差數列；乙：為等差數列，則（????）A．甲是乙的充分條件但不是必要條件B．甲是乙的必要條件但不是充分條件C．甲是乙的充要條件D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件【答案】C【分析】利用充分條件、必要條件的定義及等差數列的定義，再結合數列前n項和與第n項的關系推理判斷作答.，【詳解】方法1，甲：為等差數列，設其首項為，公差為，則，因此為等差數列，則甲是乙的充分條件；31 反之，乙：為等差數列，即為常數，設為，即，則，有，兩式相減得：，即，對也成立，因此為等差數列，則甲是乙的必要條件，所以甲是乙的充要條件，C正確.方法2，甲：為等差數列，設數列的首項，公差為，即，則，因此為等差數列，即甲是乙的充分條件；反之，乙：為等差數列，即，即，，當時，上兩式相減得：，當時，上式成立，于是，又為常數，因此為等差數列，則甲是乙的必要條件，所以甲是乙的充要條件.故選：C8．（2023年新課標全國Ⅱ卷數學真題）設集合，，若，則（????）．A．2B．1C．D．【答案】B【分析】根據包含關系分和兩種情況討論，運算求解即可.【詳解】因為，則有：若，解得，此時，，不符合題意；若，解得，此時，，符合題意；綜上所述：.故選：B.9．（2022年新高考浙江數學高考真題）設，則“”是“”的（????）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件31 【答案】A【分析】由三角函數的性質結合充分條件、必要條件的定義即可得解.【詳解】因為可得：當時，，充分性成立；當時，，必要性不成立；所以當，是的充分不必要條件.故選：A.10．（2022年新高考北京數學高考真題）設是公差不為0的無窮等差數列，則“為遞增數列”是“存在正整數，當時，”的（????）A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件【答案】C【分析】設等差數列的公差為，則，利用等差數列的通項公式結合充分條件、必要條件的定義判斷可得出結論.【詳解】設等差數列的公差為，則，記為不超過的最大整數.若為單調遞增數列，則，若，則當時，；若，則，由可得，取，則當時，，所以，“是遞增數列”“存在正整數，當時，”；若存在正整數，當時，，取且，，假設，令可得，且，當時，，與題設矛盾，假設不成立，則，即數列是遞增數列.所以，“是遞增數列”“存在正整數，當時，”.所以，“是遞增數列”是“存在正整數，當時，”的充分必要條件.故選：C.11．（2022年新高考全國II卷數學真題）真題）已知集合，則（????）31 A．B．C．D．【答案】B【分析】方法一：求出集合后可求.【詳解】[方法一]：直接法因為，故，故選：B.[方法二]：【最優(yōu)解】代入排除法代入集合，可得，不滿足，排除A、D；代入集合，可得，不滿足，排除C.故選：B.【整體點評】方法一：直接解不等式，利用交集運算求出，是通性通法；方法二：根據選擇題特征，利用特殊值代入驗證，是該題的最優(yōu)解．12．（2022年高考全國乙卷數學（理）真題）真題）設全集，集合M滿足，則（????）A．B．C．D．【答案】A【分析】先寫出集合,然后逐項驗證即可【詳解】由題知,對比選項知，正確,錯誤故選:31