2024年新高考數(shù)學考前沖刺必刷卷03（新高考新題型）（解析版）.docx

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2024年高考考前信息必刷卷（新高考新題型）03數(shù)學試題（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）2023年的對于三視圖的考察也將近有尾聲，留意的是立體幾何中對圓錐的考察（側面積的計算也會成一個熱點）。其他的題目難度變化不大，但側重于考察學生運算能力與分析能力。應特別注意新高考函數(shù)位于第一大題的位置，其難度有所下降，函數(shù)中多研究含參討論單調性及恒成立存在問題，新高考概率位于第二大題的位置，概率中多研究條件概率、古典概率問題，同時注重圓錐曲線常規(guī)聯(lián)立及二級結論（推導）第I卷（選擇題）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的。1．已知學生的數(shù)學和地理成績具有線性相關關系，高三某次?？贾?，5名學生的數(shù)學和地理成績如下表：學生的編號i12345數(shù)學成績x100105908580地理成績y75■686462現(xiàn)已知其線性回歸方程為，則“■”代表該生的地理成績?yōu)椋????）A．76B．74.85C．73D．72.5【答案】A【解析】，所以■．故選：A2．已知點是的重心，則（????）A．B．C．D．【答案】D【解析】設的中點為D，連接，點是的重心，則P在上，學科網(wǎng)（北京）股份有限公司 且，由此可知A，B，C錯誤，D正確，故選：D3．在等比數(shù)列中，，則（????）A．-4B．8C．-16D．16【答案】C【解析】設等比數(shù)列的公比為，則，即，.故選:C.4．下列說法中正確的是（???）A．沒有公共點的兩條直線是異面直線B．若兩條直線a，b與平面α所成的角相等，則C．若平面α，β，γ滿足，，則D．已知a，b是不同的直線，α，β是不同的平面.若，，，則【答案】D【解析】對A，沒有公共點的兩條直線是異面直線或平行直線，故A錯誤；對B，若兩條直線a，b與平面α所成的角相等，則a，b可以平行、相交或異面，故B錯誤；對C，若平面α，β，γ滿足，，則α，γ不一定垂直，故C錯誤；對D，兩個平面垂直等價于這兩個平面的垂線垂直，故D正確.故選：D.5．一支由12人組成的登山隊準備向一座海拔5888米的山峰攀登，這12人中姓趙、錢、孫、李、周、吳的各有2人．現(xiàn)準備從這12人中隨機挑選4人組成先遣隊，如果這4人中恰有2人同姓，則不同的挑選方法的種數(shù)為（????）學科網(wǎng)（北京）股份有限公司 A．480B．270C．240D．60【答案】C【解析】方法一：先在12人中挑選同姓的2人，方法有（種），然后在剩余的10人中，挑選不是同姓的2人，方法有（種），所以不同的挑選方法的種數(shù)是.方法二：先在12人中挑選同姓的2人，方法有（種），然后在剩余的10人中，挑選不是同姓的2人，方法有（種），所以不同的挑選方法的種數(shù)是.故選；C6．已知函數(shù)，若不等式在上恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（????）A．B．C．D．【答案】D【解析】由于函數(shù)，定義域為R，滿足，得是奇函數(shù)，且在R上為減函數(shù).在上恒成立，在上恒成立，在上恒成立，在上恒成立.令，則，當時，，當時，，故在上單調遞減，在上單調遞增，，即a的取值范圍為，故選：D.7．已知，則的值為（????）學科網(wǎng)（北京）股份有限公司 A．B．1C．4D．【答案】C【解析】在中，而，由二項式定理知展開式的通項為，令，解得，令，，故，同理令，解得，令，解得，故，故.故選：C8．已知分別是橢圓的左、右焦點，過點作x軸的垂線與橢圓C在第一象限的交點為P，若的平分線經過橢圓C的下頂點，則橢圓C的離心率的平方為（????）A．B．C．D．【答案】D【解析】??設，將代入橢圓方程，易得，則．記橢圓C的下頂點為，則的斜率，∴直線的方程為，令得直線與x軸的交點為，則，學科網(wǎng)（北京）股份有限公司 又，，即，，得（舍去負值），．故選：D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9．用“五點法”作函數(shù)（，，）在一個周期內的圖象時，列表計算了部分數(shù)據(jù)，下列有關函數(shù)描述正確的是（????）0xabc131d1A．函數(shù)的最小正周期是B．函數(shù)的圖象關于點對稱C．函數(shù)的圖象關于直線對稱D．函數(shù)與表示同一函數(shù)【答案】ACD【解析】根據(jù)表格可知，且，則，由正弦函數(shù)的周期性可知的最小正周期為，故A正確；學科網(wǎng)（北京）股份有限公司 由已知結合正弦函數(shù)的對稱性可知：，顯然此時取得最小值，所以的圖象不關于點對稱，故B錯誤；由已知結合正弦函數(shù)的對稱性可知：，此時取得最大值，所以的圖象關于直線對稱，故C正確；由誘導公式可知，故D正確.故選：ACD10．若復數(shù)，則（???）A．的共軛復數(shù)B．C．復數(shù)的虛部為D．復數(shù)在復平面內對應的點在第四象限【答案】ABD【解析】，則，故正確；，故正確；復數(shù)的虛部為，故錯誤；復數(shù)在復平面內對應的點為，在第四象限，故正確.故選：ABD11．已知函數(shù)與其導函數(shù)的定義域均為，且和都是奇函數(shù)，且，則下列說法正確的有（????）A．關于對稱B．關于對稱C．是周期函數(shù)D．【答案】ACD【解析】因為為奇函數(shù)，所以，所以，即，所以的圖象關于直線對稱.故A正確；學科網(wǎng)（北京）股份有限公司 因為為奇函數(shù)，則其圖象關于對稱，向左平移一個單位后得到的圖象，則的圖象關于對稱，故B錯誤；因為為奇函數(shù)，則，則有，所以①,又，則②,由①②，則，則，，則，所以8是函數(shù)的一個周期.，是周期函數(shù)，故C正確；因為，，所以，，所以，故D正確，故選：ACD.第II卷（非選擇題）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．已知集合與集合，求集合【答案】學科網(wǎng)（北京）股份有限公司 【解析】由題意，，所以.故答案為：.13．已知拋物線的焦點為，第一象限的、兩點在拋物線上，且滿足，.若線段中點的縱坐標為4，則拋物線的方程為.【答案】【解析】設，因為，所以，所以，又因為，所以，因為都在第一象限，所以，又因為且，所以，所以，所以拋物線方程為，故答案為：.14．如圖，在棱長為2的正方體中，均為所在棱的中點，則下列結論正確的序號是．學科網(wǎng)（北京）股份有限公司 ??①棱上一定存在點，使得；②三棱錐的外接球的表面積為；③過點作正方體的截面，則截面面積為；④設點在平面內，且平面，則與所成角的余弦值的最大值為．【答案】②③④【解析】對于①，以為原點，，，所在直線分別為軸，軸，軸建立如圖所示空間直角坐標系，則由已知，，，設棱上一點，則，，若，則，整理得，即，無實數(shù)解，∴棱上不存在點，使得，故①錯誤；對于②，如圖，分別取棱，，，的中點，，，，學科網(wǎng)（北京）股份有限公司 由已知，，易知棱柱為長方體，其外接球的直徑為，外接球表面積，∵三棱錐的頂點均在長方體的外接球上，故該球也是三棱錐的外接球，∴三棱錐的外接球的表面積為，故②正確；對于③，如圖所示，過點作正方體的截面是邊長為的正六邊形，其可分成六個全等的，邊長為的等邊三角形，面積，故③正確；對于④，由①中所建立空間直角坐標系，，，，，，，，設平面的一個法向量為，則，令，則，，∴，設平面內一點，則，∵平面，∴，即，又∵，∴與所成角的余弦值為，其中，，學科網(wǎng)（北京）股份有限公司 ∴，即當且僅當時，與所成角的余弦值的最大值為，故④正確.故答案為：②③④.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．（13分）已知函數(shù)在時取得極值．(1)求實數(shù)的值；(2)若對于任意的，恒成立，求實數(shù)的取值范圍．【答案】(1)(2)【解析】（1）易知，依題意，解得，此時，當或時，；當時，，即函數(shù)在，上單調遞增，在上單調遞減，因此函數(shù)在時取得極值，所以．（2）由（1）得函數(shù)在上單調遞減，在上單調遞增；所以，由題意可得，解得，所以的取值范圍為．16．（15分）2023年12月11日至12日中央經濟工作會議在北京舉行，會議再次強調要提振新能源汽車消費.發(fā)展新能源汽車是我國從“汽車大國”邁向“汽車強國”的必由之路.我國某地一座新能源汽車工廠對線下的成品車要經過多項檢測，檢測合格后方可銷售，其中關鍵的兩項測試分別為碰撞測試和續(xù)航測試，測試的結果只有三種等次：優(yōu)秀、良好、合格，優(yōu)秀可得5分、良好可得3分、合格可得1分，該型號新能源汽車在碰撞測試中結果為優(yōu)秀的概率為，良好的概率為；在續(xù)航測試中結果為優(yōu)秀的概率為，良好的概率為，兩項測試相互獨立，互不影響，該型號新能源汽車兩項測試得分之和記為.學科網(wǎng)（北京）股份有限公司 (1)求該型號新能源汽車參加兩項測試僅有一次為合格的概率；(2)求離散型隨機變量的分布列與期望.【答案】(1)(2)分布列見解析，數(shù)學期望為【解析】（1）記事件為“該型號新能源汽車參加碰撞測試的得分為分”，則，，.記事件為“該型號新能源汽車參加續(xù)航測試的得分為分”，則，，.記事件為“該型號新能源汽車參加兩項測試僅有一次為合格”，則，則該型號新能源汽車參加兩項測試僅有一次為合格的概率為.（2）由題知離散型隨機變量的所有可能取值分別為2，4，6，8，10，，，，，，則離散型隨機變量的分布列為246810所以數(shù)學期望.17．（15分）如圖，直四棱柱的底面為平行四邊形，分別為的中點.學科網(wǎng)（北京）股份有限公司 (1)證明：平面；(2)若底面為矩形，，異面直線與所成角的余弦值為，求到平面的距離.【答案】(1)證明見解析(2).【解析】（1）連接，交于點，連接，??則為的中點，因為為的中點，所以，且，因為為的中點，所以，所以，且，所以四邊形為平行四邊形，所以，又因為平面平面，所以平面.（2）由題意（1）及幾何知識得，在直四棱柱中，，兩兩垂直，以為坐標原點，分別以所在直線為軸?軸?軸建立如圖所示的空間直角坐標系.學科網(wǎng)（北京）股份有限公司 ??設，則，，.設異面直線與所成角為，則，解得：，故，則設平面的一個法向量為，到平面的距離為.所以即取，得.所以，即到平面的距離為.18．（17分）已知橢圓的離心率為，點在橢圓上，過點的兩條直線，分別與橢圓交于另一點A，B，且直線，，的斜率滿足．(1)求橢圓的方程；(2)證明直線過定點；學科網(wǎng)（北京）股份有限公司 (3)橢圓C的焦點分別為，，求凸四邊形面積的取值范圍．【答案】(1)(2)證明見解析(3)【解析】（1）由題設得，解得，所以的方程為；（2）由題意可設，設，，由，整理得，．由韋達定理得，，由得，即，整理得，因為，得，解得或，時，直線過定點，不合題意，舍去；時，滿足，所以直線過定點．（3））由（2）得直線，所以，由，整理得，，由題意得，學科網(wǎng)（北京）股份有限公司 因為，所以，所以，令，，所以，在上單調遞減，所以的范圍是．????19．（17分）已知，，…，是由（）個整數(shù)，，…，按任意次序排列而成的數(shù)列，數(shù)列滿足（）.（1）當時，寫出數(shù)列和，使得.（2）證明：當為正偶數(shù)時，不存在滿足（）的數(shù)列.（3）若，，…，是，，…，按從大到小的順序排列而成的數(shù)列，寫出（），并用含的式子表示.（參考：.）【答案】（1），，；，，或，，；，，.（2）證明見解析（3）（）；【解析】[解]（1），，；，，.，，；，，.[證明]（2）若（），則有，于是.當為正偶數(shù)時，為大于1的正奇數(shù)，故不為正整數(shù).因為，，…，均為正整數(shù)，所以不存在滿足（）的數(shù)列.學科網(wǎng)（北京）股份有限公司 [解]（3）（）.因為，于是.學科網(wǎng)（北京）股份有限公司