熱點3-2 三角函數的圖象與性質（10題型+滿分技巧+限時檢測）（原卷版）.docx

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熱點3-2三角函數的圖象與性質三角函數的圖象與性質是高考的熱點，函數的圖象變換以及三角函數的周期性、對稱性、單調性之間邏輯關系則是重心。隨著新高考改革的推進，更加注重對以周期性為核心的三大性質之間的邏輯關系的考查，要求考生能用幾何直觀和代數運算來研究三角函數。高考中的相關試題多以選擇題、填空題的形式考查，難度中等或偏下?！绢}型1三角函數的識圖問題】滿分技巧圖象辨識題的主要解題思想是“對比選項，找尋差異，排除篩選”（1）求函數定義域（若各選項定義域相同，則無需求解）；（2）判斷奇偶性（若各選項奇偶性相同，則無需判斷）；（3）找特殊值：①對比各選項，計算橫縱坐標標記的數值；②對比各選項，函數值符號的差別，自主取值（必要時可取極限判斷符號）；（4）判斷單調性：可取特殊值判斷單調性.【例1】（2024·湖南長沙·統(tǒng)考一模）下圖是函數的部分圖象，則該函數的解析式可以是（）A．B．C．D．學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司 【變式1-1】（2024·天津寧河·高三統(tǒng)考期末）函數在區(qū)間上的圖象大致是（）A．B．C．D．【變式1-2】（2024·陜西寶雞·統(tǒng)考一模）函數的部分圖像大致為（）A．B．C．D．【變式1-3】（2024·河北廊坊·高三文安縣第一中學校聯考期末）現有四個函數：①；②；③；④的圖象（部分）如圖，則按照從左到如圖像對應的函數序號正確的一組是（）A．①③②④B．①④③②C．③①②④D．③①④②【變式1-4】（2023·福建泉州·高三校考階段練習）函數的圖象大致為（）學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司 A．B．C．D．【題型2由三角函數的圖象求解析式】滿分技巧已知的部分圖象求其解析式時，比較容易看圖得出，困難的是求待定系數和，常用如下兩種方法：（1）由即可求出；確定時，若能求出離原點最近的右側圖象上升（或下降）的“零點”橫坐標，則令（或），即可求出；（2）代入點的坐標，利用一些已知點（最高點、最低點或“零點”）坐標代入解析式，再結合圖形解出和，若對，的符號或對的范圍有要求，可用誘導公式變換使其符合要求?！纠?】（2023·全國·高三校聯考階段練習）已知函數的部分圖象如圖所示，則（）A．B．C．D．【變式2-1】（2024·四川攀枝花·統(tǒng)考二模）函數的部分圖象如圖所示，則將的圖象向右平移個單位長度后，得到的函數圖象解析式為（）學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司 A．B．C．D．【變式2-2】（2024·廣東廣州·華南師大附中校考一模）函數的部分圖像如圖所示，則，的值分別是（）A．2，B．2，C．2，D．4，【變式2-3】（2024·遼寧沈陽·高三沈陽實驗中學校聯考期末）函數的部分圖象如圖，則（）A．，B．，C．，D．，【變式2-4】（2024·河南信陽·統(tǒng)考二模）（多選）已知函數的圖象如圖所示，，是直線與曲線的兩個交點，且，則下列選項正確的是（）A．的值為3B．的值為2C．的值可以為D．的值可以為【題型3三角函數的圖象變換問題】學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司 滿分技巧函數y＝Asin(ωx＋φ)＋k(A>0，ω>0)中，參數A，ω，φ，k的變化引起圖象的變換：（1）A的變化引起圖象中振幅的變換，即縱向伸縮變換；（2）ω的變化引起周期的變換，即橫向伸縮變換；（3）φ的變化引起左右平移變換，k的變化引起上下平移變換．圖象平移遵循的規(guī)律為：“左加右減，上加下減”．【注意】（1）平移變換和伸縮變換都是針對x而言，即x本身加減多少值，而不是依賴于ωx加減多少值；（2）余弦型、正切型函數的圖象變換過程與正弦型函數的圖象變換過程相同?！纠?】（2023·湖南衡陽·衡陽市八中?？家荒＃榱说玫胶瘮档膱D象，只需把函數的圖象上所有的點的（）A．橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變B．橫坐標縮短到原來的倍，縱坐標不變C．縱坐標伸長到原來的2倍，橫坐標不變D．縱坐標縮短到原來的倍，橫坐標不變【變式3-1】（2024·廣東廣州·高三執(zhí)信中學?？茧A段練習）將函數的圖象向右平移個單位長度，得到函數的圖象，則的最小值為（）A．B．C．D．【變式3-2】（2024·福建·高三校聯考期末）已知函數，要得到函數的圖象，只需將的圖象（）A．向左平移個單位長度B．向左平移個單位長度C．向右平移個單位長度D．向右平移個單位長度【變式3-3】（2024·天津和平·高三統(tǒng)考期末）已知函數，函數圖象的一條對稱軸與一個對稱中心的最小距離為，將圖象上所有的點向左平移個單位長度，再將所得圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的（縱坐標不變），得到的圖象所表示的函數為（）A．B．C．D．學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司 【變式3-4】（2023·湖南長沙·高三長郡中學?？茧A段練習）要得到函數的圖象，可以將函數的圖象（）A．向右平移個單位長度B．向左平移個單位長度C．向右平移個單位長度D．向左平移個單位長度【題型4三角函數的單調性及應用】滿分技巧1、求三角函數單調區(qū)間的2種方法（1）代換法：就是將比較復雜的三角函數含自變量的代數式整體當作一個角u(或t)，利用基本三角函數的單調性列不等式求解；（2）圖象法：畫出三角函數的正、余弦和正切曲線，結合圖象求它的單調區(qū)間求解三角函數的單調區(qū)間時，若x的系數為負，應先化為正，同時切莫忽視函數自身的定義域．2、已知單調區(qū)間求參數范圍的3種方法（1）子集法：求出原函數的相應單調區(qū)間，由已知區(qū)間是所求某區(qū)間的子集，列不等式(組)求解；（2）反子集法：由所給區(qū)間求出整體角的范圍，由該范圍是某相應正、余弦函數的某個單調區(qū)間的子集，列不等式(組)求解；（3）周期性法：由所給區(qū)間的兩個端點到其相應對稱中心的距離不超過周期列不等式(組)求解?！纠?】（2023·北京海淀·高三北大附中校考階段練習）已知函數，則（）A．在單調遞減B．在單調遞增C．在單調遞減D．在單調遞增【變式4-1】（2024·浙江溫州·溫州中學?？家荒＃┮阎瘮?，其中.若在區(qū)間上單調遞增，則的取值范圍是（）A．B．C．D．學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司 【變式4-2】（2024·山東威?！じ呷y(tǒng)考期末）已知函數在上是增函數，則的取值范圍是.【變式4-3】（2024·廣東·高三廣東實驗中學校聯考期末）已知函數的最小正周期為，且在上單調遞減，在上單調遞增，則實數的取值范圍是.【變式4-4】（2024·湖南邵陽·統(tǒng)考一模）已知函數在上單調遞增，在上單調遞減，則實數的取值范圍為（）A．B．C．D．【題型5三角函數的周期性及應用】滿分技巧周期的計算公式：函數的周期為，函數的周期為求解.【例5】（2023·河南周口·高三校聯考階段練習）下列函數中，以為周期的函數是（）A．B．C．D．【變式5-1】（2023·重慶·重慶市石柱中學校校聯考一模）函數的最小正周期為（）A．B．C．D．【變式5-2】（2023·湖北荊州·高三沙市中學?？茧A段練習）函數的最小正周期為.學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司 【變式5-3】（2024·廣東汕頭·金山中學校考模擬預測）“的最小正周期為”是“”的（）A．充分不必要條件B．必要不充分條C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件【變式5-4】（2024·山東德州·高三統(tǒng)考期末）設函數在的圖象大致如圖，則的最小正周期為（）A．B．C．D．【題型6三角函數的奇偶性及應用】滿分技巧與三角函數奇偶性相關的結論三角函數中，判斷奇偶性的前提是定義域關于原點對稱，奇函數一般可化為y＝Asinωx或y＝Atanωx的形式，而偶函數一般可化為y＝Acosωx＋b的形式．常見的結論有：（1）若y＝Asin(ωx＋φ)為偶函數，則有φ＝kπ＋(k∈Z)；若為奇函數，則有φ＝kπ(k∈Z)．（2）若y＝Acos(ωx＋φ)為偶函數，則有φ＝kπ(k∈Z)；若為奇函數，則有φ＝kπ＋(k∈Z)．（3）若y＝Atan(ωx＋φ)為奇函數，則有φ＝kπ(k∈Z)．【例6】（2023·陜西西安·統(tǒng)考一模）已知函數，則“”是“為奇函數”的（）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件【變式6-1】（2024·河南·模擬預測）已知函數，則“，”是“為偶函數”的（）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件【變式6-2】（2024·廣東廣州·廣州六中?？既＃┤艉瘮禐槠婧瘮?，則（）學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司 A．B．C．D．【變式6-3】（2024·河南周口·高三統(tǒng)考階段練習）已知函數為偶函數，則（）A．－2B．－1C．0D．2【變式6-4】（2023·廣東廣州·高三統(tǒng)考階段練習）若為奇函數，則實數（）A．B．C．D．【變式6-5】（2023·北京海淀·高三專題練習）函數，則（）A．若，則為奇函數B．若，則為偶函數C．若，則為偶函數D．若，則為奇函數【題型7三角函數的對稱性及應用】滿分技巧三角函數對稱性問題的2種求解方法1、定義法：正(余)弦函數的對稱軸是過函數的最高點或最低點且垂直于x軸的直線，對稱中心是圖象與x軸的交點，即函數的零點；2、公式法：（1）函數y＝Asin(ωx＋φ)的對稱軸為x＝－＋，對稱中心為；（2）函數y＝Acos(ωx＋φ)的對稱軸為x＝－，對稱中心為；（3）函數y＝Atan(ωx＋φ)的對稱中心為.上述k∈Z【例7】（2024·重慶·高三統(tǒng)考期末）（多選）下列函數中，其圖象關于點對稱的是（）A．B．C．D．【變式7-1】（2024·山東菏澤·高三山東省鄄城縣第一中學?？茧A段練習）“函數的圖象關于對稱”是“，”的（）學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司 A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件【變式7-2】（2024·山東青島·高三青島二中?？计谀┮阎瘮档膱D像關于原點中心對稱，則的最小值為（）A．B．C．D．【變式7-3】（2022·全國·高三校聯考階段練習）已知是函數的一條對稱軸，且，則（）A．B．C．或D．或【變式7-4】（2024·陜西安康·安康中學校聯考模擬預測）若函數的圖象在內有且僅有兩條對稱軸，一個對稱中心，則實數的最大值是．【題型8三角函數的最值問題】滿分技巧三角函數值域或最值的3種求法1、直接法：形如y＝asinx＋k或y＝acosx＋k的三角函數，直接利用sinx，cosx的值域求出；2、化一法：形如y＝asinx＋bcosx＋k的三角函數，化為y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，確定ωx＋φ的范圍，根據正弦函數單調性寫出函數的值域(最值)；3、換元法：（1）形如y＝asin2x＋bsinx＋k的三角函數，可先設sinx＝t，化為關于t的二次函數求值域(最值)；（2）形如y＝asinxcosx＋b(sinx±cosx)＋c的三角函數，可先設t＝sinx±cosx，化為關于t的二次函數求值域(最值)【例8】（2022·河南·高三校聯考專題練習）函數的最小值為（）A．B．C．D．學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司 【變式8-1】（2024·江蘇蘇州·高三統(tǒng)考期末）已知函數的最小正周期為，則在區(qū)間上的最大值為（）A．B．1C．D．2【變式8-2】（2024·廣東廣州·廣東實驗中學校考模擬預測）（多選）對于下列四種說法，其中正確的是（）A．的最小值為4B．的最小值為1C．的最小值為4D．最小值為【變式8-3】（2024·江西贛州·高三南康中學校聯考期末）已知函數在區(qū)間上有且只有一個最大值和一個最小值，則的取值范圍是（）A．B．C．D．【變式8-4】（2024·湖北武漢·高三統(tǒng)考期末）已知函數，，若函數在上存在最大值，但不存在最小值，則的取值范圍是（）A．B．C．D．【題型9三角函數零點綜合】【例9】（2024·全國·模擬預測）函數與函數的圖象所有交點的橫坐標之和為．【變式9-1】（2024·全國·高三專題練習）已知函數，若在上有兩個零點，則的取值范圍是（）A．B．C．D．學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司 【變式9-2】（2024·浙江寧波·高三統(tǒng)考期末）將函數的圖象向右平移個單位后得到函數的圖象.若在上恰有三個不同的零點，則實數的取值范圍為（）A．B．C．D．【變式9-3】（2023·甘肅天水·高三校聯考階段練習）已知函數（其中）在區(qū)間上恰有4個零點，則的取值范圍為（）A．B．C．D．【變式9-4】（2024·遼寧·高三校聯考期末）（多選）已知函數恰有5個零點，則的值可能為（）A．4B．5C．D．【題型10三角函數圖象性質綜合】【例10】（2024·新疆烏魯木齊·統(tǒng)考一模）（多選）已知函數的部分圖像如圖所示，則（）??A．在上單調遞增B．在上有4個零點C．D．將的圖象向右平移個單位，可得的圖象【變式10-1】（2024·吉林長春·高三長春吉大附中實驗學校?？计谀┮阎瘮担ㄆ渲?，，）的部分圖象如圖所示，將函數的圖象向右平移個單位長度，得到函數的圖象．學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司 （1）求與的解析式；（2）令，求在區(qū)間內的所有實數解的和．【變式10-2】（2023·安徽·高三校聯考階段練習）函數的部分圖象如圖所示.（1）求函數的解析式；（2）將函數的圖象向左平移個單位，再將所得圖象上各點的橫坐標縮短為原來的倍，縱坐標不變，得到函數的圖象，求函數在上的值域.【變式10-3】（2024·廣東廣州·廣東實驗中學?？家荒＃┮阎瘮档淖钚≈禐?，其圖象上的相鄰兩條對稱軸之間的距離為，且圖象關于點對稱．（1）求函數的解析式和單調遞增區(qū)間；（2）若不等式在上恒成立，求實數的取值范圍．【變式10-4】（2024·吉林白城·高三?？茧A段練習）已知函數為奇函數，且圖象的相鄰兩條對稱軸間的距離為.（1）求的解析式與單調遞減區(qū)間；學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司 （2）將函數的圖象向右平移個單位長度，再把橫坐標縮小為原來的（縱坐標不變），得到函數的圖象，當時，求方程的所有根的和.（建議用時：60分鐘）1．（2023·北京延慶·高三北京市延慶區(qū)第一中學?？茧A段練習）設函數，則下列結論正確的是（)A．的最小正周期為B．的圖象關于直線對稱C．的一個零點為D．的圖象可以由圖像左移得到2．（2022·全國·高三校聯考專題練習）函數的單調遞增區(qū)間為（）A．B．C．D．3．（2024·河南南陽·高三方城第一高級中學校聯考期末）函數在上的值域為（）A．B．C．D．4．（2024·云南昭通·統(tǒng)考模擬預測）函數向左平移個單位得到，若是偶函數，則（）A．B．C．D．5．（2023·青?！じ呷Ｂ摽茧A段練習）將函數的圖象向左平移個單位長度后得到函數的圖象，若直線是圖象的一條對稱軸，則的值可能為（）A．B．C．D．6．（2023·福建福州·高三校聯考期中）函數的兩個零點分別為，且，在上僅有兩條對稱軸，則可以是（）學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司 A．B．C．D．7．（2023·河北石家莊·高三校考階段練習）已知函數滿足，且在上單調，則的最大值為（）A．B．3C．D．48．（2024·江西南昌·南昌二中校聯考模擬預測）設函數若存在且，使得，則的取值范圍是（）A．B．C．D．9．（2023·湖南·高三湖南省祁東縣第一中學校聯考階段練習）若函數在區(qū)間上恰有兩個零點，則的取值范圍是（）A．B．C．D．10．（2023·江蘇南京·高三期末）已知函數在區(qū)間上恰有兩個最大值，則實數的取值范圍是（）A．B．C．D．11．（2023·廣西·高三南寧三中校聯考階段練習）（多選）已知函數，則下列說法正確的是（）A．的最小正周期為B．在區(qū)間上單調遞減C．是函數圖象的一條對稱軸D．的圖象關于點對稱12．（2023·山東青島·高三萊西市第一中學校聯考期中）（多選）設函數，則（）A．為奇函數B．的最小正周期為C．存在零點D．存在極值點13．（2023·安徽安慶·高三懷寧縣新安中學?？计谥校ǘ噙x）已知，下列結論中正確的有（）A．既是奇函數也是周期函數B．的最大值為C．的圖象關于直線對稱D．的圖象關于點中心對稱14．（2023·安徽·高三校聯考期末）（多選）已知函數學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司 的部分圖象如圖所示，則（）A．B．在上單調遞增C．的圖象關于直線對稱D．為偶函數15．（2024·陜西西安·統(tǒng)考一模）已知函數圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離為，且關于點對稱，則的值為．16．（2024·山東臨沂·高三統(tǒng)考期末）設函數在區(qū)間上的最大值為，最小值為，則的最小值為．17．（2024·江蘇常州·高三校考期末）將余弦函數的圖象上所有點的縱坐標伸長到頂原來的倍（橫坐標不變），再將所得到的圖象向右平移個單位長度，得到函數的圖象.若關于x的方程在內有兩個不同的解，則實數m的取值范圍為．18．（2023·北京東城·高三北京五十五中?？茧A段練習）已知函數的部分圖象如圖所示．（1）求函數的解析式；（2）求函數的單調遞增區(qū)間；（3）求函數的最大值與最小值．19．（2023·河南·高三校聯考期中）設，，已知函數的圖象在區(qū)間學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司 內恰有4條對稱軸，且函數為偶函數．（1）求的值以及的取值范圍；（2）當取得最大值時，將的圖象上所有點的橫坐標縮小為原來的，再將所得圖象向右平移個單位長度，得到函數的圖象，求函數在區(qū)間上的值域．20．（2023·福建泉州·高三?？茧A段練習）已知點，是函數圖象上的任意兩點，，且當時，的最小值為.（1）求的解析式；（2）當時，恒成立，求實數的取值范圍.學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司