熱點(diǎn)6-1 線線、線面、面面的平行與垂直（6題型+滿分技巧+限時(shí)檢測(cè)）（原卷版）.docx

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熱點(diǎn)6-1線線、線面、面面的平行與垂直在高考數(shù)學(xué)中，本部分內(nèi)容主要分兩方面進(jìn)行考查，一是以幾何體為載體考查空間點(diǎn)、線、面位置關(guān)系的判斷，主要以小題的形式出現(xiàn)，題目難度較??；二是空間線線、線面、面面平行和垂直關(guān)系交匯綜合命題，一般以選擇題、填空題或解答題的第（1）問的形式考查，屬于中檔題。【題型1空間點(diǎn)線面位置關(guān)系判斷】滿分技巧1、判斷與空間位置關(guān)系有關(guān)的命題的方法：（1）借助空間線面平行、面面平行、線面垂直、面面垂直的判定定理和性質(zhì)定理進(jìn)行判斷；（2）借助空間幾何模型，如從長(zhǎng)方體模型、四面體模型等模型中觀察線面位置關(guān)系，結(jié)合有關(guān)定理，進(jìn)行肯定或否定。2、兩點(diǎn)注意：（1）平面幾何的結(jié)論不能完全引用到立體幾何中；（2）當(dāng)從正面入手較難時(shí)，可利用反證法，推出與提升或公認(rèn)結(jié)論相矛盾的命題，進(jìn)而作出判斷?！纠?】（2024·湖南·長(zhǎng)沙一中校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）設(shè)是兩條不同的直線，是兩個(gè)不同的平面，則下面說法正確的是（）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則【變式1-1】（2024·江蘇徐州·高三校考開學(xué)考試）已知兩條不重合的直線和，兩個(gè)不重合的平面和，下列四個(gè)說法：①若，，，則②若，，，則③若，，，則④若，，，則其中所有正確的序號(hào)為（）A．②④B．③④C．④D．①③學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 【變式1-2】（2024·江西·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）設(shè)m，n是不同的直線，是不同的平面，則下列命題正確的是（）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則【變式1-3】（2024·山東濟(jì)南·高三濟(jì)南一中校聯(lián)考開學(xué)考試）已知是三條不重合的直線，是三個(gè)不重合的平面，則下列結(jié)論正確的是（）A．若，則B．若，則且C．若，則D．若，則【變式1-4】（2024·云南昆明·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）（多選）已知直線a，b，c與平面，，，下列說法正確的是（）A．若，，，則a，b異面B．若，，，則C．若，，則D．若，，則【題型2共面、共線、共點(diǎn)證明】滿分技巧1、證明點(diǎn)線共面問題的兩種方法（1）納入平面法：先確定一個(gè)平面，再證明有關(guān)點(diǎn)、線在此平面內(nèi)；（2）輔助平面法：先證有關(guān)點(diǎn)、線共平面，再證其他點(diǎn)、線共平面,最后證平面,重合.2、證明點(diǎn)共線問題的兩種方法（1）先由兩點(diǎn)確定一條直線，再證其他各點(diǎn)都在這條直線上；（2）直接證明這些點(diǎn)都在一條特定直線上.3、證明三線共點(diǎn)問題的步驟第一步：先證其中兩條直線交于一點(diǎn)；第二步：再證交點(diǎn)在第三條直線上.證交點(diǎn)在第三條直線上時(shí)，第三條直線應(yīng)為前兩條直線所在平面的交線?！纠?】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，在正方體中，為棱的靠近上的三等分點(diǎn).設(shè)與平面的交點(diǎn)為，則（）學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 A．三點(diǎn)共線，且B．三點(diǎn)共線，且C．三點(diǎn)不共線，且D．三點(diǎn)不共線，且【變式2-1】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，在長(zhǎng)方體中，，，，分別是，的中點(diǎn)，證明：四點(diǎn)共面．【變式2-2】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，在長(zhǎng)方體中，、分別是和的中點(diǎn)．（1）證明：、、、四點(diǎn)共面；（2）對(duì)角線與平面交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，求證：點(diǎn)共線；（3）證明：、、三線共點(diǎn)．【變式2-3】（2023·河南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在長(zhǎng)方體中，點(diǎn)分別在棱上，且，.學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 （1）求證：四點(diǎn)共面；（2）若，求平面與平面夾角的正弦值.【變式2-4】（2024·河北衡水·河北冀州中學(xué)校考一模）如圖所示的幾何體是由一個(gè)直三棱柱和半個(gè)圓柱拼接而成.其中，，點(diǎn)為弧的中點(diǎn)，且四點(diǎn)共面.（1）證明：四點(diǎn)共面；（2）若平面與平面夾角的余弦值為，求長(zhǎng).【題型3線線、線面、面面平行證明】滿分技巧1、線線平行的證明方法（1）定義法：即證明兩條直線在同一個(gè)平面內(nèi)且兩直線沒有公共點(diǎn)；（2）利用平面圖形的有關(guān)平行的性質(zhì)，如三角形中位線，梯形，平行四邊形等關(guān)于平行的性質(zhì)；（3）利用基本事實(shí)4：找到一條直線，使所證的直線都與這條直線平行．2、線面平行的判定方法（1）利用線面平行的定義：直線與平面沒有公共點(diǎn)；（2）利用線面平行的判定定理：如果平面外有一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，那么該直線與此平面平行（簡(jiǎn)記為“線線平行線面平行”）學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 （3）利用面面平行的性質(zhì)定理：如果兩個(gè)平面平行，那么在一個(gè)平面內(nèi)所有直線都平行于另一個(gè)平面。（簡(jiǎn)記為“面面平行線面平行”）3、面面平行的判定方法（1）面面平行的定義：兩個(gè)平面沒有公共點(diǎn)，常與反證法結(jié)合（不常用）；（2）面面平行的判定定理：如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行（主要方法）；（3）垂直于通一條直線的兩個(gè)平面平行（客觀題可用）；（4）平行于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面平行（客觀題可用）.【例3】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖1所示，在四邊形中，，為上一點(diǎn)，，，將四邊形沿折起，使得，得到如圖2所示的四棱錐．若平面平面，證明：.【變式3-1】（2024·青海西寧·高三統(tǒng)考期末）如圖，A，B為正方體的兩個(gè)頂點(diǎn)，M，N，Q為所在棱的中點(diǎn)，則（）A．B．C．D．平面【變式3-2】（2024·陜西西安·統(tǒng)考一模）如圖，在四棱錐中，平面，且是的中點(diǎn)，點(diǎn)分別在上，且．學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 （1）證明：平面；（2）求三棱錐的體積．【變式3-3】（2024·內(nèi)蒙古包頭·高三統(tǒng)考期末）如圖，在四棱錐中，平面，，，，為棱上的一點(diǎn)，且．（1）證明：平面；（2）求四棱錐的體積．【變式3-4】（2024·河南·方城第一高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，梯形是圓臺(tái)的軸截面，，分別在底面圓，的圓周上，為圓臺(tái)的母線，，若，，，分別為，的中點(diǎn)，且異面直線與所成角的余弦值為.（1）證明：平面平面；（2）求圓臺(tái)的高.【題型4線線、線面、面面垂直證明】學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 滿分技巧直線與平面垂直的判定方法1、利用定義：若一條直線垂直于一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線，則這條直線垂直于這個(gè)平面；2、利用線面垂直的判定定理：如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，那么這條直線就和這個(gè)平面垂直；3、可作定理用的正確命題：如果兩條平行直線中的一條直線垂直于一個(gè)平面，那么另一條也垂直于這個(gè)平面；4、面面垂直的性質(zhì)定理：如果兩個(gè)平面垂直，那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一平面；5、面面平行的性質(zhì)：如果一條直線垂直于兩個(gè)平行平面中的一個(gè)平面，則這條直線也垂直于另一個(gè)平面；6、面面垂直的性質(zhì)：若兩相交平面同時(shí)垂直于第三個(gè)平面，則這兩個(gè)平面的交線垂直于第三個(gè)平面.【例4】（2024·北京西城·高三北師大實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？奸_學(xué)考試）在某次數(shù)學(xué)探究活動(dòng)中，小明先將一副三角板按照?qǐng)D1的方式進(jìn)行拼接，然后他又將三角板折起，使得二面角為直二面角，得圖2所示四面體.小明對(duì)四面體中的直線、平面的位置關(guān)系作出了如下的判斷，其中不正確的是（）A．平面B．平面C．平面平面D．平面平面【變式4-1】（2022·福建廈門·高三廈門雙十中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知三棱錐（如圖一）的平面展開圖（如圖二）中，四邊形為邊長(zhǎng)等于的正方形，和均為正三角形，在三棱錐中：（1）證明：平面平面；（2）若點(diǎn)M在棱上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)直線與平面所成的角最大時(shí)，求平面與平面所成銳二面角的余弦值．學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 【變式4-2】（2024·四川雅安·高三雅安中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試）如圖，在四棱柱中，底面和側(cè)面均是邊長(zhǎng)為2的正方形．（1）證明：．（2）若，求點(diǎn)到平面的距離．【變式4-3】（2023·全國(guó)·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在五面體中，四邊形的對(duì)角線交于點(diǎn)，為等邊三角形，，，.（1）證明：平面；（2）若，求五面體的體積.【變式4-4】（2023·陜西榆林·高三榆林市第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在四棱錐中，底面是等腰梯形，，是正三角形，已知，，.（1）證明：平面平面；（2）求點(diǎn)到平面的距離.學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 【題型5平行關(guān)系中的動(dòng)點(diǎn)探究問題】滿分技巧1、探索性問題的一般解題思路：先假設(shè)其存在，然后把這個(gè)假設(shè)作為已知條件，和題目的其他已知條件一起進(jìn)行推理論證和計(jì)算．在推理論證和計(jì)算無誤的前提下，如果得到了一個(gè)合理的結(jié)論，則說明存在；如果得到了一個(gè)不合理的結(jié)論，則說明不存在．2、探索性問題的答題步驟：第一步對(duì)“是否存在”給出作答，寫出探求的最后結(jié)論；第二步探求結(jié)論的正確性?！纠?】（2024·山東濟(jì)寧·高三?？奸_學(xué)考試）如圖，四棱錐中，是的中點(diǎn)，四邊形為平行四邊形，且平面．（1）試探究在線段上是否存在點(diǎn)，使得平面？若存在，請(qǐng)確定點(diǎn)的位置，并給予證明；若不存在，請(qǐng)說明理由；（2）若，且，求平面與平面所成夾角的余弦值．【變式5-1】（2024·陜西·校聯(lián)考一模）如圖，在等腰梯形ABCD中，面ABCD，面ABCD，，點(diǎn)P在線段EF上運(yùn)動(dòng)．（1）求證：；（2）是否存在點(diǎn)P，使得平面ACE?若存在，試求點(diǎn)P的位置，若不存在，請(qǐng)說明理由．【變式5-2】（2023·北京·高二期中）如圖所示，在四棱錐中，平面，，E學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 是PD的中點(diǎn).（1）求證：；（2）求證：平面；（3）若M是線段上一動(dòng)點(diǎn)，則線段上是否存在點(diǎn)N，使平面？說明理由.【變式5-3】（2023·河北承德·高三校聯(lián)考期中）如圖，在四棱錐中，平面平面，底面是正方形，且、分別是、上靠近的三等分點(diǎn)．（1）求證：；（2）在上是否存在一點(diǎn)，使平面平面？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．【變式5-4】（2023·重慶·高三重慶市第七中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）在如圖所示的五面體中，共面，是正三角形，四邊形為菱形，，平面，，點(diǎn)為中點(diǎn).（1）在直線上是否存在一點(diǎn)，使得平面平面，請(qǐng)說明理由；學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 （2）當(dāng)，求平面與平面所成二面角的正弦值.【題型6垂直關(guān)系中的動(dòng)點(diǎn)探究問題】【例6】（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）如圖1，在等邊中，是邊上的高，、分別是和邊的中點(diǎn)，現(xiàn)將沿翻折成使得平面平面，如圖2.（1）求證：平面；（2）在線段上是否存在一點(diǎn)，使？若存在，求的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.【變式6-1】（2023·遼寧沈陽·東北育才學(xué)校?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，點(diǎn)M是正方體的中心，將四棱錐繞直線逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，得到四棱錐．（1）若，求證：平面平面；（2）是否存在，使得直線平面？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．【變式6-2】（2023·重慶·高三重慶八中?？奸_學(xué)考試）如圖，在四棱錐中，底面是菱形，，三角形為正三角形，且側(cè)面底面.分別為線段的中點(diǎn).（1）求證：平面；學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 （2）在棱上是否存在點(diǎn)，使得平面平面？若存在，請(qǐng)求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.【變式6-3】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，正方形與梯形所在平面互相垂直，已知，，．（1）求證：平面．（2）線段上是否存在點(diǎn)M，使平面平面？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．【變式6-4】（2023·江西贛州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在三棱柱中，側(cè)面是矩形，側(cè)面是菱形，，、分別為棱、的中點(diǎn)，為線段的中點(diǎn).（1）證明：平面；（2）在棱上是否存在一點(diǎn)，使平面平面？若存在，請(qǐng)指出點(diǎn)的位置，并證明你的結(jié)論；若不存在，請(qǐng)說明理由.（建議用時(shí)：60分鐘）1．（2024·重慶·高三西南大學(xué)附中校聯(lián)考開學(xué)考試）已知是空間中三條互不重合的直線，是兩個(gè)不重合的平面，則下列說法正確的是（）學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 A．，則B．且，則C．，則D．，則2．（2024·湖南長(zhǎng)沙·雅禮中學(xué)?？家荒＃┮阎硎緝蓷l不同直線，表示平面，則（）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則3．（2023·陜西西安·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在正方體中，均為棱的中點(diǎn)，現(xiàn)有下列4個(gè)結(jié)論：①平面平面；②梯形內(nèi)存在一點(diǎn)，使得平面；③過可作一個(gè)平面，使得到這個(gè)平面的距離相等；④梯形的面積是面積的3倍.其中正確的個(gè)數(shù)為（）A．4B．3C．2D．14．（2023·上海金山·統(tǒng)考一模）如圖，在正方體中，E、F為正方體內(nèi)（含邊界）不重合的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）．A．若，，則B．若，，則平面平面C．若，，則面D．若，，則5．（2024·云南大理·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）（多選）如圖所示，在平行六面體中，為正方形的中心，分別為線段的中點(diǎn)，下列結(jié)論正確的是（）學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 A．平面B．平面平面C．直線與平面所成的角為D．6．（2024·湖南長(zhǎng)沙·統(tǒng)考一模）（多選）在正方體中，點(diǎn)為線段上的動(dòng)點(diǎn)，直線為平面與平面的交線，則（）A．存在點(diǎn)，使得面B．存在點(diǎn)，使得面C．當(dāng)點(diǎn)不是的中點(diǎn)時(shí)，都有面D．當(dāng)點(diǎn)不是的中點(diǎn)時(shí)，都有面7．（2023·廣東廣州·高三廣州市天河中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖所示，在四棱錐中，是正方形，平面，分別是的中點(diǎn)．（1）求證：平面平面；（2）證明：平面平面．8．（2023·遼寧朝陽·高三建平縣實(shí)驗(yàn)中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，已知四邊形為菱形，平面，平面，.學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 （1）證明：平面平面；（2）若平面平面，求的長(zhǎng).9．（2023·江西·高三鷹潭一中校聯(lián)考期中）如圖1，山形圖是兩個(gè)全等的直角梯形和的組合圖，將直角梯形沿底邊翻折，得到圖2所示的幾何體.已知，,點(diǎn)在線段上，且在幾何體中，解決下面問題.（1）證明：平面；（2）若平面平面，證明：.10．（2023·廣東中山·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，在四棱錐中，底面是正方形，平面平面，，為中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求證：；學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 11．（2024·河南安陽·高三安陽一中?？计谀┤鐖D,在四棱錐中,底面是菱形,,三角形為正三角形,且側(cè)面底面.分別為線段,的中點(diǎn).（1）求證:平面;（2）在棱上是否存在點(diǎn),使平面平面,請(qǐng)說明理由.12．（2023·山東濱州·高三統(tǒng)考期中）如圖，在四棱錐中，底面為矩形，平面平面，，，為的中點(diǎn)．（1）求證：；（2）求證：平面平面；（3）在線段上是否存在點(diǎn)，使得平面?請(qǐng)說明理由．學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司