熱點(diǎn)4-2 平面向量的數(shù)量積及應(yīng)用（6題型+滿分技巧+限時(shí)檢測(cè)）（解析版）.docx

《熱點(diǎn)4-2 平面向量的數(shù)量積及應(yīng)用（6題型+滿分技巧+限時(shí)檢測(cè)）（解析版）.docx》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫(kù)。

熱點(diǎn)4-2平面向量的數(shù)量積及應(yīng)用平面向量屬于高考的必考內(nèi)容，主要以客觀題的形式出現(xiàn)，也與三角函數(shù)、解析幾何結(jié)合出現(xiàn)在綜合性大題中，難度中等。本部分考題綜合性較強(qiáng)，強(qiáng)調(diào)模、數(shù)量積、坐標(biāo)運(yùn)算等向量固有的知識(shí)，對(duì)向量幾何模的研究比較透徹?？忌趶?fù)習(xí)過程中，要重點(diǎn)理解向量數(shù)量積的含義，掌握數(shù)量積的坐標(biāo)表示，能靈活運(yùn)用定義法、坐標(biāo)法、基底法解決常見的數(shù)量積問題。【題型1平面向量的數(shù)量積運(yùn)算】滿分技巧求向量數(shù)量積的3種常規(guī)方法1、定義法求平面向量的數(shù)量積：，其中是兩個(gè)向量，的夾角；適用于已知或可求兩個(gè)向量的模和夾角。2、基底法求平面向量的數(shù)量積：選取合適的一組基底，利用平面向量基本定理將待求數(shù)量積的兩個(gè)向量分別用這組基底表示出來，進(jìn)而根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律和定義求解；適用于直接利用定義求數(shù)量積不可行時(shí)，可將已知模和夾角的兩個(gè)不共線的向量作為基底，采用“基底法”求解。3、坐標(biāo)法求平面向量的數(shù)量積：，，則適用于：①已知或可求兩個(gè)向量的坐標(biāo)；②已知條件中有（或隱含）正交基底，優(yōu)先考慮建立平面直角坐標(biāo)系，使用坐標(biāo)法求數(shù)量積，例如已知圖形為矩形、正方形、直角梯形、等邊三角形、等腰三角形或直角三角形時(shí)。【例1】（2024·陜西咸陽·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知向量，，若，則（）A．B．C．1D．【答案】C【解析】由，所以，則.故選：C【變式1-1】（2024·河北邢臺(tái)·高三統(tǒng)考期末）已知向量，滿足，，則（）學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 A．B．2C．D．4【答案】A【解析】因?yàn)?，，所?故選：A.【變式1-2】（2024·北京東城·高三統(tǒng)考期末）已知非零向量，，滿足，且，對(duì)任意實(shí)數(shù)，，下列結(jié)論正確的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】非零向量，，滿足，且，對(duì)于A，不恒為，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，故B正確；對(duì)于C，不恒為，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，不恒為，故D錯(cuò)誤.故選：B.【變式1-3】（2024·山東濟(jì)南·高三統(tǒng)考期末）平行四邊形ABCD中，，，，若，，則（）A．4B．6C．18D．22【答案】C【解析】由題意可知，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系如圖所示因?yàn)?，所?設(shè)，則，由，得，學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 即，解得，所以.設(shè)，則，由，得，即，解得，所以.所以，.故選：C.【變式1-4】（2024·陜西西安·高三西安中學(xué)?？计谀┰谶呴L(zhǎng)為2的正三角形中，D是的中點(diǎn)，，交于F.則.【答案】【解析】如圖：過作交于點(diǎn)．由，是的中點(diǎn)得：，,所以，故，即．所以．所以．．由已知得．所以．【題型2平面向量的投影向量】滿分技巧解決向量投影問題應(yīng)注意以下3點(diǎn)1、向量在方向上的投影向量為（其中為與同向的單位向量），它是一個(gè)向量且與共線，其方向由與的夾角的余弦決定；2、向量在方向上的投影向量為；3、注意：在方向上的投影向量與在方向上的投影向量不同，即在學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 方向上的投影向量可以表示為【例2】（2024·浙江寧波·高三余姚中學(xué)校聯(lián)考期末）若向量滿足，且，則在上的投影向量為（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由，則，由在上的投影向量.故選：D【變式2-1】（2022·河南·高三校聯(lián)考期末）已知平面向量滿足，，，則在方向上的投影為（）A．5B．C．10D．【答案】A【解析】因?yàn)?，所以，所以，，則在方向上的投影為.故選：A【變式2-2】（2024·河北·高三校聯(lián)考期末）已知為不共線的平面向量，，若，則在方向上的投影向量為（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由可得，又，如圖所示，由平行四邊形法則可得四邊形為菱形，故互相垂直平分，所以在方向上的投影向量為，故選：D．學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 【變式2-3】（2024·云南昭通·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知非零向量與滿足，且，則向量在向量上的投影向量為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因?yàn)楹头謩e表示向量和向量方向上的單位向量，由，可得的角平分線與垂直，所以為等腰三角形，且，又，得，所以，又，所以,所以為等邊三角形，所以向量在向量上的投影向量為，故選：B.【變式2-4】（2024·江蘇南京·高三金陵中學(xué)假期作業(yè)）在等邊中，已知點(diǎn)，滿足，，與交于點(diǎn)，則在上的投影向量為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】如圖，，，則，得，，即,則在上的投影向量為，學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 ，所以在上的投影向量為.故選：C【題型3平面向量的模長(zhǎng)問題】滿分技巧求向量的?；蚱浞秶姆椒?、定義法：，；2、坐標(biāo)法：設(shè)，則；3、幾何法：利用向量加減法的平行四邊形法則或三角形法則作出向量，再利用解三角形的相關(guān)知識(shí)求解。【注意】（1）形如的向量的模，可通過平方轉(zhuǎn)化為數(shù)量的運(yùn)算；（2）用定義法或坐標(biāo)法求模的范圍時(shí)，一般把它表示成某個(gè)變量的函數(shù)，再利用函數(shù)的有關(guān)知識(shí)求解；用幾何法求模的范圍時(shí)，注意數(shù)形結(jié)合思想，常用三角不等式進(jìn)行最值求解?！纠?】（2024·全國(guó)·高三校聯(lián)考競(jìng)賽）平面向量，則（）A．3B．5C．7D．11【答案】B【解析】因?yàn)椋?，所?故選：B【變式3-1】（2024·山西臨汾·統(tǒng)考一模）已知向量，，若向量在向量上的投影向量，則（）A．B．C．3D．7【答案】B【解析】由已知可得，在上的投影向量為，又在上的投影向量，所以，所以，所以，所以.故選：B.學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 【變式3-2】（2024·湖南長(zhǎng)沙·統(tǒng)考一模）在平面四邊形中，，分別為，的中點(diǎn).若，，且，則（）A．B．C．D．【答案】B【解析】連接，，如圖，可知.由，即，可得.從而，，所以.故選：B.【變式3-3】（2024·湖北·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知向量，滿足，，且，的夾角為，則的最小值是.【答案】【解析】由題意可知：，因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值是.【變式3-4】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，，，則的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】如圖，設(shè)，，，點(diǎn)在圓上，點(diǎn)在圓上，則，，學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 由可得：，作矩形,則.下證：.設(shè)交于點(diǎn)，連接,因則，同理可得：，兩式左右分別相加得：，.即，故.又，因，即，故有．故選:C．【題型4平面向量的夾角問題】滿分技巧求兩個(gè)非零向量夾角的步驟第一步：由坐標(biāo)運(yùn)算或定義計(jì)算出這兩個(gè)向量的數(shù)量積；第二步：分別求出這兩個(gè)向量的模；第三步：根據(jù)公式求解出這兩個(gè)向量夾角的余弦值；第四步：根據(jù)兩個(gè)向量夾角的范圍是及其夾角的余弦值，求出這兩個(gè)向量的夾角?！纠?】（2024·重慶·高三重慶一中校考開學(xué)考試）已知向量與是非零向量，且滿足在上的投影向量為，，則與的夾角為（）A．B．C．D．【答案】A【解析】設(shè)與的夾角為，在上的投影向量為所以，學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 所以，所以為鈍角，且.故選：A【變式4-1】（2024·云南大理·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知向量均為單位向量，且，則與的夾角為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因?yàn)?，且，則，兩邊平方可得，即，所以，，所有與的夾角為.故選：C【變式4-2】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知兩個(gè)單位向量滿足，則向量的夾角為（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由，平方可得，又所以，所以，因?yàn)椋韵蛄康膴A角為．故選：A.【變式4-3】（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知內(nèi)的一點(diǎn)M滿足，則向量與向量的夾角為（）A．30°B．45°C．60°D．90°【答案】D【解析】因?yàn)椋?，所以，所以，所以，所以，學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 所以，所以，所以向量與向量的夾角為90°．故選：D.【變式4-4】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知向量，且和的夾角為，若與的夾角為鈍角，則的取值范圍為．【答案】【解析】因?yàn)榕c的夾角為鈍角，故且與不共線反向，由可得，即即，故或，若與共線，則存在實(shí)數(shù)，使得，而不共線，故即或，當(dāng)時(shí)，與共線同向；當(dāng)時(shí)，與共線反向；故的取值范圍為或或.【題型5平面向量的垂直問題】滿分技巧兩平面向量垂直的充要條件既可以判定兩向量垂直，也可以由垂直求參數(shù)，高考試題中一般是考查已知兩向量垂直求參數(shù)。（1）如果已知向量的坐標(biāo)，根據(jù)兩平面向量垂直的充要條件，列出相應(yīng)的關(guān)系式，進(jìn)而求解參數(shù)；（2）如果未知向量的坐標(biāo)，則可通過向量加法(減法)的三角形法則轉(zhuǎn)化為已知模和夾角的向量的數(shù)量，根據(jù)兩平面向量垂直的充要條件，列出相應(yīng)的關(guān)系式，進(jìn)而求解參數(shù)?！咀⒁狻咳缫阎獔D形為矩形、正方形、直角梯形、等邊三角形、等腰三角形或直角三角形時(shí)，則可建立平面直角坐標(biāo)系求出未知向量的坐標(biāo)，從而把問題轉(zhuǎn)化為已知向量的坐標(biāo)求參數(shù)的問題，注意方程思想和等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用.學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 【例5】（2024·江西·高三校聯(lián)考期末）已知向量，，若，則（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因?yàn)椋?，即，所以，所?故選：C.【變式5-1】（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若為非零向量，滿足，且，則（）A．B．1C．D．【答案】B【解析】，，即，又,為非零向量，,又，所以，故選：B【變式5-2】（2024·浙江·校聯(lián)考一模）已知平面向量滿足：與的夾角為，若，則（）A．0B．1C．D．【答案】D【解析】由題意，得，由，得，即，∴，解得.故選：D【變式5-3】（2024·安徽·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知非零向量，滿足，設(shè)甲：，乙：，則（）學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 A．甲是乙的充要條件B．甲是乙的充分條件但不是必要條件C．甲是乙的必要條件但不是充分條件D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件【答案】A【解析】乙:等價(jià)于，即，因?yàn)椋?，所以乙等價(jià)于，即，所以甲、乙互為充要條件.故選：A【變式5-4】（2024·湖南常德·高三統(tǒng)考期末）已知向量，，若，則的值為（）A．B．C．D．【答案】D【解析】已知向量，，若，則，即，則的值為．故選：D．【題型6數(shù)量積的綜合應(yīng)用】滿分技巧綜合問題的求解方法：（1）坐標(biāo)法：把幾何圖形放在適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系中，則有關(guān)點(diǎn)與向量就可以用坐標(biāo)表示，這樣就能進(jìn)行相應(yīng)的代數(shù)運(yùn)算和向量運(yùn)算，從而使問題得到解決；（2）基向量法：適當(dāng)選取一組基底，溝通向量之間的聯(lián)系，利用向量間的關(guān)系構(gòu)造關(guān)于未知量的方程來進(jìn)行求解。【例6】（2024·北京西城·高三北京師大附中?？奸_學(xué)考試）如圖，圓為的外接圓，，為邊的中點(diǎn)，則（）A．10B．13C．18D．26【答案】B學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 【解析】是邊的中點(diǎn)，可得，是的外接圓的圓心，，同理可得，．故選：B．【變式6-1】（2023·上海普陀·高三曹楊二中?？计谀┰谥?，，則下列說法一定正確的是（）A．若，則是銳角三角形B．若，則是鈍角三角形C．若，則是銳角三角形D．若，則是鈍角三角形【答案】D【解析】因?yàn)?，?又時(shí)，三角形一定不是直角三角形，則有，，若，則，為銳角，但是不能判斷的大小，故A,B錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，則，中必有一個(gè)鈍角，故此時(shí)是鈍角三角形，C錯(cuò)誤，D正確，故選：D.【變式6-2】（2024·全國(guó)·校聯(lián)考一模）窗花是貼在窗紙或窗戶玻璃上的剪紙，是中國(guó)古老的傳統(tǒng)民間藝術(shù)之一．在2022年虎年新春來臨之際，許多地區(qū)人們?yōu)榱诉_(dá)到裝點(diǎn)環(huán)境、渲染氣氛，寄托辭舊迎新、接福納祥的愿望，設(shè)計(jì)了一種由外圍四個(gè)大小相等的半圓和中間正方形所構(gòu)成的剪紙窗花（如左圖）．已知正方形的邊長(zhǎng)為，中心為，四個(gè)半圓的圓心均在正方形各邊的中點(diǎn)（如右圖）．若點(diǎn)在四個(gè)半圓的圓弧上運(yùn)動(dòng)，則的取值范圍是.【答案】學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 【解析】以原點(diǎn)，為軸正方向建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示.因?yàn)檎叫蔚倪呴L(zhǎng)為，所以，則、，則，設(shè)的中點(diǎn)為，則，，所以，，因?yàn)槭前雸A上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)，則，其中，則，所以，，由對(duì)稱性可知，當(dāng)點(diǎn)在第三象限的半圓弧上運(yùn)動(dòng)時(shí)（包含點(diǎn)、），，當(dāng)點(diǎn)在第一象限的半圓弧上運(yùn)動(dòng)時(shí)（包含點(diǎn)、），的中點(diǎn)為，半圓的半徑為，可設(shè)點(diǎn)，其中，則，，則，同理可知，當(dāng)點(diǎn)在第四象限內(nèi)的半圓弧上運(yùn)動(dòng)時(shí)（包含點(diǎn)、），.綜上可知，的取值范圍是.【變式6-3】（2024·天津河西·高三統(tǒng)考期末）在中，，，，，，且，則；的值為.【答案】；【解析】因?yàn)?，，，所?學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 又，在中，，，所以，,即，解得或（舍去），故的值為：.又,,，故的值為：.【變式6-4】（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知中，，且為的外心．若在上的投影向量為，且，則的取值范圍為（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因?yàn)椋瑒t，所以，即B，O，C三點(diǎn)共線．因?yàn)闉榈耐庑模从?，所以為直角三角形，因此，為斜邊的中點(diǎn)．因?yàn)?，所以為銳角．如圖，過點(diǎn)作，垂足為．因?yàn)樵谏系耐队跋蛄繛?，所以，所以在上的投影向量為．又因?yàn)椋裕驗(yàn)?，所以，故的取值范圍為．故選：A．學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 （建議用時(shí)：60分鐘）1．（2024·寧夏石嘴山·高三平羅中學(xué)校考期末）已知向量，滿足，，且，則（）A．B．0C．1D．2【答案】C【解析】得，即所以，所以.故選：C2．（2024·浙江嘉興·高三統(tǒng)考期末）已知單位向量，的夾角為，則（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由題意可知：，，，所以.故選：B.3．（2024·山東青島·高三統(tǒng)考期末）在四邊形中，四個(gè)頂點(diǎn)A，B，C，D的坐標(biāo)分別是，，，，E，F(xiàn)分別為的中點(diǎn)，則（）A．10B．12C．14D．16【答案】A【解析】由題意，則，，.故選：A4．（2024·黑龍江·高三大慶實(shí)驗(yàn)中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知、為單位向量，且，則、的夾角為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】設(shè)、的夾角為，則，由已知可得，，所以，，即，即，即，解得，故，故選：B.5．（2024·福建廈門·統(tǒng)考一模）已知，為單位向量，若，則與的夾角為（）學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 A．B．C．D．【答案】B【解析】由題意，則與的夾角為.故選：B6．（2024·北京豐臺(tái)·高三統(tǒng)考期末）已知是兩個(gè)不共線的單位向量，向量（）．“，且”是“”的（）A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】當(dāng)，且時(shí)，，充分性滿足；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，時(shí)，是可以大于零的，即當(dāng)時(shí)，可能有，，必要性不滿足，故“，且”是“”的充分而不必要條件.故選：A.7．（2024·湖南邵陽·統(tǒng)考一模）已知向量.若與的夾角的余弦值為，則實(shí)數(shù)的值為（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由題意：，，，所以.故選：D8．（2024·廣東深圳·高三統(tǒng)考期末）已知為單位向量，且，則與的夾角為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由題意可得，將兩邊平方可得；可得，可得；設(shè)與的夾角為，則，所以.故選：C9．（2024·全國(guó)·武鋼三中校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知，，若，則在學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 上的投影向量為（）A．B．C．D．【答案】D【解析】.故選：D.10．（2024·湖北武漢·武漢市第六中學(xué)校聯(lián)考二模）在平面直角坐標(biāo)系中為原點(diǎn)，，，則向量在向量上的投影向量為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由題設(shè)，向量在向量上的投影向量為.故選：B11．（2024·河北·高三雄縣第一高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考期末）已知向量，則向量在向量上的投影向量為（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，又，所以在向量上的投影向量為.故選：A.12．（2024·河北·高三校聯(lián)考期末）若，，則的最大值為（）A．3B．5C．D．【答案】A【解析】（法一）設(shè)與夾角為．因?yàn)?，得，?dāng)時(shí)，最大值9，的最大值3，故選：A．（法二）因?yàn)?，如圖設(shè)，，由知點(diǎn)B在以A為圓心1為半徑的圓上，當(dāng)點(diǎn)B與O、A在一條直線，位于圖中位置時(shí)，的最大值3.故選：A.學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 13．（2024·遼寧遼陽·高三統(tǒng)考期末）在中，，D為AB的中點(diǎn)，，P為CD上一點(diǎn)，且，則（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因?yàn)镈為AB的中點(diǎn)，則，可得，即，解得，又因?yàn)镻為CD上一點(diǎn)，設(shè)，則，可得，解得，即，則，可得，即.故選：D.14．（2024·江蘇·高三統(tǒng)考期末）平面向量，，滿足，，則的最小值是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】設(shè)，則，而，因?yàn)椋?故選：B.15．（2024·天津河北·高三統(tǒng)考期末）如圖，在平行四邊形中，與交于點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)，的延長(zhǎng)線與交于點(diǎn).若，則等于（）學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 A．B．C．D．【答案】C【解析】平行四邊形，，，，，可得，是線段的中點(diǎn)，可得，；，則．故選：C16．（2022·河南·高三校聯(lián)考專題練習(xí)）已知平面向量，，若，，（其中表示向量，的夾角），則.【答案】8【解析】依題意，，解得，則.17．（2022·河南·高三專題練習(xí)）已知平面向量，滿足，，若，則向量，的夾角的余弦值為．【答案】【解析】依題意，兩邊平方得，而，，因此，解得，所以向量，的夾角的余弦值為.18．（2024·黑龍江雞西·高三?？计谀┤缦聢D，在平行四邊形中，，點(diǎn)在上，且，則=．【答案】18【解析】因?yàn)槠叫兴倪呅沃校?，所以，，學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 ，，故.19．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知圓上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿足，點(diǎn)是圓上的動(dòng)點(diǎn)，則的取值范圍是．【答案】【解析】由題意可知：圓的圓心，半徑；圓的圓心，半徑；連接，取的中點(diǎn)，連接，由得，因?yàn)椋⒁獾脚c為相反向量，因此．又因?yàn)椋?，即，可得，所以?0．（2023·天津·高三天津市第七中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在菱形中，，E、F分別為、上的點(diǎn)．，，點(diǎn)M在線段上，且滿足，；若點(diǎn)N為線段上一動(dòng)點(diǎn)，則的取值范圍為．學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 【答案】；,．【解析】由可得，所以,設(shè)，,，，所以，，所以，因?yàn)?，所以,.學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司