熱點(diǎn)4-1 平面向量的概念、線性運(yùn)算與基本定理（6題型+滿分技巧+限時(shí)檢測(cè)）解析版.docx

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熱點(diǎn)4-1平面向量的概念、線性運(yùn)算與基本定理平面向量屬于高考的必考內(nèi)容。縱觀近幾年的高考情況，主要以選擇題及填空題的形式出現(xiàn)，向量的線性運(yùn)算、基本定理以及坐標(biāo)運(yùn)算屬于熱門考點(diǎn)。同時(shí)也作為工具，與三角函數(shù)、解析幾何結(jié)合出現(xiàn)在綜合性大題中，難度中等。預(yù)計(jì)2024年的高考對(duì)于這部分內(nèi)容考察主要還是以小題為主，若出題大概率以題的形式出現(xiàn)?！绢}型1平面向量的基本概念辨析】滿分技巧解決向量概念問題的關(guān)鍵點(diǎn)1、相等向量具有傳遞性，非零向量的平行也具有傳遞性．2、共線向量即平行向量，它們均與起點(diǎn)無(wú)關(guān)．3、相等向量不僅模相等，而且方向也相同，所以相等向量一定是平行向量，但平行向量未必是相等向量．4、向量可以平移，平移后的向量與原向量是相等向量．解題時(shí)，不要把它與函數(shù)圖象的平移混為一談．5、非零向量與的關(guān)系：是方向上的單位向量，因此單位向量與方向相同．6、向量與數(shù)量不同，數(shù)量可以比較大小，向量則不能．但向量的模是非負(fù)實(shí)數(shù)，可以比較大小．7、在解決向量的概念問題時(shí)，要注意兩點(diǎn)：①不僅要考慮向量的大小，還要考慮向量的方向；②考慮零向量是否也滿足條件．【例1】（2023·遼寧·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）設(shè)，都是非零向量，下列四個(gè)條件中，能使一定成立的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因?yàn)椋释?對(duì)于A:，方向相反,A選項(xiàng)錯(cuò)誤；學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 對(duì)于B:，得出,不能得出方向，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C:,方向向相同,則成立，C選項(xiàng)正確；對(duì)于D:,不能確定的方向，D選項(xiàng)錯(cuò)誤，故選：C．【變式1-1】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)是非零向量，λ是非零實(shí)數(shù)，下列結(jié)論中正確的是（）A．與的方向相反B．與的方向相同C．D．【答案】B【解析】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，與的方向相同，當(dāng)時(shí)，與的方向相反，故A不正確；對(duì)于B，顯然，即B正確；對(duì)于C，，由于與1的大小不確定，故與的大小關(guān)系不確定，故C不正確；對(duì)于D，是向量，而表示長(zhǎng)度，兩者不能比較大小，故D不正確．故選：B【變式1-2】（2023·黑龍江雙鴨山·高三雙鴨山一中?？茧A段練習(xí)）（多選）下列說法中不正確的是（）A．若，則B．若與共線，則或C．若，為單位向量，則D．是與非零向量共線的單位向量【答案】BC【解析】對(duì)于A，根據(jù)零向量的定義，若，則，故A正確；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，顯然與共線，但是零向量的方向是任意的，所以不一定有或，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，設(shè)，，顯然為單位向量，但，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由，則為單位向量，由，則向量與共線，即是與非零向量共線的單位向量，故D正確，故選：BC.【變式1-3】（2023·重慶沙坪壩·高三南開中學(xué)?？茧A段練習(xí)）（多選）已知非零向量，下列命題正確的是（）A．若，則學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 B．與向量共線的單位向量是C．“”是“與的夾角是銳角”的充分不必要條件D．若是平面的一組基底，則也能作為該平面的一組基底【答案】AD【解析】對(duì)于A，非零向量，由，得存在非零實(shí)數(shù)，使得，則，即，A正確；對(duì)于B，與共線的單位向量是，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，當(dāng)與同向共線時(shí)，滿足，而與的夾角為0，不是銳角，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，是平面的一組基底，則不共線，假設(shè)向量共線，則存在實(shí)數(shù)，使得，即，顯然不同時(shí)為0，于是共線，與不共線矛盾，即假設(shè)是錯(cuò)的，因此向量不共線，D正確.故選：AD【變式1-4】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）（多選）給出下列命題，不正確的有（）A．若兩個(gè)向量相等，則它們的起點(diǎn)相同，終點(diǎn)相同B．若A，B，C，D是不共線的四點(diǎn)，且＝，則四邊形ABCD為平行四邊形C．的充要條件是且D．已知λ，μ為實(shí)數(shù)，若，則與共線【答案】ACD【解析】A錯(cuò)誤，兩個(gè)向量起點(diǎn)相同，終點(diǎn)相同，則兩個(gè)向量相等，但兩個(gè)向量相等，不一定有相同的起點(diǎn)和終點(diǎn)；B正確，因?yàn)椋?，所以＝且，又A，B，C，D是不共線的四點(diǎn)，所以四邊形ABCD為平行四邊形；C錯(cuò)誤，當(dāng)且方向相反時(shí)，即使，也不能得到，所以且不是的充要條件，而是必要不充分條件；D錯(cuò)誤，當(dāng)時(shí)，與可以為任意向量，滿足，但與不一定共線，故選:ACD.【題型2平面向量的線性運(yùn)算】學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 滿分技巧向量的運(yùn)算往往結(jié)合平面幾何知識(shí)和三角函數(shù)知識(shí)解答，運(yùn)算法則是：（1）平面四邊形法則：平行四邊形的對(duì)角線分別是兩向量的和與差；（2）三角形法則：兩箭頭間向量是差，箭頭與箭尾向量是和；（3）平面向量多邊形法則：一般地，首尾順次相接的多個(gè)向量的和等于從第一個(gè)向量起點(diǎn)指向最后一個(gè)向量終點(diǎn)的向量，即。特別地，一個(gè)封閉圖形，首尾連接而成的向量和為零向量．【例2】（2023·北京·高三北京市第三十五中學(xué)?？计谥校┰诘妊菪蜛BCD中，，M為BC的中點(diǎn)，則（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因?yàn)樵诘妊菪蜛BCD中，，所以,因?yàn)镸為BC的中點(diǎn)，所以,故選:B.【變式2-1】（2023·廣東深圳·高三深圳中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在中，，，若，則的值為（）A．7B．6C．5D．4【答案】C【解析】由題意及圖可得，∵，∴，∵，∴,．學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 ∵，∴，，解得：，，，故選：C．【變式2-2】（2023·河南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）（多選）如圖是一個(gè)正六邊形，下列說法正確的是（）A．B．C．D．在上的投影向量為【答案】ABD【解析】對(duì)A，，故A正確；對(duì)B，由圖易得，直線平分角，且為正三角形，根據(jù)平行四邊形法則有，與共線且同方向．易知，均為含角的直角三角形，故，則，而，故，故，故B正確；對(duì)C，因?yàn)椋?，故C錯(cuò)誤；對(duì)D，，則在上的投影向量為，故D正確．故選：ABD．【變式2-3】（2023·黑龍江哈爾濱·高三哈爾濱七十三中?？计谥校┰谄叫兴倪呅沃校瑸閷?duì)角線上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，延長(zhǎng)交于，則（）A．B．C．D．【答案】A【解析】易知，，所以，又，所以，即為的中點(diǎn)，學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 所以.故選：A【變式2-4】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知的邊的中點(diǎn)為D，點(diǎn)E在所在平面內(nèi)，且，若，則（）A．7B．6C．3D．2【答案】A【解析】因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，所以，所以，因?yàn)?，所以，，?故選：A．【題型3平面向量共線定理及應(yīng)用】滿分技巧1、證明向量共線：若存在實(shí)數(shù)λ，使，則與非零向量共線；2、證明三點(diǎn)共線：若存在實(shí)數(shù)λ，使，與有公共點(diǎn)A，則A，B，C三點(diǎn)共線；3、求參數(shù)的值：利用向量共線定理及向量相等的條件列方程(組)求參數(shù)的值【例3】（2022·四川綿陽(yáng)·統(tǒng)考二模）已知平面向量a，b不共線，，，則（）A．A，B，D三點(diǎn)共線B．A，B，C三點(diǎn)共線C．B，C，D三點(diǎn)共線D．A，C，D三點(diǎn)共線【答案】D【解析】對(duì)A，與不共線，A錯(cuò)誤；對(duì)B，則與不共線，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，則與不共線，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，即，又線段AC與CD有公共點(diǎn)C，所以A，C，D三點(diǎn)共線，D正確，故選：D.【變式3-1】（2023·陜西銅川·高三?？计谀┰谥校?，則點(diǎn)（）A．在直線上B．在直線上C．在直線上D．為的外心學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 【答案】A【解析】因?yàn)?，所以，所以和共線，因?yàn)楹陀泄捕它c(diǎn)，所以三點(diǎn)共線，所以點(diǎn)在直線上，故選：A【變式3-2】（2024·陜西安康·安康中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知平面向量與不共線，向量，若，則實(shí)數(shù)的值為（）A．1B．C．1或D．或【答案】C【解析】由，且均不為零向量，則，可得，則，整理得，解得或．故選：C．【變式3-3】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在中，是邊的中點(diǎn)，，過點(diǎn)的直線交直線分別于兩點(diǎn)，且，則.【答案】【解析】由題意：由三點(diǎn)共線知，.，消去，得.【變式3-4】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在中，為邊上的中線，為上一點(diǎn)，且，若，且（），則．【答案】【解析】如圖所示，由為邊的中點(diǎn)，得到，而，因此，學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 所以，因?yàn)椋?，因?yàn)椋O(shè)（），所以，所以，即．因?yàn)榕c不共線，所以，得，故．【題型4平面向量基本定理及應(yīng)用】滿分技巧平面向量基本定理的實(shí)質(zhì)及解題思路1、應(yīng)用平面向量基本定理表示向量的實(shí)質(zhì)是平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行向量的加、減或數(shù)乘運(yùn)算，一般將向量“放入”相關(guān)的三角形中，利用三角形法則列出向量的間的關(guān)系；2、用平面向量基本定理解決問題的一般思路是先選擇一組基底，并運(yùn)用該基底將條件和結(jié)論表示成向量的形式，再通過向量的運(yùn)算來(lái)解決。注意同一向量在不同基底下的分解是不同的，但在每個(gè)基底下的分解是唯一的?！纠?】（2023·陜西西安·高三?？茧A段練習(xí)）在中，點(diǎn)D，E分別是，的中點(diǎn)，記，，則（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由題意可知，，．兩式相減，得，所以．故選：D．【變式4-1】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)向量是平面內(nèi)一個(gè)基底，且，則向量可以用另一個(gè)基底表示，即.【答案】【解析】設(shè)，因?yàn)?，所以，學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 因?yàn)椴还簿€，所以，解得，.【變式4-2】（2023·江蘇南通·高三如東高級(jí)中學(xué)?？计谥校┮阎莾蓚€(gè)不共線的向量，，，，則（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因?yàn)?，是兩個(gè)不共線的向量，設(shè)，則，即，解得，所以，故選：C【變式4-3】（2024·湖南常德·高三常德市一中?？茧A段練習(xí)）直角梯形中，角為直角，，，若，則（）A．B．C．1D．2【答案】B【解析】因?yàn)椋?，所以，可得，，又，所?故選：B.【變式4-4】（2023·安徽蚌埠·高三固鎮(zhèn)縣第二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在中，分別是邊上的動(dòng)點(diǎn).學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 （1）證明：；（2）當(dāng)分別是邊的中點(diǎn)時(shí)，用表示.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）因?yàn)榉謩e是邊上的動(dòng)點(diǎn)，所以存在使，所以.令，則，因?yàn)椋?，所?（2）因?yàn)榉謩e是邊的中點(diǎn)，所以，又，所以，所以，所以，即，所以.故.【題型5平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算】滿分技巧1、向量的坐標(biāo)運(yùn)算主要是利用向量的加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算法則進(jìn)行，若已知有向線段兩端點(diǎn)的坐標(biāo)，則應(yīng)先求出向量的坐標(biāo)，求解過程中要注意方程思想的運(yùn)用。2、平面向量共線的坐標(biāo)表示問題的解題策略：（1）如果已知兩向量共線，求某些參數(shù)的取值時(shí)，利用“，則的充要條件是”；（2）在求與一個(gè)已知向量共線的向量時(shí)，可設(shè)所求向量為【例5】（2023·江蘇·高三海安高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知是的邊上的高，且，，則（）A．B．C．D．學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 【答案】B【解析】設(shè)，則，由得，解得，故，故選：B【變式5-1】（2024·陜西西安·統(tǒng)考一模）已知平面向量，若與共線，則實(shí)數(shù)．【答案】2【解析】，若與共線，則，解得.【變式5-2】（2024·北京大興·高三統(tǒng)考期末）設(shè)向量，若，則（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因?yàn)椋?，因?yàn)椋?，所以，故選：D【變式5-3】（2024·河北保定·高三阜平中學(xué)校聯(lián)考期末）已知向量，，，若正實(shí)數(shù)，滿足，則的值為（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因?yàn)?，，，所以，所以，解得，所以，故選：A.學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 【變式5-4】（2023·重慶·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）在正方形中，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)過，，到達(dá)，，則的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，所在直線分別為軸，軸，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，設(shè)，則，即，故，當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，設(shè)，則，即，解得，故，當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，設(shè)，則，即，故綜上，的取值范圍是.故選：B【題型6向量運(yùn)算在幾何中的應(yīng)用】滿分技巧利用向量運(yùn)算解決幾何問題時(shí)由兩種方法：一幾何法：利用向量的線性運(yùn)算求解幾何關(guān)系；二坐標(biāo)法：根據(jù)題設(shè)條件建立合適的直角坐標(biāo)系，通過坐標(biāo)運(yùn)算解決?！纠?】（2024·廣東·珠海市第一中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）若O是所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，且滿足，則的形狀為（）A．等邊三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．直角三角形【答案】D【解析】∵，，∴，兩邊平方，化簡(jiǎn)得∴，∴為直角三角形.因?yàn)椴灰欢ǖ扔?，所以不一定為等腰直角三角形，故選：D.【變式6-1】（2023·黑龍江綏化·高三?？计谥校┰谥?，，則學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 是（）A．等邊三角形B．直角三角形C．鈍角三角形D．等腰直角三角形【答案】A【解析】因?yàn)?，，，，所以，所以是等邊三角形．故選：A．【變式6-2】（2024·山東菏澤·高三鄄城縣第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知的面積為24，平面中的點(diǎn)分別滿足，，，則的面積為（）A．7B．8C．9D．10【答案】A【解析】如圖，由題意，，同理，，所以．故選：A．【變式6-3】（2024·河南焦作·高三統(tǒng)考期末）已知所在平面內(nèi)一點(diǎn)滿足，則的面積是的面積的（）A．5倍B．4倍C．3倍D．2倍【答案】A【解析】設(shè)的中點(diǎn)為，因?yàn)?，所以，所以，所以點(diǎn)是線段的五等分點(diǎn)，所以,所以的面積是的面積的5倍．故選：A.【變式6-4】（2023·陜西銅川·高三校考期末）如圖，在直角梯形中，，，，為上靠近的三等分點(diǎn)，交于．學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 （1）用和表示；（2）求證：．【答案】（1）；（2）證明見解析【解析】（1），，又為上靠近的三等分點(diǎn)，，；（2）交于，，由（1）知．．三點(diǎn)共線，，解得，．即（建議用時(shí)：60分鐘）1．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)為單位向量，下列命題中：①若為平面內(nèi)的某個(gè)向量，則；②若與平行，則；③若與平行且，則，假命題的個(gè)數(shù)是（）A．0B．1C．2D．3【答案】D【解析】向量是既有大小又有方向的量，與的模相同，但方向不一定相同，故①是假命題；若與平行，則與的方向有兩種情況：一是同向，二是反向，反向時(shí)，故②③也是假命題．綜上所述，假命題的個(gè)數(shù)是3．故選：D2．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）下列各式化簡(jiǎn)結(jié)果正確的是（）學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 A．＋＝B．＋＋＋＝C．＋－＝0D．－－＝【答案】B【解析】對(duì)A，＋，A錯(cuò)誤；對(duì)B，＋＋＋＝＋＋＝＋＝,B正確；對(duì)C，＋－＝，C錯(cuò)誤；對(duì)D，－－＝－＝,D錯(cuò)誤；故選:B.3．（2024·廣東廣州·仲元中學(xué)?？家荒＃┮阎谥校c(diǎn)在邊上，且，則（）A．B．C．D．【答案】A【解析】在中，，又點(diǎn)在邊上，且，則，故選：A.4．（2024·江蘇南京·金陵中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）如圖1，兒童玩具紙風(fēng)車的做法體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美，取一張正方形紙折出“十”字折痕，然后把四個(gè)角向中心點(diǎn)翻折，再展開，把正方形紙兩條對(duì)邊分別向中線對(duì)折，把長(zhǎng)方形短的一邊沿折痕向外側(cè)翻折，然后把立起來(lái)的部分向下翻折壓平，另一端折法相同，把右上角的角向上翻折，左下角的角向下翻折，這樣，紙風(fēng)車的主體部分就完成了，如圖2，是一個(gè)紙風(fēng)車示意圖，則（）A．B．C．D．【答案】C【解析】不妨設(shè)，則，對(duì)于A項(xiàng)，顯然與方向不一致，所以，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B項(xiàng)，由圖知是鈍角，則，故B項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C項(xiàng)，由題意知點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，則易得：,即得：，故C項(xiàng)正確；對(duì)于D項(xiàng)，由，而與顯然不共線，故．即項(xiàng)錯(cuò)誤，故選：C．學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 5．（2023·浙江·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知平面向量，，均為單位向量，則“”是“與共線”的（）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】平面向量，，均為單位向量，則，當(dāng)且僅當(dāng)同向共線時(shí)取等號(hào)，則當(dāng)時(shí)，與共線，反之，與共線并且方向相反時(shí)，，所以“”是“與共線”的充分不必要條件，A正確，故選：A6．（2023·北京朝陽(yáng)·高三統(tǒng)考期中）已知平面內(nèi)四個(gè)不同的點(diǎn)滿足，則（）A．B．C．2D．3【答案】D【解析】,，即，，.故選：D.7．（2023·陜西西安·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）在中，點(diǎn)滿足，點(diǎn)滿足，若，則（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因?yàn)辄c(diǎn)滿足，所以為的中點(diǎn)，所以，又，所以，所以，又，因?yàn)?，所以，即，所以，解得，所?故選：C學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 8．（2023·湖南婁底·婁底市第三中學(xué)校聯(lián)考三模）2000多年前，古希臘雅典學(xué)派的第三大算學(xué)家歐道克薩斯首先提出黃金分割.所謂黃金分割點(diǎn)，指的是把一條線段分割為兩部分，使其中一部分與全長(zhǎng)之比等于另一部分與這部分之比，黃金分割比為.如圖，在矩形中，與相交于點(diǎn)，，且點(diǎn)為線段的黃金分割點(diǎn)，則（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由題意得，顯然，，同理有，，所以，故，因?yàn)?，所以，故選：D9．（2023·江蘇南京·高三南京師范大學(xué)附屬中學(xué)江寧分校校聯(lián)考期末）已知平面四邊形滿足，平面內(nèi)點(diǎn)滿足，與交于點(diǎn)，若，則等于（）A．B．C．D．【答案】B【解析】如圖，因?yàn)?，所?又因?yàn)椋?，所以，又因?yàn)?，所以，所以，在平面四邊形中?所以且所以相似于相似比為，所以,,學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 所以，故選:B.10．（2023·山西臨汾·高三山西省臨汾市第三中學(xué)校校聯(lián)考期中）已知P，Q分別為的邊，的中點(diǎn)，若，，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由P，Q分別為的邊，的中點(diǎn)，，得，點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，，因此，所以點(diǎn)C的坐標(biāo)為，故選：A11．（2023·四川資陽(yáng)·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知向量，滿足，．若，則（）A．4B．C．2D．【答案】D【解析】向量，滿足，，，由，則，解得，故選：D12．（2023·寧夏石嘴山·高三石嘴山市第三中學(xué)?？奸_學(xué)考試）設(shè)向量，若，則實(shí)數(shù)m的值為（）A．B．2C．D．【答案】D【解析】向量，則，由，得，解得，所以實(shí)數(shù)m的值為，故選：D13．（2023·河南周口·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知向量，，，若，則（）A．3B．-1C．2D．4【答案】A【解析】由，，又由，可得：，解得，故選：A.14．（2023·黑龍江哈爾濱·高三哈爾濱七十三中?？计谥校┰谥苯翘菪蜛BCD中，，點(diǎn)E為BC邊上一點(diǎn)，且，則的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】B學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 【解析】建立如圖所示的直角坐角坐標(biāo)系，過作，垂足為，因?yàn)?，所以有，，設(shè)，，因此有因?yàn)?，所以有，而，所以，?dāng)時(shí)，有最大值，當(dāng)，xy有最小值，所以的取值范圍是故選：B15．（2024·山東青島·高三青島第十七中學(xué)?？计谀ǘ噙x）有關(guān)平面向量的說法，下列錯(cuò)誤的是（）A．若，，則B．若與共線且模長(zhǎng)相等，則C．若且與方向相同，則D．恒成立【答案】ABC【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，取，滿足，，但、不一定共線，A錯(cuò)；對(duì)于B選項(xiàng)，若與共線且模長(zhǎng)相等，則或，B錯(cuò)；對(duì)于C選項(xiàng)，任何兩個(gè)向量不能比大小，C錯(cuò)；對(duì)于D選項(xiàng)，恒成立，D對(duì)，故選：ABC.16．（2023·山東青島·高三統(tǒng)考期中）（多選）在中，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，是邊的三分之一分點(diǎn)，（靠近點(diǎn)的），與交于點(diǎn)，則下列說法正確的是（）A．B．C．D．【答案】ABD【解析】由題意，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，是邊的三分之一分點(diǎn)，學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 可得，所以A正確；設(shè)為的中點(diǎn)，連接，則，在中，因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，可得且，在中，由分別為的中點(diǎn)，且，可得，所以，所以，所以，所以B正確；由，可得且，則，且，所以，所以C不正確；由，，且，所以，所以D正確.故選：ABD.17．（2023·安徽合肥·高三合肥一六八中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知向量，，，若與共線，則.【答案】【解析】，，，，，與共線，，得.18．（2024·陜西西安·高三統(tǒng)考期末）在中，在上，且，在上，且.若，則.【答案】【解析】因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，則，因?yàn)?，所以，則.19．（2024·天津和平·高三統(tǒng)考期末）如圖，在中，，過點(diǎn)的直線分別交直線學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 于不同的兩點(diǎn)，記，用表示；設(shè)，若，則的最小值為．【答案】；【解析】由題知，，即.由，，所以，因?yàn)椤?、三點(diǎn)共線，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立.20．（2022·湖南岳陽(yáng)·統(tǒng)考三模）設(shè)點(diǎn)P在以A為圓心，半徑為1的圓弧上運(yùn)動(dòng)(包含B，C兩個(gè)端點(diǎn))，∠BAC＝，且，x＋y的取值范圍為．【答案】[1，2]【解析】建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，，設(shè)，所以，因此有，因?yàn)?，，學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 所以有，于是有，因?yàn)?，所以，所以，?學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司