新題型02 新高考新結(jié)構(gòu)競賽題型十五大考點匯總（原卷版）.docx

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學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司新題型02新高考新結(jié)構(gòu)競賽題型十五大考點匯總高考數(shù)學(xué)中會出現(xiàn)與競賽相關(guān)的考點，本專題主要針對高考中的競賽考點進行分類歸納【題型1集合中的競賽考點】【例1】（2022·新疆·競賽）設(shè)集合3a+b1≤a≤b≤4中的最大元素與最小元素分別為M，N，則M-N=．【變式1-1】（2022·浙江·競賽）已知集合A=xx-nx-n2+n≤0,n∈N+，若集合A中恰有9個正整數(shù)，則n=.【變式1-2】（2021·全國·高三競賽）已知集合M={1,2,3,?,1995}，A是M的子集，當x∈A時，19x?A，則集合A元素個數(shù)的最大值為．【變式1-3】（2020·江蘇·高三競賽）設(shè)n∈N?，歐拉函數(shù)φn表示在正整數(shù)1，2，3，…，n中與n互質(zhì)的數(shù)的個數(shù)，例如1，3都與4互質(zhì)，2，4與4不互質(zhì)，所以φ4=2，則φ2020=．【變式1-4】（2021·全國·高三競賽）設(shè)集合A={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，滿足下列性質(zhì)的集合稱為“翔集合”：集合至少含有兩個元素，且集合內(nèi)任意兩個元素之差的絕對值大于2.則A的子集中有zxxk.com科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司zxxk.com學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司個“翔集合”.【題型2函數(shù)中的競賽考點】【例2】（2018·吉林·高三競賽）已知fx=2x+122x?x+1在?2018,0∪0,2018上的最大值為M，最小值為N，則M+N=（）A．3B．2C．1D．0【變式2-1】（2018·吉林·高三競賽）已知函數(shù)fx滿足：f1=14，4fxfy=fx+y+fx?yx,y∈R，則f2019=（）.A．12B．-12C．14D．-14【變式2-2】（2022·新疆·競賽）已知f(x)=2x+lnx2+1+x-2-x+1011，則不等式f(2x+1)+f(x)>2022的解集為．【變式2-3】（2022·廣西·統(tǒng)考競賽）設(shè)y=fx是嚴格單調(diào)遞增的函數(shù)，其反函數(shù)為y=gx．設(shè)x1，x2分別是方程fx+x=2和gx+x=2的解，則x1+x2=．【變式2-4】（2021·浙江金華·高三浙江金華第一中學(xué)?？几傎悾┰O(shè)x>0，平面向量AB=0,1，BC=1,2，CD=log3x,log9x．若AC?BD=2，則x的值為．【題型3函數(shù)與方程中的競賽考點】【例3】（2021·全國·高三競賽）已知s?t是關(guān)于x的整系數(shù)方程ax2+bx+c=0(a>0)的兩根，10,b>0，gx=lnx+2，若對?x>?2，fx≥gx恒成立，則實數(shù)ba的取值范圍為（????）A．0,+∞B．1,+∞C．2,+∞D(zhuǎn)．[e,+∞)【變式5-3】（2020·全國·高三競賽）已知首項系數(shù)為1的五次多項式f(x)滿足：f(n)=8n,n=1,2,?,5，則f(x)的一次項系數(shù)為．【變式5-4】（2018·全國·高三競賽）已知α、β、γ為方程5x3?6x2+7x?8=0的三個不同的根，則α2+αβ+β2β2+βγ+γ2γ2+γα+α2的值為．zxxk.com科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司zxxk.com學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司【題型6三角函數(shù)中的競賽考點】【例6】（2024上·全國·高三統(tǒng)考競賽）給定k∈R，若?m>0，?x,y∈R滿足cosx+kcosy=1，均有y≥m，則k的范圍是（????）A．(?∞,0)∪(2,+∞)B．(?∞,0]∪[2,+∞)C．[0,2]D．(0,2)【變式6-1】（2018·吉林·高三競賽）已知fx=sinx2+cosx，則對任意x∈R，下列說法中錯誤的是（）A．fx≥13sinxB．fx≤xC．fx≤33D．fπ+x+fπ?x=0【變式6-2】（2021·全國·高三競賽）函數(shù)f(x)=cosx的圖象與直線y=kx(k>0)恰有四個不同交點，設(shè)四個交點中橫坐標的最大值為α，則α?tanα=．【變式6-3】（2022·新疆·競賽）已知二面角α-l-β的平面角為60°，A，D為直線l上的兩點，射線DB在平面α內(nèi)，射線DC在平面β內(nèi)，已知∠BDA=45°,∠CDA=30°，則cos∠BDC等于．【變式6-4】（2021·全國·高三競賽）在△ABC中，AC=5,1tanA2+1tanC2?5tanB2=0，則BC+AB的值為．【題型7向量中的競賽考點】【例7】（2022·江蘇南京·高三強基計劃）已知向量a，b，c滿足a=3，b=22，a?b=6，且a+cb+2c=0，則b+c最小值為.【變式7-1】（2020·浙江·高三競賽）已知a，b為非零向量，且|a|=|a+b|=1，則|2a+b|+|b|的最大值為.【變式7-2】（2021·全國·高三競賽）已知平面向量a?b?c，滿足|a|=2,|b|=|c|=5,0<λ<1，若b?c=0，那么|a?b+λ(b?c)|+25c+(1?λ)(b?c)的最小值為.【變式7-3】（2021·全國·高三競賽）已知平面單位向量a、b、c、x，且a+b+c=0，記y=|x?a|+|x?b|+|x?c|，則y的最大值為．【變式7-4】（2021·全國·高三競賽）設(shè)P是△ABC所在平面內(nèi)一點，滿足PA+PB+PC=3AB，若△PAC的面積為1，則△PAB的面積為.【題型8數(shù)列中的競賽考點】【例8】（2023·全國·高三專題練習）已知數(shù)列an滿足a1=1，an+1=ln1+an，n∈N?.下列說法錯誤的是（????）zxxk.com科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司zxxk.com學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司A．a(chǎn)n>an+1B．a(chǎn)n<2an+1C．a(chǎn)n≥12n?1D．3an>4an+1【變式8-1】（2023·全國·高三專題練習）已知數(shù)列{an}的各項都是正數(shù)且滿足2an2?3an=an?1(n∈N?，n?2)，Sn是數(shù)列{an}的前n項和，則下列選項中錯誤的一項是（????）A．若{an}單調(diào)遞增，則01C．當a=13時，a2020<1D．當a=14時，a2020>1【變式8-3】（2023·全國·高三專題練習）斐波那契數(shù)列又稱“黃金分割數(shù)列”，在現(xiàn)代物理、準晶體結(jié)構(gòu)、化學(xué)等領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用.斐波那契數(shù)列an可以用如下方法定義：an=an?1+an?2n≥3,n∈N?，a1=a2=1，則i=12022ai2a2022i=1,2,???,2022是數(shù)列an的第（????）項A．2020B．2021C．2022D．2023【變式8-4】（多選）（2023·全國·高三專題練習）數(shù)學(xué)史上有很多著名的數(shù)列，在數(shù)學(xué)中有著重要的地位.13世紀初意大利數(shù)學(xué)家斐波那契從兔子繁殖問題引出的一個數(shù)列Fn：1，1，2，3，5，8，13，……，稱之為斐波那契數(shù)列，滿足F0=1，F(xiàn)1=1，F(xiàn)n+1=Fn+Fn?1n≥1.19世紀法國數(shù)學(xué)家洛卡斯提出數(shù)列Ln：2，1，3，4，7，11，18，……，稱之為洛卡斯數(shù)列，滿足L0=2，L1=1，Ln+1=Ln+Ln?1n≥1.那么下列說法正確的有（????）A．Ln=2Fn?Fn?1n≥1B．Fn+1Fn?1?Fn2不是等比數(shù)列C．L0+L2+???+L2n=L2n+1+1D．Ln2+Ln+12=5F2n+1【題型9不等式中的競賽考的】【例9】（2016·北京·高三強基計劃）（多選）設(shè)函數(shù)f(x,y)=?6xy+72(x+y)?2，則minx∈[0,1]maxy∈[0,1]{f(x,y)}=（????）A．0B．124zxxk.com科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司zxxk.com學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司C．?124D．miny∈[0,1]maxx∈[0,1]{f(x,y)}【變式9-1】（2023·全國·高三專題練習）設(shè)a,b,c為△ABC的三邊，S為△ABC的面積，若a2+b2+2c2=8，則S的最大值為．【變式9-2】（2022·浙江·競賽）設(shè)a，b，c，d∈R+，abcd=1，則∑1a2+941Σa的最小值為.【變式9-3】（2021·全國·高三競賽）設(shè)a,b,c>0滿足a?b+c+abc=0，則2a2+1?2b2+1+3c2+1的最大值是.【變式9-4】（2021·全國·高三競賽）已知非負實數(shù)x、y、z滿足4x2+4y2+z2+2z=3，則5x+4y+3z的最小值為．【題型10解析幾何中的競賽考點】【例10】（2024上·全國·高三統(tǒng)考競賽）設(shè)雙曲線Γ:x2?3y2=?3，A(0,2)，B，C在Γ上且直線BC經(jīng)過A.設(shè)lB,lC分別為Γ在B，C處的切線，點D滿足BD⊥lB,CD⊥lC，則D的軌跡方程是;若D的橫縱坐標均為正整數(shù)，且二者之和大于2024，則D可以是.(寫出1個即可).【變式10-1】（2023·湖北武漢·統(tǒng)考一模）設(shè)F為雙曲線E:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的右焦點，A，B分別為雙曲線E的左右頂點，點P為雙曲線E上異于A，B的動點，直線l：x＝t使得過F作直線AP的垂線交直線l于點Q時總有B，P，Q三點共線，則ta的最大值為.【變式10-2】（2022·江蘇南京·高三強基計劃）設(shè)F，l分別為雙曲線x-4212-y212=1的右焦點與右準線，橢圓Γ以F和l為其對應(yīng)的焦點及準線，過F作一條平行于y=3x的直線，交橢圓Γ于A?B兩點，若Γ的中心位于以AB為直徑的圓外，則橢圓離心率e的范圍為.【變式10-3】（2021·全國·高三競賽）已知?ABCD的四個頂點均在雙曲線x2?y24=1上，點P(0,1)在邊AB上，且APPB=12，則?ABCD的面積等于.【變式10-4】（2021·全國·高三競賽）已知S(2,1)為橢圓Γ:x28+y22=1上的點，對橢圓Γ上的任意兩點P、Q，用如下辦法定義它們的“和”P+Q：過點S作一條平行于PQ（若點P與Q重合，則直線PQ表示橢圓Γ在P處的切線）的直線l與橢圓Γ交于不同于S的另一點，記作P+Q（若l與橢圓Γ相切，則規(guī)定S為P+Q）.并規(guī)定nP=P+P+?+P?n個.(1)若點P(22,0),Q(0,?2)，求P+Q、2P以及100P的坐標.(2)在橢圓Γ上是否存在不同于S的點P，滿足3P=Szxxk.com科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司zxxk.com學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司？若存在，求出所有滿足條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由.【變式10-5】（2021·全國·高三競賽）已知橢圓C1:x2a2+y2b2=1(a>b>0)，其右焦點為F，過F作直線l交橢圓C1于A、B兩點（l與x軸不重合），設(shè)線段AB中點為D，連結(jié)OD（O為坐標原點），直線OD交橢圓C1于M、N兩點，若A、M、B、N四點共圓，且|MN||OD|=83，求橢圓C1的離心率．【題型11立體幾何中的競賽考點】【例11】（2023上·湖南邵陽·高三校聯(lián)考階段練習）已知三棱錐A?BCD中，AB=CD=32，AC=AD=BC=BD=5，空間中的動點M滿足MA≥2MB，則平面BCD截M的軌跡形成的圖形的面積為．【變式11-1】（2022·江蘇徐州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知A，B，C，D是半徑為4的球面上四點，E，F(xiàn)分別為AB,CD的中點，AB=43，CD=27，則以EF為直徑的球的最小表面積為；若A，B，C，D不共面，則四面體ABCD的體積的最大值為．【變式11-2】（2021·全國·高三競賽）把半徑為1的4個小球裝入一個大球內(nèi)，則此大球的半徑的最小值為．【變式11-3】（2021·全國·高三競賽）A、B、C、D是半徑為1的球面上的4個點，若AB=CD=1，則四面體ABCD體積的最大值是．【變式11-4】（2021·全國·高三競賽）正四面體ABCD中，點G為面ABC的中心，點M在線段DG上，且tan∠AMB=?3515，則DMDG=.【變式11-5】（2023·全國·統(tǒng)考競賽）已知三棱柱Ω:ABC?A1B1C1的9條棱長均相等.記底面ABC所在平面為α.若Ω的另外四個面（即面A1B1C1，ABB1A1，ACC1A1，BCC1B1）在α上投影的面積從小到大重排后依次為23，33，43，53，求Ω的體積.【題型12排列組合中的競賽考點】【例12】（2024上·全國·高三統(tǒng)考競賽）設(shè)a1,a2,?,a9=1,2,?,9，且a2i?1>a2i5時，3x3+4y3+5z3=0(modp)必有一組非零解(x,y,z)∈?p?∪03.zxxk.com科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司zxxk.com學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司