甘肅省武威市天祝一中民勤一中2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期第一次月考 數(shù)學(xué) Word版含解析.docx

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2023~2024高二第二學(xué)期第一次月考試卷數(shù)學(xué)試題全卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.注意事項(xiàng)：1．答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在試卷和答題卡上，并將條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2．請按題號順序在答題卡上各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.3．選擇題用2B鉛筆在答題卡上把所選答案的標(biāo)號涂黑；非選擇題用黑色簽字筆在答題卡上作答；字體工整，筆跡清楚.4．考試結(jié)束后，請將試卷和答題卡一并上交.5．本卷主要考查內(nèi)容：湘教版選擇性必修第二冊第一章~第二章2.3．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.在空間四邊形中，等于（）AB.C.D.2.設(shè)，若，則（）A.B.C.D.3.空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于平面的對稱點(diǎn)是（）A.B.C.D.4.已知函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)為3，則（）A.3B.C.6D.5.為空間任意一點(diǎn)，若，若、、、四點(diǎn)共面，則（）A.B.C.D.6.函數(shù)圖象連續(xù)的函數(shù)在區(qū)間上（）A.一定存在極小值B.一定存在極大值C.一定存在最大值D. 極小值一定比極大值小7.已知，，則在上的投影向量為（）A.B.C.D.8.已知函數(shù)，若，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A.B.CD.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知函數(shù)，則函數(shù)在下列區(qū)間上單調(diào)遞增的有（）A.B.C.D.10.已知空間向量，則下列說法正確的是（）A.B.C.與夾角的余弦值為D.若，則共面11.已知函數(shù)，則下列說法正確的是（）A.極值點(diǎn)為B.的最小值為C.有兩個(gè)零點(diǎn)D.直線是曲線的一條切線三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知在一次降雨過程中，某地降雨量y（單位：）與時(shí)間t（單位： ）的函數(shù)關(guān)系可近似表示為，則在時(shí)的瞬時(shí)降雨強(qiáng)度（某一時(shí)刻降雨量的瞬間變化率）為______.13已知，則______．14.已知函數(shù)，若成立，則實(shí)數(shù)t的取值范圍為_____________．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟．15.如圖，在邊長為4的正方體中，，，分別是，，的中點(diǎn)．以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．（1）寫出，，，，五點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）求．16.已知函數(shù)在點(diǎn)處的切線斜率為，且在處取得極值．（1）求函數(shù)的解析式；（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最值．17.如圖，在半徑為4m的四分之一圓（O為圓心）鋁皮上截取一塊矩形材料OABC，其中點(diǎn)B在圓弧上，點(diǎn)A，C在兩半徑上，現(xiàn)將此矩形鋁皮OABC卷成一個(gè)以AB為母線的圓柱形罐子的側(cè)面（不計(jì)剪裁和拼接損耗），設(shè)矩形的邊長，圓柱的體積為V．（1）求出體積V關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并指出定義域； （2）當(dāng)x為何值時(shí)，才能使做出的圓柱形罐子的體積V最大？最大體積是多少？18.已知函數(shù)．（1）若，證明：：（2）若，都有，求實(shí)數(shù)的取值范圍．19.已知函數(shù)．（1）若恰有兩個(gè)極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若兩個(gè)極值點(diǎn)分別為，證明:． 2023~2024第二學(xué)期第一次月考試卷高二數(shù)學(xué)全卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.注意事項(xiàng)：1．答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在試卷和答題卡上，并將條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2．請按題號順序在答題卡上各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.3．選擇題用2B鉛筆在答題卡上把所選答案的標(biāo)號涂黑；非選擇題用黑色簽字筆在答題卡上作答；字體工整，筆跡清楚.4．考試結(jié)束后，請將試卷和答題卡一并上交.5．本卷主要考查內(nèi)容：湘教版選擇性必修第二冊第一章~第二章2.3．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.在空間四邊形中，等于（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)平面向量的加法運(yùn)算法則，即可求解.【詳解】.故選：C2.設(shè)，若，則（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)值直接構(gòu)造方程求解即可.【詳解】，，解得：.故選：A. 3.空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于平面的對稱點(diǎn)是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)對稱的性質(zhì)即可求解.【詳解】點(diǎn)關(guān)于xOz平面的對稱點(diǎn)是,故選：B4.已知函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)為3，則（）A.3B.C.6D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)已知條件及函數(shù)在導(dǎo)數(shù)的定義即可求解.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在處的導(dǎo)數(shù)為3，所以，所以．故選：B.5.為空間任意一點(diǎn)，若，若、、、四點(diǎn)共面，則（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】利用空間向量共面基本定理的推論可求出的值.【詳解】空間向量共面基本定理的推論：，且、、不共線，若、、、四點(diǎn)共面，則，因?yàn)榭臻g任意一點(diǎn)，若，且、、、四點(diǎn)共面， 所以，，解得.故選：C.6.函數(shù)圖象連續(xù)的函數(shù)在區(qū)間上（）A.一定存在極小值B.一定存在極大值C.一定存在最大值D.極小值一定比極大值小【答案】C【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)最值和極值的定義即可得解.【詳解】由函數(shù)的最值與極值的概念可知在上一定存在最大值．故選：C．7.已知，，則在上的投影向量為（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)空間向量的投影向量公式進(jìn)行求解.【詳解】，故在上的投影向量為.故選：D8.已知函數(shù)，若，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A.B.CD.【答案】B【解析】【分析】由題意的值域包含于 的值域，再分別求導(dǎo)分析函數(shù)的單調(diào)性與最值，進(jìn)而根據(jù)值域區(qū)間端點(diǎn)滿足的不等式列式求解即可.【詳解】，，令，解得，令，解得，所以上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，所以的值域?yàn)?當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，又，所以的值域?yàn)?，又，使得，所以，解得，即?shí)數(shù)的取值范圍是．故選：B．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知函數(shù)，則函數(shù)在下列區(qū)間上單調(diào)遞增的有（）A.B.C.D.【答案】AC【解析】【分析】由導(dǎo)函數(shù)大于0求出單調(diào)遞增區(qū)間，得到答案.【詳解】因?yàn)榈亩x域?yàn)镽，，令得：或，所以在區(qū)間，上單調(diào)遞增．故選：AC．10.已知空間向量，則下列說法正確的是（）A.B. C.與夾角的余弦值為D.若，則共面【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)空間向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示即可判斷ABD；根據(jù)空間向量數(shù)量積的定義計(jì)算即可判斷C.【詳解】A：，又，故A錯(cuò)誤；B：，則，故B正確；C：因?yàn)?，所以，所以，故C正確；D：因?yàn)?，故D正確.故選：BCD.11.已知函數(shù)，則下列說法正確的是（）A.的極值點(diǎn)為B.的最小值為C.有兩個(gè)零點(diǎn)D.直線是曲線的一條切線【答案】BD【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值（最值）的關(guān)系可判斷AB；結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性與函數(shù)零點(diǎn)的知識可判斷C；利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得在處的切線方程，從而得以判斷.【詳解】因?yàn)?，所以，令，得；令，得；所以在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增； 所以在處取得唯一極小值，也是的最小值，所以的極值點(diǎn)為，，故A錯(cuò)誤，B正確；因?yàn)?，結(jié)合在上的單調(diào)性，可知是在上的唯一零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，恒成立，故恒成立，所以在上沒有零點(diǎn)；綜上：只有一個(gè)零點(diǎn)，故C錯(cuò)誤；因?yàn)?，，所以在處的切線方程為，即，故D正確.故選：BD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知在一次降雨過程中，某地降雨量y（單位：）與時(shí)間t（單位：）的函數(shù)關(guān)系可近似表示為，則在時(shí)的瞬時(shí)降雨強(qiáng)度（某一時(shí)刻降雨量的瞬間變化率）為______.【答案】##【解析】【分析】將函數(shù)關(guān)于求導(dǎo)，再將代入上式的導(dǎo)函數(shù)，即可求解．【詳解】因?yàn)?，所以，，故在時(shí)的瞬時(shí)降雨強(qiáng)度（某一時(shí)刻降雨量的瞬間變化率）為.故答案為：.13.已知，則______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)結(jié)合數(shù)量積與模長的公式求解即可. 【詳解】由，有．故答案為：14.已知函數(shù)，若成立，則實(shí)數(shù)t的取值范圍為_____________．【答案】【解析】【分析】由函數(shù)解析式可知函數(shù)是奇函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)可判斷函數(shù)在上單調(diào)遞增，利用函數(shù)單調(diào)性可知等價(jià)于，解出不等式即可求得實(shí)數(shù)t的取值范圍.【詳解】由題得函數(shù)的定義域?yàn)椋驗(yàn)?，所以函?shù)是奇函數(shù)．又恒成立，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增；不等式等價(jià)于，所以，即，解得．所以實(shí)數(shù)t的取值范圍為．故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟．15.如圖，在邊長為4的正方體中，，，分別是，，的中點(diǎn)．以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系． （1）寫出，，，，五點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）求．【答案】（1），，，，（2）【解析】【分析】(1)根據(jù)點(diǎn)的位置寫出各點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)先求向量的坐標(biāo)，再結(jié)合向量的坐標(biāo)運(yùn)算公式求解.【小問1詳解】由題可知，，，，，【小問2詳解】由（1）可知，，，則，則.16.已知函數(shù)在點(diǎn)處的切線斜率為，且在處取得極值．（1）求函數(shù)的解析式；（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最值．【答案】（1）；（2），．【解析】【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義及點(diǎn)在曲線上，結(jié)合函數(shù)極值的定義即可求解；（2）利用導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)的最值的步驟即可求解.【小問1詳解】因?yàn)椋?，由題意可知，，，， 所以，解得，，，所以函數(shù)的解析式為，經(jīng)檢驗(yàn)適合題意，所以；【小問2詳解】由（1）知，令，則，解得，或，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，取的極大值為，當(dāng)時(shí)，取得極小值，又，，所以，．17.如圖，在半徑為4m的四分之一圓（O為圓心）鋁皮上截取一塊矩形材料OABC，其中點(diǎn)B在圓弧上，點(diǎn)A，C在兩半徑上，現(xiàn)將此矩形鋁皮OABC卷成一個(gè)以AB為母線的圓柱形罐子的側(cè)面（不計(jì)剪裁和拼接損耗），設(shè)矩形的邊長，圓柱的體積為V．（1）求出體積V關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并指出定義域；（2）當(dāng)x為何值時(shí)，才能使做出的圓柱形罐子的體積V最大？最大體積是多少？【答案】（1），定義域?yàn)椋?（2）當(dāng)時(shí)，圓柱形罐子的體積V最大，最大體積是【解析】【分析】（1）利用勾股定理及圓的周長公式，結(jié)合圓柱的體積公式即可求解；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論及導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)的最值的步驟即可求解【小問1詳解】在中，因?yàn)?，所以，設(shè)圓柱的底面半徑為r，則，即，所以，定義域?yàn)椤拘?詳解】由（1）得，，，令，則，解得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.當(dāng)時(shí)，圓柱形罐子的體積V最大，最大體積是18.已知函數(shù)．（1）若，證明：：（2）若，都有，求實(shí)數(shù)的取值范圍． 【答案】（1）證明見解析（2）．【解析】【分析】（1）由導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性后求最小值證明，（2）轉(zhuǎn)化為在上單調(diào)遞增，分類討論單調(diào)性后求解．【小問1詳解】證明：若，令，解得，令，解得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，故；【小問2詳解】不妨設(shè)，所以，即，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，令在上恒成立，令．當(dāng)時(shí)，在上恒成立，又，不符合題意；當(dāng)時(shí)，令，解得，令，解得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，解得，此種情況無解，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，， 在上恒成立，綜上所述，的取值范圍為．19.已知函數(shù)．（1）若恰有兩個(gè)極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若的兩個(gè)極值點(diǎn)分別為，證明:．【答案】（1）；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）由題意導(dǎo)函數(shù)在上恰有兩個(gè)不同的解，再根據(jù)二次函數(shù)的區(qū)間端點(diǎn)值，對稱軸與判別式列式求解即可；（2）根據(jù)題意可得是方程的兩個(gè)不同的根，所以再代入化簡，進(jìn)而構(gòu)造函數(shù)，再求導(dǎo)分析的單調(diào)性與最值，進(jìn)而可證明不等式.【小問1詳解】在上恰有兩個(gè)不同的解，令，所以解得，即實(shí)數(shù)的取值范圍是；【小問2詳解】證明：由（1）知是方程的兩個(gè)不同的根，所以所以，令， 令在上恒成立，所以在上單調(diào)遞減，即在上單調(diào)遞減，所以，所以在上單調(diào)遞減，所以，所以．