安徽省皖北縣中聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期3月聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷 Word版含解析.docx

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2023~2024學(xué)年第二學(xué)期安徽縣中聯(lián)盟高一3月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題考生注意：1．滿分150分，考試時(shí)間120分鐘．2．考生作答時(shí)，請(qǐng)將答案答在答題卡上．選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；非選擇題請(qǐng)用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)城內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效，在試題卷、草稿紙上作答無(wú)效．3．本卷命題范圍：人教版必修第一冊(cè)，必修第二冊(cè)第六章結(jié)束．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合集合交集的定義進(jìn)行求解即可.【詳解】由，因此，故選：B2.設(shè)向量，，則“”是“”成立的（）A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】先將等價(jià)化簡(jiǎn)為或，再判斷解題即可.【詳解】或，所以“”是“”成立的必要不充分條件.故選：B.第20頁(yè)/共20頁(yè)學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 【點(diǎn)睛】本題考查向量平行的坐標(biāo)表示、判斷是的什么條件、三角恒等變換化簡(jiǎn)，是中檔題.3.單位圓上一點(diǎn)從出發(fā)，逆時(shí)針?lè)较蜻\(yùn)動(dòng)弧長(zhǎng)到達(dá)點(diǎn)，則的坐標(biāo)為（）A.B.C.D.【答案】D【解析】分析】由題意得，從而得到，結(jié)合誘導(dǎo)公式求出答案.【詳解】點(diǎn)從出發(fā)，沿單位圓逆時(shí)針?lè)较蜻\(yùn)動(dòng)弧長(zhǎng)到達(dá)點(diǎn)，所以，?所以，?其中，，即點(diǎn)的坐標(biāo)為：．故選：D．4.《九章算術(shù)》是我國(guó)算術(shù)名著，其中有這樣的一個(gè)問(wèn)題：“今有宛田，下周三十步，徑十六步．問(wèn)為田幾何？”意思是說(shuō)：“現(xiàn)有扇形田，弧長(zhǎng)30步，直徑16步，問(wèn)面積是多少？”在此問(wèn)題中，扇形的圓心角的弧度數(shù)是（）A.B.C.D.120【答案】A【解析】【分析】根據(jù)扇形面積公式得到面積為120步，設(shè)出扇形圓心角，根據(jù)求出扇形圓心角.【詳解】因?yàn)橹睆?6步，故半徑為步，（平方步），設(shè)扇形的圓心角為，則，即．故選：A第20頁(yè)/共20頁(yè)學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 5.將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，所得函數(shù)為奇函數(shù)，則的值為（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由題意利用函數(shù)的圖象變換規(guī)律，三角函數(shù)的奇偶性，的取值范圍，進(jìn)而即可求得的值．【詳解】由將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，所得函數(shù)為為奇函數(shù)，則，得，又，則，，故選：B．6.已知函數(shù)，若，，，則（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意，先判斷函數(shù)的奇偶性和在上的單調(diào)性，再利用誘導(dǎo)公式，結(jié)合正切函數(shù)的單調(diào)性，即可求解.【詳解】由函數(shù)，因?yàn)?，所以函?shù)為偶函數(shù)，令，其在上為單調(diào)遞增函數(shù)，因?yàn)樵谏蠟閱握{(diào)遞減函數(shù)，第20頁(yè)/共20頁(yè)學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 所以函數(shù)在上單調(diào)遞減函數(shù)，令在上為單調(diào)遞增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，可得且，根據(jù)對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)，可得函數(shù)在上為單調(diào)遞增函數(shù)，所以函數(shù)在上為單調(diào)遞減函數(shù)，所以函數(shù)在上為單調(diào)遞減函數(shù)，又由，，，根據(jù)單位圓圖形易知，則，所以.故選：A.7.在矩形ABCD中，，，點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F在邊CD上，若，則的值為（）A.B.1C.2D.【答案】C【解析】【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)表示向量的數(shù)量積，求出點(diǎn)，在計(jì)算結(jié)果即可.【詳解】建立平面直角坐標(biāo)系如圖所示：由題意可知，，第20頁(yè)/共20頁(yè)學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 設(shè)，則，由，可得，所以，又，所以，故選：C.8.克羅狄斯·托勒密是希臘數(shù)學(xué)家，他博學(xué)多才，既是天文學(xué)權(quán)威，也是地理學(xué)大師．托勒密定理是平面幾何中非常著名的定理，它揭示了圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角線與邊長(zhǎng)的內(nèi)在聯(lián)系，該定理的內(nèi)容為圓的內(nèi)接四邊形中，兩對(duì)角線長(zhǎng)的乘積等于兩組對(duì)邊長(zhǎng)乘積之和．已知四邊形是圓的內(nèi)接四邊形，且，．若，則圓的半徑為（）A.4B.2C.D.【答案】B【解析】【分析】由托勒密定理求出，設(shè)圓的半徑為，由正弦定理可得，即可得到，再根據(jù)及二倍角公式求出，即可求出，從而得解.【詳解】解：由托勒密定理，得．因?yàn)?，所以．設(shè)圓的半徑為，由正弦定理，得．又，所以．因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，所以，?0頁(yè)/共20頁(yè)學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 所以，則，故．故選：B二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.下列關(guān)系式成立的有（）A.B.C.D.【答案】BC【解析】【分析】由正弦函數(shù)的值域可得A錯(cuò)誤；由誘導(dǎo)公式可得B錯(cuò)誤；由同角的三角函數(shù)關(guān)系可得C正確；由三角函數(shù)的值域可得D錯(cuò)誤.【詳解】A：由正弦函數(shù)的值域可得，故A錯(cuò)誤；B：由誘導(dǎo)公式可知，故B正確；C：因?yàn)椋?，故C正確；D：因，所以，故D錯(cuò)誤；故選：BC.10.已知函數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（）A.是偶函數(shù)B.若恒成立，則的最大值為C.在上共有6個(gè)解D.在上單調(diào)遞增【答案】ACD【解析】【分析】利用奇偶性定義判斷可判斷A；求出的值域可判斷B；由可得，再根據(jù)的范圍求解可判斷C；根據(jù)符合函數(shù)的單調(diào)性可判斷D.【詳解】對(duì)于A，，，所以是偶函數(shù)，故A正確；第20頁(yè)/共20頁(yè)學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 對(duì)于B，時(shí)，，可得，若恒成立，則的最大值為，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若，則，可得，時(shí)，可得，即，由可得，所以在上共有6個(gè)解，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，故D正確.故選：ACD.11.點(diǎn)O為所在平面內(nèi)一點(diǎn)，則（）A.若，則點(diǎn)O為的重心B.若，則點(diǎn)O為的內(nèi)心C.若，則點(diǎn)O為的垂心D.在中，設(shè)，那么動(dòng)點(diǎn)O的軌跡必通過(guò)的外心【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)題意，結(jié)合平面向量的線性運(yùn)算法則，結(jié)合三角形的重心、內(nèi)心、垂心和外心的性質(zhì)，逐項(xiàng)判定，即可求解.【詳解】對(duì)于A中，由點(diǎn)O為所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且，可得，則以為鄰邊作平行四邊形，可得，且，設(shè)，根據(jù)平行四邊形法則，可得為的中點(diǎn)，即為上的中線，同理可證：延長(zhǎng)也過(guò)的中點(diǎn)，所以為的重心，所以A正確；第20頁(yè)/共20頁(yè)學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 對(duì)于B中，由向量表示方向的單位向量，表示方向的單位向量，可得四邊形是菱形，則，因?yàn)椋?，即，即和共線，即是的角平分線，同理可得是的角平分線，即是的內(nèi)心，所以B正確.對(duì)于C中，如圖所示，取分別為的中點(diǎn)，根據(jù)向量的平行四邊形法則，可得，因?yàn)椋傻?，所以，所以點(diǎn)在線段的垂直平分線上，所以點(diǎn)為的外心，所以C不正確；對(duì)于D中，由,第20頁(yè)/共20頁(yè)學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 因?yàn)?，可得，即，設(shè)為的中點(diǎn)，可得，所以，即，且為的中點(diǎn)，所以動(dòng)點(diǎn)O的軌跡必通過(guò)的外心，所以D正確.故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.在中，點(diǎn)P在BC上，且，點(diǎn)Q是AC的中點(diǎn)，若，，則______，______．【答案】①.②.【解析】【分析】根據(jù)題意，結(jié)合和，利用向量的運(yùn)算法則，即可求解.【詳解】由向量，，在中，可得；在中，可得，又因?yàn)椋傻?故答案為：；.13.設(shè)a，b為正實(shí)數(shù)，且滿足，則的最小值是______．【答案】1【解析】第20頁(yè)/共20頁(yè)學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 【分析】將所求因式通分后利用基本不等式計(jì)算即可.【詳解】，①因?yàn)閍，b為正實(shí)數(shù)，且滿足，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以，所以①.故答案為：1.14.窗，古時(shí)亦稱為牖，它伴隨著建筑的起源而出現(xiàn)，在中國(guó)建筑文化中是一種獨(dú)具文化意蘊(yùn)和審美魅力的重要建筑構(gòu)件．如圖是某古代建筑群的窗戶設(shè)計(jì)圖，窗戶的輪廓ABCD是邊長(zhǎng)為50cm的正方形，它是由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)邊長(zhǎng)為10cm的小正方形EFGH拼接而成，則______．【答案】【解析】【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)與軸正方向的夾角為，表示出點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)三點(diǎn)共線，得到，即可求出，再根據(jù)平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算計(jì)算可得；【詳解】根據(jù)正方形的對(duì)稱性，設(shè)其中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，如圖建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)與軸正方向的夾角為，則，即，所以，因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以，即第20頁(yè)/共20頁(yè)學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 ，解得，所以，所以，所以，又為銳角，所以，所以；故答案：四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15.已知.（1）若是第一象限角，求的值；（2）求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先化簡(jiǎn)，再利用平方關(guān)系和商關(guān)系可求的值；（2）先利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)，再利用齊次式和正切值可得答案.【小問(wèn)1詳解】第20頁(yè)/共20頁(yè)學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 因?yàn)?，所以，又，所以，因?yàn)槭堑谝幌笙藿?，所?【小問(wèn)2詳解】.16.已知向量，，，，（1）若，求的值；（2）若，，，求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由向量平行的充要條件結(jié)合特殊三角函數(shù)值計(jì)算可得；（2）由向量垂直的充要條件結(jié)合三角函數(shù)值得到，再由向量的數(shù)量積和同角的三角函數(shù)關(guān)系得到的正余弦，最后結(jié)合角度關(guān)系和正弦展開(kāi)式得到結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】∵，，∴，（顯然，否則與矛盾）∴．∵，∴．【小問(wèn)2詳解】第20頁(yè)/共20頁(yè)學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 ∵，，∴，（顯然，否則與矛盾）∴．∵，∴．∵且，∴．∵，∴，∴．∴．17.給出以下三個(gè)條件：①直線，是函數(shù)圖象的任意兩條對(duì)稱軸，且的最小值為，②，③對(duì)任意的，．請(qǐng)從這三個(gè)條件中任選一個(gè)將下面的題目補(bǔ)充完整，并求解．已知函數(shù)，，______．（1）求的表達(dá)式；（2）將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位后，再將得到的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖象，若關(guān)于的方程在區(qū)間上有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）先進(jìn)行三角恒等變換求出，再分別選三個(gè)條件，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)，分別求解，即可得出函數(shù)解析式；第20頁(yè)/共20頁(yè)學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 （2）首先根據(jù)三角函數(shù)的變換規(guī)律得到解析式，再由正弦函數(shù)的性質(zhì)求出在區(qū)間上的單調(diào)性，求出區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值，依題意函數(shù)的圖象與直線在區(qū)間上有且只有一個(gè)交點(diǎn)，即可求出參數(shù)的取值范圍.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，若選條件①，直線，是函數(shù)圖象的任意兩條對(duì)稱軸，且的最小值為，則，解得，則；若選條件②，則，則，，因此，，又，所以，則，若選條件③，對(duì)任意的，，則有，，解得，，又，所以當(dāng)時(shí)，則．【小問(wèn)2詳解】將函數(shù)圖象向右平移個(gè)單位得到，再將的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的倍，縱坐標(biāo)不變，得到第20頁(yè)/共20頁(yè)學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 ．由，，解得，，即函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，，又，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，則在上單調(diào)遞減；因?yàn)?，，，因?yàn)殛P(guān)于的方程在區(qū)間上有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)解，所以函數(shù)的圖象與直線在區(qū)間上有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則或.18.在中，已知，，，AC邊上的中線為BN，M為BC邊上靠近B的四等分點(diǎn)，連接AM交BN于點(diǎn)P．（1）用與表示，并計(jì)算AM的長(zhǎng)；（2）求∠NPM的余弦值．【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）方法一：根據(jù)平面向量線性運(yùn)算與表示，并利用數(shù)量積運(yùn)算求第20頁(yè)/共20頁(yè)學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 的模；方法二：以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，利用平面向量坐標(biāo)運(yùn)算求的模；（2）方法一：根據(jù)平面向量線性運(yùn)算與表示，再利用平面向量夾角公式求解；方法二：利用平面向量坐標(biāo)運(yùn)算夾角.【小問(wèn)1詳解】方法一：M為BC邊上靠近B的四等分點(diǎn)，∴．∵，∴，；∵，，，∴，∴，∴．方法二：以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，可得，，，∵AC邊上的中線為BN，∴，∵M(jìn)為BC邊上靠近B的四等分點(diǎn)，可得．設(shè)，代入坐標(biāo)可解得，且有．【小問(wèn)2詳解】方法一：∠NPM為向量與的夾角，所以，∵AC邊上的中線為BN，∴，第20頁(yè)/共20頁(yè)學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 ∴，∴．∵，，∴，∴．方法二：∠NPM為向量與的夾角，所以，，，，，19.如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，P，Q分別為邊BC，CD上的點(diǎn)，且；（1）求∠PAQ的大??；（2）求面積的最小值；（3）某同學(xué)在探求過(guò)程中發(fā)現(xiàn)PQ的長(zhǎng)也有最小值，結(jié)合（2）他猜想“中PQ邊上的高為定值”，他的猜想對(duì)嗎?請(qǐng)說(shuō)明理由．第20頁(yè)/共20頁(yè)學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 【答案】（1）（2）（3）該同學(xué)猜想正確，理由見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）解法一首先由向量的平行四邊形定則和向量的數(shù)量積得到，再由三角函數(shù)的定義得到，，最后再結(jié)合正切函數(shù)的誘導(dǎo)公式得到；方法二設(shè)，，由向量夾角的定義得到，在中再結(jié)合勾股定理和三角函數(shù)值求出；（2）由三角形的面積公式得到，再角度關(guān)系和二倍角公式及結(jié)合正弦函數(shù)的最值化簡(jiǎn)可得；（3）由三角形的面積公式得到，再由向量夾角的定義結(jié)合三角函數(shù)值得到，求出結(jié)果即可.【小問(wèn)1詳解】記，，則．（1）解法一：∵，∴，∴，∴，∵正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，∴，，在中，，，由，則，第20頁(yè)/共20頁(yè)學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 ∴，．∵，∴．解法二：．設(shè)，，則．在中，，即，．∵，∴．【小問(wèn)2詳解】，．∴，∵，∴．∵，∴當(dāng)時(shí)，面積的最小值為．【小問(wèn)3詳解】設(shè)中PQ邊上的高為h，由，得，．又∵，∴，且，∴，第20頁(yè)/共20頁(yè)學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 ∴，即為定值，該同學(xué)猜想正確.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：（1）在求三角形面積時(shí)除了常規(guī)公式外可用公式；（2）在已知角的正弦或余弦值求其余弦或正弦時(shí)，可用配湊法結(jié)合三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式比較簡(jiǎn)便.第20頁(yè)/共20頁(yè)學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司