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《5.1定積分的概念與性質(zhì)5.2微積分學(xué)基本定理5.3定積分的積》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫。
1、5.1定積分的概念與性質(zhì)5.2微積分學(xué)基本定理5.3定積分的積分法5.4廣義積分第5章定積分結(jié)束5.1.1引入定積分概念的實例引例1曲邊梯形的面積:如圖,由連續(xù)曲線y=f(x)，直線x=a，x=b及x軸圍成的圖形稱為曲邊梯形.下面我們求曲邊梯形的面積(1)分割在(a,b)內(nèi)插入n–1個分點把區(qū)間[a,b]分成n個小區(qū)間記每一個小區(qū)間的長度為abx5.1定積分的概念與性質(zhì)(2)近似表示第i個小曲邊梯形的面積,在小區(qū)間內(nèi)任取一點,過點作x軸的垂線與曲線交于點,以為底,為高做矩形,以此矩形做為小曲邊梯形面積的近似值,則a(3)
2、求和將所有矩形面積求和過每個分點xi(i=1,2,…,n)作y軸的平行線，將曲邊梯形分割成n個小曲邊梯形.(4)取極限記為所有小區(qū)間中長度的最大者,即,當(dāng)時,總和的極限就是曲邊梯形面積A,即解(1)分割引例2變力做功在插入n個分點則即是曲邊梯形面積的近似值.將閉區(qū)間[a,b]分成n個小區(qū)間:小區(qū)間的長度(2)近似在每一個小區(qū)間上任取一點,把做為質(zhì)點在小區(qū)間上受力的近似值,于是,力F在小區(qū)間上對質(zhì)點所做的功的近似值為(3)求和把各小區(qū)間上力F所做的功的近似值加起來,即得到在區(qū)間上所做功的近似值,即(4)取極限把所有小區(qū)間的
3、最大長度記為,即,則當(dāng)時,和式的極限即為變力在區(qū)間上對質(zhì)點所做的功,即5.1.2定積分的概念定義定積分(簡稱積分)其中f(x)叫做被積函數(shù)，f(x)dx叫做被積表達(dá)式，x叫做積分變量，a叫做積分下限，b叫做積分上限，[a,b]叫做積分區(qū)間.根據(jù)定積分的定義，前面所討論的兩個引例就可以用定積分概念來描述：曲線、x軸及兩條直線x=a,x=b所圍成的曲邊梯形面積A等于函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的定積分，即如果函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的定積分存在，則稱函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上可積.質(zhì)點在變力F(s)作用下作直線運
4、動，由起始位置a移動到b，變力對質(zhì)點所做之功等于函數(shù)F(s)在[a,b]上的定積分，即可以證明:若函數(shù)f(x)在在區(qū)間[a,b]上連續(xù),或只有有限個第一類間斷點,則f(x)在在區(qū)間[a,b]上可積.關(guān)于定積分的概念，還應(yīng)注意兩點:(1)定積分是積分和式的極限，是一個數(shù)值，定積分值只與被積函數(shù)f(x)及積分區(qū)間[a,b]有關(guān)，而與積分變量的記法無關(guān).即有(2)在定積分的定義中，總假設(shè)，為了今后的使用方便，對于時作如下規(guī)定：如果在[a,b]上，此時由曲線y=f(x)，直線x=a，x=b及x軸所圍成的曲邊梯形位于x軸的下方，則
5、定積分在幾何上表示上述曲邊梯形的面積A的相反數(shù).5.1.3定積分的幾何意義：如果在[a,b]上，則在幾何上表示由曲線y=f(x)，直線x=a，x=b及x軸所圍成的曲邊梯形的面積.axbaxb如果在[a,b]上f(x)既可取正值又可取負(fù)值，則定積分在幾何上表示介于曲線y=f(x)，直線x=a，x=b及x軸之間的各部分面積的代數(shù)和.xy=f(x)aboyA4A3A2A1性質(zhì)1兩個函數(shù)代數(shù)和的定積分等于它們定積分的代數(shù)和，即5.1.4定積分的基本性質(zhì)設(shè)下面函數(shù)f(x)，fi(x)，g(x)在[a,b]上可積.推論有限個函數(shù)的代
6、數(shù)和的定積分等于各函數(shù)的定積分的代數(shù)和，即如果積分區(qū)間[a,b]被分點c分成區(qū)間[a,c]和[c,b],則性質(zhì)3性質(zhì)3表明定積分對積分區(qū)間具有可加性，這個性質(zhì)可以用于求分段函數(shù)的定積分.當(dāng)c在區(qū)間[a,b]之外時，上面表達(dá)式也成立.性質(zhì)2被積函數(shù)的常數(shù)因子可以提到積分號外.利用定積分的幾何意義，可分別求出例1解性質(zhì)4性質(zhì)5推論1推論2性質(zhì)6(估值定理)證明例2解性質(zhì)7(定積分中值定理)如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則在積分區(qū)間[a,b]上至少存在一個點，使下式成立證明因為函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，
7、根據(jù)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的最大值和最小值定理，f(x)在[a,b]上一定有最大值M和最小值m，由定積分的性質(zhì)6，有即數(shù)值介于f(x)在[a,b]上的最大值M和最小值m之間.根據(jù)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的介值定理,至少存在一點,使得即性質(zhì)7的幾何意義：在上至少存在一點,使得曲邊梯形的面積等于同一底邊而高為的矩形的面積.如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，我們稱為函數(shù)f(x)在[a,b]上的平均值.如已知某地某時自0至24時天氣溫度曲線為f(t),t為時間，則表示該地、該日的平均氣溫.如已知某河流在某處截面上各點的水深為h(x),
8、(a為河流在該截面處水面之寬度)，則該河流在該截面處的平均水深為.5.2.1變上限積分與對積分上限變量求導(dǎo)數(shù)設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則對于任意的x()，積分存在，且對于給定的x()就有一個積分值與之對應(yīng)，所以上限為變量的積分是上限x的函數(shù).注意：積分上限x與被積表達(dá)式f(x)dx中的積分變量x是兩個不同
