分?jǐn)?shù)階微分方程_課件

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1、分?jǐn)?shù)階微分方程第三講分?jǐn)?shù)階微分方程基本理論一、分?jǐn)?shù)階微分方程的出現(xiàn)背景及研究現(xiàn)狀1、出現(xiàn)背景分?jǐn)?shù)階微積分是關(guān)于任意階微分和積分的理論，它與整數(shù)階微積分是統(tǒng)一的，是整數(shù)階微積分的推廣。整數(shù)階微積分作為描述經(jīng)典物理及相關(guān)學(xué)科理論的解析數(shù)學(xué)工具已為人們普遍接受，很多問題的數(shù)學(xué)模型最終都可以歸結(jié)為整數(shù)階微分方程的定解問題，其無論在理論分析還是數(shù)值求解方面都已有較完善的理論。但當(dāng)人們進(jìn)入到復(fù)雜系統(tǒng)和復(fù)雜現(xiàn)象的研究時(shí)，經(jīng)典整數(shù)階微積分方程對(duì)這些系統(tǒng)的描述將遇到以下問題：（1）需要構(gòu)造非線性方程，并引入一些人為的經(jīng)驗(yàn)參數(shù)和與實(shí)際不符的假設(shè)條件；（2）因材料或外界條件的微小改變就需要構(gòu)造新的

2、模型；（3）這些非線性模型無論是理論求解還是數(shù)值求解都非常繁瑣?；谝陨显颍藗兤惹衅诖幸环N可用的數(shù)學(xué)工具和可依據(jù)的基本原理來對(duì)這些復(fù)雜系統(tǒng)進(jìn)行建模。分?jǐn)?shù)階微積分方程非常適合于刻畫具有記憶和遺傳性質(zhì)的材料和過程，其對(duì)復(fù)雜系統(tǒng)的描述具有建模簡(jiǎn)單、參數(shù)物理意義清楚、描述準(zhǔn)確等優(yōu)勢(shì)，因而成為復(fù)雜力學(xué)與物理過程數(shù)學(xué)建模的重要工具之一。2、研究現(xiàn)狀在近三個(gè)世紀(jì)里，對(duì)分?jǐn)?shù)階微積分理論的研究主要在數(shù)學(xué)的純理論領(lǐng)域里進(jìn)行，似乎它只對(duì)數(shù)學(xué)家們有用。然而在近幾十年來，分?jǐn)?shù)階微分方程越來越多的被用來描述光學(xué)和熱學(xué)系統(tǒng)、流變學(xué)及材料和力學(xué)系統(tǒng)、信號(hào)處理和系統(tǒng)識(shí)別、控制和機(jī)器人及其他應(yīng)用領(lǐng)域中的

3、問題。分?jǐn)?shù)階微積分理論也受到越來越多的國內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注，特別是從實(shí)際問題抽象出來的分?jǐn)?shù)階微分方程成為很多數(shù)學(xué)工作者的研究熱點(diǎn)。隨著分?jǐn)?shù)階微分方程在越來越多的科學(xué)領(lǐng)域里出現(xiàn)，無論對(duì)分?jǐn)?shù)階微分方程的理論分析還是數(shù)值計(jì)算的研究都顯得尤為迫切。然而由于分?jǐn)?shù)階微分是擬微分算子，它的保記憶性（非局部性）對(duì)現(xiàn)實(shí)問題進(jìn)行了優(yōu)美刻畫的同時(shí)，也給我們的分析和計(jì)算造成很大困難。在理論研究方面，幾乎所有結(jié)果全都假定了滿足李氏條件，而且證明方法也和經(jīng)典微積分方程一樣，換句話說，這些工作基本上可以說只是經(jīng)典微積分方程理論的一個(gè)延拓。對(duì)分?jǐn)?shù)階微分方程的定性分析很少有系統(tǒng)性的結(jié)果，大多只是給出了一些非常

4、特殊的方程的求解，且常用的求解方法都是具有局限性的。在數(shù)值求解方面，現(xiàn)有分?jǐn)?shù)階方程數(shù)值算法還很不成熟，主要表現(xiàn)為：（1）在數(shù)值計(jì)算中一些挑戰(zhàn)性難題仍未得到徹底解決，如長(zhǎng)時(shí)間歷程的計(jì)算和大空間域的計(jì)算等；（2）成熟的數(shù)值算法比較少，現(xiàn)在研究較多的算法主要集中在有限差分方法與有限單元法；（3）未形成成熟的數(shù)值計(jì)算軟件，嚴(yán)重滯后于應(yīng)用的需要。鑒于此，發(fā)展新數(shù)值算法，特別是在保證計(jì)算可靠性和精度的前提下，提高計(jì)算效率，解決分?jǐn)?shù)階微分方程計(jì)算量和存儲(chǔ)量過大的難點(diǎn)問題，發(fā)展相應(yīng)的計(jì)算力學(xué)應(yīng)用軟件成為迫切需要關(guān)注的課題。一、預(yù)備知識(shí)1、分?jǐn)?shù)階微積分經(jīng)典定義回顧作為分?jǐn)?shù)階微積分方程的基礎(chǔ)，本

5、書在第二章中對(duì)分?jǐn)?shù)階微積分的定義及性質(zhì)做了系統(tǒng)的介紹，為了接下來討論的需要，我們首先對(duì)其進(jìn)行一個(gè)簡(jiǎn)要的回顧。（1）分?jǐn)?shù)階微積分的主要思想如上圖所示，分?jǐn)?shù)階微積分的主要思想是推廣經(jīng)典的整數(shù)階微積分，從而將微積分的概念延拓到整個(gè)實(shí)數(shù)軸，甚至是整個(gè)復(fù)平面。但由于延拓的方法多種多樣，因而根據(jù)不同的需求人們給出了分?jǐn)?shù)階微積分的不同定義方式。然而這些定義方式不僅只能針對(duì)某些特定條件下的函數(shù)給出，而且只能滿足人們的某些特定需求，迄今為止，人們?nèi)匀粵]能給出分?jǐn)?shù)階微積分的一個(gè)統(tǒng)一的定義,這對(duì)分?jǐn)?shù)階微積分的研究與應(yīng)用造成了一定的困難。（2）幾種經(jīng)典的分?jǐn)?shù)階微積分定義下面我們?cè)噲D從理論依據(jù)、定義域

6、、表達(dá)式和優(yōu)缺點(diǎn)幾個(gè)方面給出常見的四種分?jǐn)?shù)階微積分定義的比較圖。從上圖我們看到，在分?jǐn)?shù)階微積分的發(fā)展過程中，人們根據(jù)不同的需求，從不同角度給出了分?jǐn)?shù)階微積分的定義，但這些定義無論從對(duì)象上還是從表達(dá)式上都無法實(shí)現(xiàn)統(tǒng)一，它們之間的關(guān)系大致可以用下圖來表示。注：條件1：在上逐段連續(xù)，且在任何有限子區(qū)間上可積；條件2：在上具有階連續(xù)導(dǎo)數(shù)；條件3：，；條件4：，。由上圖我們可以看到，對(duì)于不同的分?jǐn)?shù)階微積分定義方式有著不同定義域，即便是在公共區(qū)域內(nèi)，不同的定義方式之間也無法實(shí)現(xiàn)完全的統(tǒng)一，這對(duì)分?jǐn)?shù)階微積分的應(yīng)用和研究造成了一定的困難，因此人們迫切期望著分?jǐn)?shù)階微積分的一種哪怕是形式上的統(tǒng)一

7、定義方式。1、M-R序列分?jǐn)?shù)階微分的定義為了滿足實(shí)際需要，下面我們?cè)噲D從形式上對(duì)分?jǐn)?shù)階微積分給出一種統(tǒng)一的表達(dá)式。分?jǐn)?shù)階微積分的主要思想是推廣經(jīng)典的累次微積分，所有推廣方法的共同目標(biāo)是以非整數(shù)參數(shù)取代經(jīng)典微積分符號(hào)中的整數(shù)參數(shù)，即：實(shí)際上，任意的階微分都可以看成是一列一階微分的疊加：（1）由此，我們可以給出一種在很多實(shí)際應(yīng)用中十分重要的分?jǐn)?shù)階微積分的推廣方式。首先，我們假設(shè)已有一種合適的推廣方式來將一階微分推廣為（）階微分，即是可實(shí)現(xiàn)的。那么類似地可得到（1）的推廣式為：（2）這種推廣方式最初是由和提出