34-6勞斯穩(wěn)定判據(jù)

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1、§3控制系統(tǒng)的時(shí)域分析§3.7控制系統(tǒng)的穩(wěn)定誤差§3.1典型的試驗(yàn)信號(hào)§3.2一階系統(tǒng)的時(shí)域響應(yīng)§3.3二階系統(tǒng)的時(shí)域響應(yīng)§3.4高階系統(tǒng)的時(shí)域響應(yīng)§3.5線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定性§3.6勞斯穩(wěn)定判據(jù)課程回顧§3.6勞斯穩(wěn)定判據(jù)于是便提出這樣一個(gè)問題,能否不用直接求特征根的方法,而根據(jù)特征方程式(即高次代數(shù)方程)根與系數(shù)的關(guān)系去判別系統(tǒng)的特征根是否全部具有負(fù)實(shí)部的間接方法來分析控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性??刂葡到y(tǒng)穩(wěn)定的條件是其特征根均需具有負(fù)實(shí)部。因此判別系統(tǒng)穩(wěn)定與否,就變成求解特征方程的根并校驗(yàn)其特征根是否

2、都具有負(fù)實(shí)部的問題。但是當(dāng)系統(tǒng)階次高于3時(shí),在一般情況下,求解其特征方程將會(huì)遇到較大的困難。因此,通過直接求解特征方程,并按求得的特征根分析系統(tǒng)穩(wěn)定性的方法是極不方便的。勞斯穩(wěn)定判據(jù)就是這樣一種勿須求解特征方程,而通過特征方程的系數(shù)分析控制系統(tǒng)穩(wěn)定性的間接方法。設(shè)系統(tǒng)的特征方程式為將上式中的各項(xiàng)系數(shù),按下面的格式排成勞斯表勞斯表第一列元素均大于零時(shí)系統(tǒng)穩(wěn)定,否則系統(tǒng)不穩(wěn)定且第一列元素符號(hào)改變的次數(shù)就是特征方程中正實(shí)部根的個(gè)數(shù)(1)勞斯(Routh)判據(jù)1)如果勞斯表中第一列的系數(shù)均為正值,則其特

3、征方程式的根在s平面的左半平面,相應(yīng)的系統(tǒng)是穩(wěn)定的。用同樣的方法,求取表中其余行的系數(shù),一直到第n+1行排完為止。勞斯穩(wěn)定判據(jù)是根據(jù)所列勞斯表第一列系數(shù)符號(hào)的變換,去判別特征方程式的根在s平面上的具體分布,其結(jié)論是:2)如果勞斯表中第一列系數(shù)的符號(hào)有變化,其變化的次數(shù)等于該特征方程式的根在s平面的右半平面上的個(gè)數(shù),相應(yīng)的系統(tǒng)是不穩(wěn)定的?!?.6勞斯穩(wěn)定判據(jù)例1:已知一調(diào)速系統(tǒng)的特征方程式為試用勞斯判據(jù)判別該系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解列勞斯表由于該表第一列系數(shù)的符號(hào)變化了兩次,所以該方程中有兩個(gè)根在s的右半

4、平面,因而系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。試用勞斯判據(jù)判別該系統(tǒng)的穩(wěn)定性。例2:D(s)=s4+5s3+7s2+2s+10=0s4s3s2s1s0解:列勞斯表171052勞斯表第一列元素變號(hào)2次,有2個(gè)正根,系統(tǒng)不穩(wěn)定。1010(2)勞斯判據(jù)特殊情況處理s3s2s1s0解:列勞斯表1-3e2勞斯表第一列元素變號(hào)2次,有2個(gè)正根,系統(tǒng)不穩(wěn)定。0例3:D(s)=s3-3s+2=0,判定在右半s平面的極點(diǎn)數(shù)。若某行第一列元素為0,而該行元素不全為0時(shí):將此0改為,繼續(xù)運(yùn)算。2例4:(2)勞斯判據(jù)特殊情況處理解:列勞斯

5、表勞斯表的某一行中,所有元都等于零如果在勞斯表的某一行中,所有元都等于0,則表明方程有一些大小相等且對(duì)稱于原點(diǎn)的根。在這種情況下,可利用全0行的上一行各元構(gòu)造一個(gè)輔助多項(xiàng)式(稱為輔助方程)。以輔助方程的導(dǎo)函數(shù)的系數(shù)代替勞斯表的這個(gè)全0行,然后繼續(xù)計(jì)算下去。這些大小相等而關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的根也可以通過求解這個(gè)輔助方程得出。(2)勞斯判據(jù)特殊情況處理解:列勞斯表1123532025s5s4s3s2s1s05250010250列輔助方程:例5:D(s)=s5+3s4+12s3+20s2+35s+25=0出

6、現(xiàn)全零行時(shí),系統(tǒng)可能出現(xiàn)一對(duì)純虛根;或一對(duì)符號(hào)相反的實(shí)根;或?qū)嵅颗c虛部分別等值且反號(hào)的的共軛復(fù)根。出現(xiàn)全零行時(shí):用上一行元素組成輔助方程,將其對(duì)S求導(dǎo)一次,用新方程的系數(shù)代替全零行系數(shù),之后繼續(xù)運(yùn)算。解:列勞斯表10-120-2s5s4s3s2s1s00-216/e08-20列輔助方程:例6:D(s)=s5+2s4-s-2=0e第一列元素變號(hào)一次,有一個(gè)正根,系統(tǒng)不穩(wěn)定=(s+2)(s+1)(s-1)(s+j)(s-j)應(yīng)用Routh判據(jù)分別研究一階、二階和三階微分方程容易得到以下的簡單結(jié)論:(

7、1)一階和二階系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是:特征方程所有系數(shù)均為正。(2)三階系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是:特征方程所有系數(shù)均為正,且勞斯穩(wěn)定判據(jù)是根據(jù)所列勞斯表第一列系數(shù)符號(hào)的變化判別特征方程式的根在s平面上的具體分布,其結(jié)論是:2)如果勞斯表中第一列系數(shù)的符號(hào)有變化,其變化的次數(shù)等于該特征方程式的根在s平面的右半平面上的個(gè)數(shù),相應(yīng)的系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。1)如果勞斯表中第一列的系數(shù)均為正值,則其特征方程式的根在s平面的左半平面,相應(yīng)的系統(tǒng)是穩(wěn)定的。§3.6勞斯穩(wěn)定判據(jù)例7:-s2-5s-6=0穩(wěn)定嗎?§3

8、.6勞斯穩(wěn)定判據(jù)例8:設(shè)系統(tǒng)特征方程為:s4+5s3+7s2+5s+6=0勞斯表s0s1s2s3s451756116601勞斯表何時(shí)會(huì)出現(xiàn)零行?2出現(xiàn)零行怎么辦?3如何求對(duì)稱的根?②由零行的上一行構(gòu)成輔助方程:s2+1=0對(duì)其求導(dǎo)得零行系數(shù):2s1211繼續(xù)計(jì)算勞斯表1第一列全大于零,所以系統(tǒng)穩(wěn)定錯(cuò)啦!!!勞斯表出現(xiàn)零行系統(tǒng)一定不穩(wěn)定求解輔助方程得:s1,2=±j由綜合除法可得另兩個(gè)根為s3,4=-2,-3①有大小相等符號(hào)相反的特征根時(shí)會(huì)出現(xiàn)零行應(yīng)用勞斯判據(jù)不僅可以判別系統(tǒng)穩(wěn)定性,即系統(tǒng)的絕對(duì)穩(wěn)

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