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《剛體運動微分方程與剛體靜力學》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關內容在教育資源-天天文庫。
1、§5剛體運動微分方程與剛體靜力學上次課我們討論了作用在剛體上的力的性質和一般力系的簡化問題。說明了作用在剛體上的力系可以簡化成一個力和一個力偶。這一結論很重要，它是建立剛體運動微分方程和靜力學方程的重要根據(jù)之一。另外，在空間自由運動的剛體，總可以分解為隨質心的平動和繞質心的轉動。所以自由剛體有三個描寫質心平動的自由度和三個繞質心轉動的自由度，共有6個自由度。既然剛體在空間有6個自由度，那么剛體的運動規(guī)律就需要用6個獨立方程來描寫。我們上一章得到的質心運動定理剛好可以確定剛體的質心運動，而動量矩定理又可確定剛體繞質心的轉動。這樣的兩個定理是兩個矢量方程，兩個矢量方程分解后正
2、好有六個獨立的標量方程式。因此，這兩個定理就完全確定了剛體的運動。于是我們根據(jù)①作用在剛體上的力系可以化成一力和一力偶，和②剛體有三個質心自由度，三個繞質心的自由度，以及③質心運動定理和動量矩定理這三個依據(jù)可以建立。一、剛體運動微分方程：1、由質心運動定理：m=F是主矢，描寫剛體質心的三個標量運動微分方程為2、對質心的動量矩定理：可得描寫剛體繞質心轉動的三個標量微分方程為：[要注意這里的都是相對質心的量]，這里的MX,’、My/、和MZ/是作用在剛體上的所有外力對質心的主矩在三坐標軸x、y、z上的分量。顯然六個自由度，六個獨立方程，恰好可以確定剛體的運動規(guī)律，因此這兩組方
3、程是研究剛體動力學規(guī)律的基本微分方程，也叫做剛體動力學方程。上面描述剛體轉動情況的第二組方程是根據(jù)質點組的質心動量矩定理得到的。此外，我們根據(jù)質點組對固定點的動量矩定理，也可以得到剛體相對固定坐標系中固定點O的動量矩定理：這里的、和都是相對固定點O的量，例如是剛體相對固定點O的動量矩，是力的作用點相對固定點的位矢，所以這里的是所有外力對固定點的力矩的矢量和，也叫做作用在剛體上的外力對固定點O的主矩。由此可見，質點組的一些基本定理對剛體同樣適用。上面給出的兩組方程，是研究剛體動力學規(guī)律的基本方程，除此之外，我們也可以應用動能定理，把動能定理作為一個輔助方程，來代替上面這六個
4、方程式中的任意一個。3、輔助方程：，我們知道這個方程就是上章推出的質點組的動能定理，它對剛體適用嗎？當然是適用的。只是剛體是一種特殊的質點組，對剛體這個特殊的質點組來說，內力所作元功之和必等于零，這個結論我們已在上章證明過的，所以將質點組的動能定理應用于剛體時應該是即表明剛體動能的增量就等于剛體在運動過程中諸外力所作元功之和。另外還可以看出，如果作用在剛體上的力系為保守力系的話，那么由這條剛體動能定理馬上就可得到它的能量積分，這個能量積分也就是剛體的機械能守恒定律：T+V=E。一、剛體靜力學：1、剛體的平衡方程；由于剛體靜力學是剛體動力學的一種特殊情況，因此我們由剛體動力
5、學方程很容易推出研究剛體靜力學問題的剛體的平衡方程。所謂的剛體靜力學就是研究剛體相對固定坐標系保持靜止狀態(tài)的力學。我們由剛體運動微分方程不難看出，要使剛體保持靜止狀態(tài)，也就是要使剛體保持平衡狀態(tài)的充分必要條件是：即作用于剛體上的外力主矢等于零和外力對質心C的主矩等于零。另外我們由⑴和⑶式也可以得到剛體平衡的充要條件為：這兩組平衡條件是等價的。因為，作用在剛體上的第i個力的作用點i相對質心c的位矢，是作用點i相對任一固定點O的位矢，見左圖可見（2）式完全等價于（2）′，因此說，上面兩組平衡方程是等效的。這也就說明了剛體平衡的充分條件就是作用在剛體上的所有外力的主矢和對任意固
6、定點的主矩都等于零。由于自由剛體在空間具有六個自由度，所以將①/和②/投影到笛卡兒坐標就有六個平衡方程這六個獨立方程就是求解剛體靜力學問題的基本方程。2、匯交力系的平衡方程如果作用在剛體上的力系為匯交力系時，則剛體的平衡就簡化為：即3個標量平衡方程。如果作用在剛體上的力系為平面力系。由于平面力系是空間力系的特例。3、平面力系的平衡方程空間力系的平衡條件：,對平面力系的平衡問題也適用，也就是說平面力系的平衡條件仍然是作用在剛體上的外力的主矢和主矩都等于零。矢量方程是相同的，但標量方程是不同的。平面力系的標量形式的平衡方程只有三個。如果我們取平面力系所在的平面為XY平面，則平
7、面力系的平衡方程為：平面力系只有三個獨立方程，比空間力系少了三個獨立方程。這三個方程是平面力系的最基本形式的平衡方程。除了這種形式之外，平面力系的平衡方程也可以采用另一種形式來表達。至于采用那一種形式，那得根據(jù)具體問題來定的。關于剛體靜力學問題要求的無非是求力或者求位置這兩類問題。雖然剛體靜力問題只是求作用在剛體上的力或者求剛體的位置這樣兩類問題，但是求解剛體靜力學問題并不是都很容易的事情，有很多靜力學問題是很難解的……。求解剛體靜力學問題的主要數(shù)學要求是三角幾何。在求解剛體靜力學問題時要注意的幾點是，我剛才已講過，剛體靜力學
