(必修二)三垂線定理及其逆定理-教案

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1、教案：三垂線定理及其逆定理（復習課）（教材：人教版全日制普通高級中學（必修）數(shù)學第二冊（下A））課題：三垂線定理及其逆定理（復習課）教學目的：1、知識目標：進一步理解、記憶并應用三垂線定理及其逆定理。2、能力目標：（1）理解三垂線定理及其逆定理之間的關系，掌握三垂線定理及其逆定理應用的規(guī)律；（2）善于在復雜圖形中分離出適用的直線用于解題；（3）進一步培養(yǎng)學生的識圖能力、思維能力和解決問題的能力．3、德育目標：通過強化訓練滲透化繁為簡的思想和轉(zhuǎn)化的思想．教學重點：進一步掌握三垂線定理及其逆定理并應用它們來解有關的題．教學難點：對復雜圖形如何分離出符合定理的條件用以解題以及解決問題的能力

2、的培養(yǎng)授課類型：復習課教學模式：講練結合教學過程：環(huán)節(jié)1：復習導入教師給出三垂線定理及其逆定理，然后提出問題：三垂線定理及其逆定理彼此獨立嗎？它們的位置能不能交換一下？（引發(fā)學生對三垂線定理及其逆定理的關系的思考，分析三垂線定理及其逆定理的內(nèi)容）環(huán)節(jié)2：三垂線定理及其逆定理的剖析1、認識三垂線定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個平面的一條斜線的射影垂直，那么，它就和這條斜線垂直。問題：正定理研究的是哪兩條線的垂直關系？它是如何解決的？解決問題的主要思想使什么？設置目的：讓學生通過分析得出三垂線定理是通過判斷平面內(nèi)的直線與斜線在平面內(nèi)的射影垂直來得到這條直線與斜線的垂直關系，即線射垂直

3、線斜垂直（平面問題）（空間問題）從而讓學生體會三垂線定理中蘊含的降維思想：把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題。2、認識三垂線定理的逆定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個平面的一條斜線垂直，那么它也和這條斜線的射影垂直。問題：逆定理研究的又是哪兩條直線的垂直關系？它又是如何解決的？設置目的：讓學生類比三垂線定理的分析思路得出三垂線定理的已知和結論：線斜垂直線射垂直（空間問題）（平面問題）教師再引導學生分析其中的數(shù)學思想：把空間中的條件歸結到同一個平面中，這在解題中是非常重要的，把已知條件相對集中是解題的第一步。3、討論正定理與逆定理的關系：正定理線射垂直線斜垂直（平面問題）逆定理（空間問題）從而

4、得出兩個定理的關系：（教師板書）正定理：線射垂直線斜垂直（先平面后空間）逆定理：線斜垂直線射垂直（先空間后平面）4、總結應用兩個定理解題的一般步驟教師引導學生通過對定理內(nèi)容的再認識，提取應用兩個定理解題的一般步驟。（出示幻燈片）基準平面主線垂線正定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個平面的一條斜線的射影垂直，那么，它就和這條斜線垂直。定定找逆定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個平面的一條斜線垂直，那么它也和這條斜線的射影垂直。環(huán)節(jié)3、定理應用舉例應用一、證明線線垂直例1、判斷下列命題的真假：（1）若a是平面α的斜線，直線b垂直于a在平面α內(nèi)的射影，則a⊥b（）（2）若a是平面α的斜線，

5、平面β內(nèi)的直線b垂直于a在平面α內(nèi)的射影，則a⊥b（）（3）若a是平面α的斜線，直線bìα且b垂直于a在另一平面β內(nèi)的射影，則a⊥b（）（4）若a是平面α的斜線,b∥α,直線b垂直于a在平面α內(nèi)的射影，則a⊥b（）設置目的：加深學生對兩個定理的認識，明確定理使用的條件，同時讓學生能較好地理解三垂線定理及其逆定理中五個元素“一面四線”之間的關系。教學安排：安排四個學生口答，教師組織其他學生討論，教師點評強調(diào)運用定理時需要注意的地方。例2、已知P是平面ABC外一點，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，求證：PC⊥BC。設置目的：①讓學生逐步掌握應用定理證明兩條直線垂直的一般步驟，鞏固學生對兩個

6、定理的認識；②通過對問題的解決讓學生能夠區(qū)分正定理和逆定理，在解題時能夠正確的選用；③題中沒有配圖，讓學生學會根據(jù)已知信息畫出幾何圖形。教學安排：教師先給出題干部分，讓學生根據(jù)已知信息畫出幾何圖形，教師再給出問題。由于題目并不難，可以由學生討論解決，但這里主要是組織學生對運用三垂線定理解題的步驟的歸納。例3、在四面體ABCD中，已知AB⊥CD，AC⊥BD，求證：AD⊥BC。設置目的：①進一步加深學生對運用定理解題時的解題步驟地理解和掌握；②讓學生在解題中逐步學會通過尋找垂線來實現(xiàn)兩種線線垂直關系的相互轉(zhuǎn)化，AD⊥BC是空間兩條直線的垂直，通過正定理可以把它轉(zhuǎn)化為基準平面內(nèi)的線線垂直問

7、題，再利用逆定理把已知中的異面垂直關系集中到基準平面內(nèi)，實現(xiàn)已知與未知的對接。教學安排：學生討論完成，教師歸納方法。應用二、作出二面角的平面角問題1：我們知道利用幾何法求二面角的大小時第一步就是要作出二面角的平面角，那么求作二面角的平面角的常用方法有哪些？教學安排：學生討論，歸納出求作二面角平面角的三種方法即定義法（、垂面法、垂線法。問題2：為什么利用三垂線定理及其逆定理可以作出二面角的平面角？（讓學生再次認識三垂線定理及其逆定理的結論，同時鞏固學生對二面