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1、三垂線定理及其逆定理aPAO一.正射影1、點在平面內(nèi)的射影如果圖形F上的所有點在一平面內(nèi)的射影構(gòu)成的圖形,則叫做圖形F在這個平面上的射影.2、圖形在平面內(nèi)的射影如果一條直線和一個平面相交,但不和這個平面垂直,那么這條直線叫做平面的斜線。斜線和平面的交點叫做斜足。斜線上一點與斜足間的線段叫做斜線段。ADCBA1D1B1C1指出A1C在正方體下列各個表面內(nèi)的射影表面AD1內(nèi)——————表面BC1內(nèi)——————表面DC1內(nèi)——————表面A1B內(nèi)——————A1DB1CD1CA1B平面內(nèi)是否存在直線與斜線的射影垂直？提問：aPAO當平面內(nèi)存在直線與斜線的射影垂直時，直線與斜線垂直嗎？aP
2、AO在平面內(nèi)的一條直線，如果它和這個平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直。三垂線定理cde三垂線定理是平面的一條斜線與平面內(nèi)的直線垂直的判定定理，①相交直線②異面直線注意：bAoaαP這兩條直線可以是：直接利用三垂線定理證明下列各題：例1.(1)PA⊥菱形ABCD所在平面，O為對角線BD的中點求證：PO⊥BD，PC⊥BDPOABCD(2)在正方體AC1中，求證：A1C⊥B1D1，A1C⊥BC1ADCBA1D1B1C1(3)已知：PA⊥平面PBC，PB=PC，M是BC的中點，求證：BC⊥AMBPMCA三垂線定理解題的關(guān)鍵：找三垂！怎么找？一找直線和平面垂直二找平面的斜線在
3、平面內(nèi)的射影和平面內(nèi)的一條直線垂直注意：由一垂、二垂直接得出第三垂并不是三垂都作為已知條件解題回顧PAOa直線a一定要在平面內(nèi)，如果a不在平面內(nèi)，定理就不一定成立。例如：當a⊥?時，a⊥OA，但a不垂直于OP注意：如果將定理中“在平面內(nèi)”的條件去掉，結(jié)論仍然成立嗎？PAOaαa解題回顧√×⑴若a是平面α的斜線，直線b垂直于a在平面α內(nèi)的射影，則a⊥b（）⑷若a是平面α的斜線,b∥α,直線b垂直于a在平面α內(nèi)的射影，則a⊥b（）⑶若a是平面α的斜線，直線b?α且b垂直于a在另一平面β內(nèi)的射影則a⊥b（）⑵若a是平面α的斜線，平面β內(nèi)的直線b垂直于a在平面α內(nèi)的射影，則a⊥b（）練習(xí)：
4、判斷下列命題的真假：××ADCBA1D1C1B1面ABCD→面α面B1BCC1→面β直線A1C→斜線a直線AB→垂線b三垂線定理包含幾種垂直關(guān)系？②線射垂直①線面垂直③線斜垂直PAOaα直線和平面垂直平面內(nèi)的直線和平面一條斜線的射影垂直平面內(nèi)的直線和平面的一條斜線垂直PAOaαPAOaα線射垂直線斜垂直PAOaαPAOaα平面內(nèi)的一條直線和平面的一條斜線在平面內(nèi)的射影垂直平面內(nèi)的一條直線和平面的一條斜線垂直三垂線定理的逆定理？在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個平面的一條斜線垂直，那么它也和這條斜線的射影垂直。PAOaα三垂線定理的逆定理例3如果一個角所在平面外一點到角的兩邊 距離相等
5、，那么這一點在平面上的射影在這個角的平分線上。?CBAPOFE已知：∠BAC在平面?內(nèi)，點P??，PE⊥AB，PF⊥AC，PO⊥?，垂足分別是E、F、O，PE=PF求證：∠BAO=∠CAO例4在四面體ABCD中，已知AB⊥CD，AC⊥BD求證：AD⊥BCOADCB在正方體AC1中，E、G分別是AA1和CC1的中點，F(xiàn)在AB上，且C1E⊥EF，則EF與GD所成的角的大小為（）A30°B45°C60°D90°DFADCBA1D1B1C1GEMEB1是EC1在平面AB1內(nèi)的射影EB1⊥EFDG∥AM∥EB1EF⊥DG練習(xí)三垂線定理的逆定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個平面的一條斜線垂直
6、，那么，它也和這條斜線的射影垂直。三垂線定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個平面的一條斜線的射影垂直，那么，它就和這條斜線垂直。線射垂直線斜垂直定理逆定理線射垂直線斜垂直定理逆定理
