三垂線(xiàn)定理及其逆定理.ppt

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1、三垂線(xiàn)定理及其逆定理aPAO一.正射影1、點(diǎn)在平面內(nèi)的射影如果圖形F上的所有點(diǎn)在一平面內(nèi)的射影構(gòu)成的圖形,則叫做圖形F在這個(gè)平面上的射影.2、圖形在平面內(nèi)的射影如果一條直線(xiàn)和一個(gè)平面相交,但不和這個(gè)平面垂直,那么這條直線(xiàn)叫做平面的斜線(xiàn)。斜線(xiàn)和平面的交點(diǎn)叫做斜足。斜線(xiàn)上一點(diǎn)與斜足間的線(xiàn)段叫做斜線(xiàn)段。ADCBA1D1B1C1指出A1C在正方體下列各個(gè)表面內(nèi)的射影表面AD1內(nèi)——————表面BC1內(nèi)——————表面DC1內(nèi)——————表面A1B內(nèi)——————A1DB1CD1CA1B平面內(nèi)是否存在直線(xiàn)與斜線(xiàn)的射影垂直?提問(wèn):aPAO當(dāng)平面內(nèi)存在直線(xiàn)與斜線(xiàn)的射影垂直時(shí),直線(xiàn)與斜線(xiàn)垂直嗎?aP

2、AO在平面內(nèi)的一條直線(xiàn),如果它和這個(gè)平面的一條斜線(xiàn)的射影垂直,那么它也和這條斜線(xiàn)垂直。三垂線(xiàn)定理cde三垂線(xiàn)定理是平面的一條斜線(xiàn)與平面內(nèi)的直線(xiàn)垂直的判定定理,①相交直線(xiàn)②異面直線(xiàn)注意:bAoaαP這兩條直線(xiàn)可以是:直接利用三垂線(xiàn)定理證明下列各題:例1.(1)PA⊥菱形ABCD所在平面,O為對(duì)角線(xiàn)BD的中點(diǎn)求證:PO⊥BD,PC⊥BDPOABCD(2)在正方體AC1中,求證:A1C⊥B1D1,A1C⊥BC1ADCBA1D1B1C1(3)已知:PA⊥平面PBC,PB=PC,M是BC的中點(diǎn),求證:BC⊥AMBPMCA三垂線(xiàn)定理解題的關(guān)鍵:找三垂!怎么找?一找直線(xiàn)和平面垂直二找平面的斜線(xiàn)在

3、平面內(nèi)的射影和平面內(nèi)的一條直線(xiàn)垂直注意:由一垂、二垂直接得出第三垂并不是三垂都作為已知條件解題回顧PAOa直線(xiàn)a一定要在平面內(nèi),如果a不在平面內(nèi),定理就不一定成立。例如:當(dāng)a⊥?時(shí),a⊥OA,但a不垂直于OP注意:如果將定理中“在平面內(nèi)”的條件去掉,結(jié)論仍然成立嗎?PAOaαa解題回顧√×⑴若a是平面α的斜線(xiàn),直線(xiàn)b垂直于a在平面α內(nèi)的射影,則a⊥b()⑷若a是平面α的斜線(xiàn),b∥α,直線(xiàn)b垂直于a在平面α內(nèi)的射影,則a⊥b()⑶若a是平面α的斜線(xiàn),直線(xiàn)b?α且b垂直于a在另一平面β內(nèi)的射影則a⊥b()⑵若a是平面α的斜線(xiàn),平面β內(nèi)的直線(xiàn)b垂直于a在平面α內(nèi)的射影,則a⊥b()練習(xí):

4、判斷下列命題的真假:××ADCBA1D1C1B1面ABCD→面α面B1BCC1→面β直線(xiàn)A1C→斜線(xiàn)a直線(xiàn)AB→垂線(xiàn)b三垂線(xiàn)定理包含幾種垂直關(guān)系?②線(xiàn)射垂直①線(xiàn)面垂直③線(xiàn)斜垂直P(pán)AOaα直線(xiàn)和平面垂直平面內(nèi)的直線(xiàn)和平面一條斜線(xiàn)的射影垂直平面內(nèi)的直線(xiàn)和平面的一條斜線(xiàn)垂直P(pán)AOaαPAOaα線(xiàn)射垂直線(xiàn)斜垂直P(pán)AOaαPAOaα平面內(nèi)的一條直線(xiàn)和平面的一條斜線(xiàn)在平面內(nèi)的射影垂直平面內(nèi)的一條直線(xiàn)和平面的一條斜線(xiàn)垂直三垂線(xiàn)定理的逆定理?在平面內(nèi)的一條直線(xiàn),如果和這個(gè)平面的一條斜線(xiàn)垂直,那么它也和這條斜線(xiàn)的射影垂直。PAOaα三垂線(xiàn)定理的逆定理例3如果一個(gè)角所在平面外一點(diǎn)到角的兩邊  距離相等

5、,那么這一點(diǎn)在平面上的射影在這個(gè)角的平分線(xiàn)上。?CBAPOFE已知:∠BAC在平面?內(nèi),點(diǎn)P??,PE⊥AB,PF⊥AC,PO⊥?,垂足分別是E、F、O,PE=PF求證:∠BAO=∠CAO例4在四面體ABCD中,已知AB⊥CD,AC⊥BD求證:AD⊥BCOADCB在正方體AC1中,E、G分別是AA1和CC1的中點(diǎn),F(xiàn)在AB上,且C1E⊥EF,則EF與GD所成的角的大小為()A30°B45°C60°D90°DFADCBA1D1B1C1GEMEB1是EC1在平面AB1內(nèi)的射影EB1⊥EFDG∥AM∥EB1EF⊥DG練習(xí)三垂線(xiàn)定理的逆定理:在平面內(nèi)的一條直線(xiàn),如果和這個(gè)平面的一條斜線(xiàn)垂直

6、,那么,它也和這條斜線(xiàn)的射影垂直。三垂線(xiàn)定理:在平面內(nèi)的一條直線(xiàn),如果和這個(gè)平面的一條斜線(xiàn)的射影垂直,那么,它就和這條斜線(xiàn)垂直。線(xiàn)射垂直線(xiàn)斜垂直定理逆定理線(xiàn)射垂直線(xiàn)斜垂直定理逆定理

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