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《三垂線定理及逆定理.ppt》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫。
1、第一章直線和平面三垂線定理新野一高周立平這是偶然的巧合，還是必然？EMDBOAAE⊥OD？cos?1·cos?2=cos?3?1=∠AOB?3=∠AOD?2=∠DOBA?aOPPO⊥a？A?aOP已知PA、PO分別是平面?的垂線、斜線，AO是PO在平面?上的射影。a??，a⊥AO。求證：a⊥PO在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個平面的一條斜線的射影垂直，那么，它就和這條斜線垂直。三垂線定理A?aOP證明：a⊥POPA⊥?a??AO⊥aa⊥平面PAOPO?平面PAOPA⊥a三垂線定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個平面的一條斜線的射影垂直，那么，它就和這條斜線垂直。A?
2、aOP證明：a⊥POPA⊥?a??AO⊥aa⊥平面PAOPO?平面PAOPA⊥aPCBAO例1已知P是平面ABC外一點，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，求證：PC⊥BC證明：∵P是平面ABC外一點PA⊥平面ABC∴PC是平面ABC的斜線∴AC是PC在平面ABC上的射影∵BC?平面ABC且AC⊥BC∴由三垂線定理得PC⊥BCMPMCABPAOaαA1C1CBB1OAαaP我們要學(xué)會從紛繁的已知條件中找出或者創(chuàng)造出符合三垂線定理的條件解題回顧，怎么找？三垂線定理解題的關(guān)鍵：找三垂！怎么找？一找直線和平面垂直二找平面的斜線在平面內(nèi)的射影和平面內(nèi)的一條直線垂直注意：由一垂、
3、二垂直接得出第三垂并不是三垂都作為已知條件解題回顧PAOaαPAOaαbcde三垂線定理是平面的一條斜線與平面內(nèi)的直線垂直的判定定理，這兩條直線可以是：①相交直線②異面直線使用三垂線定理還應(yīng)注意些什么？解題回顧直線a在一定要在平面內(nèi)，如果a不在平面內(nèi)，定理就不一定成立。PAOaα例如：當(dāng)b⊥?時，b⊥OA注意：如果將定理中“在平面內(nèi)”的條件去掉，結(jié)論仍然成立嗎？b但b不垂直于OP解題回顧PAOaα三垂線定理包含幾種垂直關(guān)系？②線射垂直PAOaα①線面垂直③線斜垂直PAOaα直線和平面垂直平面內(nèi)的直線和平面一條斜線的射影垂直平面內(nèi)的直線和平面的一條斜線垂直線射垂直線
4、斜垂直PAOaαPAOaα平面內(nèi)的一條直線和平面的一條斜線在平面內(nèi)的射影垂直平面內(nèi)的一條直線和平面的一條斜線垂直三垂線定理的逆定理？在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個平面的一條斜線垂直，那么，它也和這條斜線的射影垂直。PAOaα已知：PA，PO分別是平面?的垂線和斜線，AO是PO在平面?的射影,a??,a⊥PO求證：a⊥AO三垂線定理的逆定理三垂線定理的逆定理在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個平面的一條斜線垂直，那么，它也和這條斜線的射影垂直。三垂線定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個平面的一條斜線的射影垂直，那么，它就和這條斜線垂直。線射垂直線斜垂直定理逆定理線射垂直線
5、斜垂直定理逆定理例2如果一個角所在平面外一點到角的兩邊距離相等，那么這一點在平面上的射影在這個角的平分線上。已知：∠BAC在平面?內(nèi)，點P??，PE⊥AB，PF⊥AC，PO⊥?，垂足分別是E、F、O，PE=PF求證：∠BAO=∠CAO分析：要證∠BAO=∠CAO只須證OE=OF,OE⊥AB,OF⊥ACP?CBAOFE???證明：∵PO⊥?∴OE、OF是PE、PF在?內(nèi)的射影∵PE=PF∴OE=OF由OE是PE的射影且PE⊥AB??OE⊥AB同理可得OF⊥AC結(jié)論成立例3在四面體ABCD中，已知AB⊥CD，AC⊥BD求證：AD⊥BC∴DO⊥BC，于是AD⊥BC.證明
6、：作AO⊥平面BCD于點O，連接BO，CO，DO，則BO，CO，DO分別為AB，AC，AD在平面BCD上的射影。OADCB∵AB⊥CD，∴BO⊥CD，同理CO⊥BD，于是O是△BCD的垂心，PAOaαl*已知：PA，PO分別是平面?的垂線和斜線，AO是PO在平面?的射影，a??,a⊥AO，l平行于a。求證：l垂直于PO練習(xí)與作業(yè)p27練習(xí)1.2.3.作業(yè)：P29習(xí)題9.4第11、12、13題。
