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《正射影及三垂線定理及其逆定理》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫。
1、正射影和三垂線定理蠅9.4(2)正射影和三垂線定理一、點在平面上的射影自點P向平面α引垂線，垂足P1叫做點P在平面α內(nèi)的正射影(簡稱射影)P1Pα如果圖形F上的所有點在一平面內(nèi)的射影構(gòu)成的圖形,則叫做圖形F在這個平面上的射影.二、圖形在平面內(nèi)的射影如果一條直線和一個平面相交，但不和這個平面垂直，那么這條直線叫做平面的斜線(直線PA)．PAOaα斜線上一點與斜足間的線段叫做斜線段(線段AP)．斜線和平面的交點叫做斜足(A)．容易看出：平面的斜線在平面內(nèi)的射影仍是一條直線．例如在圖中，斜線PA上的點A是斜足，PO⊥α，點O是垂足，則直線PA在平面α內(nèi)的射影就是直線
2、OA．PAOaαPO,PA分別是平面α的垂線、斜線,OA是PA在α內(nèi)的射影，直線a在平面α內(nèi),且a⊥OAPAOaα∴a⊥PA∴a⊥平面POA．又a⊥OA，PO∩OA=O，∴PO⊥a．證明：求證：a⊥PA．已知:∵PO⊥α，在平面內(nèi)的一條直線如果和這個平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直．三垂線定理PAOaα三垂線定理一個平面(垂面）四條直線（垂線，斜線，射影，平面內(nèi)直線）PAOaαA?aOPA?aOP三垂線定理基本圖形的特點分析1:一面2:四線3:三垂直線面垂直線射垂直線斜垂直正逆在平面內(nèi)的一條直線如果和這個平面的一條斜線垂直，那么它也和這條斜線的
3、射影垂直．及其逆定理1、兩平行直線在一平面內(nèi)的射影不可能是（）A、兩平行直線B、兩點2、兩直線在平面內(nèi)的射影是兩相交直線，則這兩直線的位置關(guān)系不是（）A、兩異面直線;B、兩平行直線C、兩相交直線;D、以上都不對鞏固練習(xí)：DB3．斜線b在面α內(nèi)的射影為c，直線a⊥c，則a與b（?。〢．垂直B．不垂直C．垂直且相交D．以上都有可能C、一條直線D、兩相交直線D4.在正方體AC1中，求證：(1)AC⊥平面D1DB;(2)D1B⊥平面ACB1C1BD1ACA1DB1證明:所以D1B⊥平面ACB15.求證:如果一個角所在平面外一點到角的兩邊的距離相等，那么這點在平面內(nèi)的射
4、影在這個角的平分線上．求證：∠BAO=∠CAO．證明：∵PE⊥AB，PF⊥AC，PO⊥α，∴AB⊥OE，AC⊥OF(三垂線定理的逆定理)．∵PE=PF，∴OE=OF∴點O在∠BAC的角平分線上即∠BAO=∠CAO．已知：∠BAC在平面α內(nèi)，點P，PE⊥AB，PF⊥AC，PO⊥α，垂足分別是E、F、O，PE=PFPABCOEF6、如圖9－42道路旁有一條河，河對岸有電塔AB，高15m，只用量角器和皮尺作測量工具，能否求出電塔頂與道路的距離？解:在路上取點C、D使BC垂直于CD，且∠CDB為450。測得CD=20m因BC是AC在地面上的射影，且CD垂直于BC，故C
5、D垂直于AC故電塔頂與道路的距離為25mOABCD求證：AD⊥BC證明：設(shè)O是A在平面BCD內(nèi)的射影，∵AB⊥CD，AC⊥BD，∴BO⊥CD，CO⊥BD，（三垂線逆定理）∴O是三角形BDC的垂心，∴DO⊥BC，（三角形的性質(zhì)）∴AD⊥BC，（三垂線定理）練習(xí)：已知點O是△ABC的BC邊上的高的任意一點，且OP⊥平面ABC。求證PA⊥BC。PAOCB證明：∵OP⊥平面ABCAO是PA在平面ABC內(nèi)的射影，又∵AO⊥BC，∴PA⊥BC。（三垂線定理）練習(xí)：如圖，PD⊥平面ABC，AC=BC，D為AB的中點，求證AB⊥PC。PDCBA證明：∵AC=BC，D是BC的中
6、點，∴AB⊥CD，∵PD⊥平面ABC，∴CD是PC在平面ABC內(nèi)的射影，∴AB⊥PC（三垂線定理）練習(xí).在正方體AC1中，求證：A1C⊥B1D1，A1C⊥BC1ADCBA1D1B1C1練習(xí):EADCB解:練習(xí).已知:空間四邊形ABCD,AB=AC,DB=DC,求證:BC⊥AD.證明:取BC的中點E,連結(jié)AE,DE.EDCBA∵AB=AC,∴AE⊥BC.∵DB=DC∴DE⊥BC.∴BC⊥平面AED.∴BC⊥AD.練習(xí).如圖，ABCD是矩形，PA⊥平面AC，連結(jié)PB、PC、PD，指出圖中有哪些三角形是直角三角形，并說明理由．PBDCA三垂線定理解題的關(guān)鍵：找三垂！
7、怎么找？一找直線和平面垂直二找平面的斜線在平面內(nèi)的射影和平面內(nèi)的一條直線垂直三由線面垂直，線射垂直得出線斜垂直解題回顧PAOaαPAOaαbcde三垂線定理是平面的一條斜線與平面內(nèi)的直線垂直的判定定理，這兩條直線可以是：①相交直線②異面直線使用三垂線定理還應(yīng)注意些什么？解題回顧作業(yè)：P25第1、2題、3題作業(yè)：已知PA、PB、PC兩兩垂直，求證：P在平面ABC內(nèi)的射影是△ABC的垂心。CBPAH
