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1、.三垂線定理及其逆定理知識點：1.三垂線定理；；2.三垂線定理的逆定理；3.綜合應(yīng)用；教學(xué)過程：1．三垂線定理：平面內(nèi)一條直線，如果和這個平面的一條斜線在平面內(nèi)的射影垂直，那么這條直線就和這條斜線垂直；已知：PA,PO分別是平面的垂線和斜線，AO是PO在平面的射影,a,aAO。求證：aPO；證明：PaAO說明：α（1）線射垂直（平面問題）線斜垂直（空間問題）；（2）證明線線垂直的方法：定義法；線線垂直判定定理；三垂線定理；（3）三垂線定理描述的是PO(斜線)、AO(射影)、a(直線)之間的垂直關(guān)系。（4）直線a與PO可以相交，
2、也可以異面。（5）三垂線定理的實質(zhì)是平面的一條斜線和平面內(nèi)的一條直線垂直的判定定理。例1.已知P是平面ABC外一點，PAABC,ACBC。P求證：PCBC。ACB例2.已知PA正方形ABCD所在平面，O為對角線BD的中點。P求證：POBD,PCBD。ADOBC'..例4.在正方體AC1中，求證：AC1B1D1,AC1BC1；C1D1B1A1DCAB2．寫出三垂線定理的逆命題，并證明它的正確性；命題：P已知：求證：證明：aAOα說明：A例2．在空間四邊形ABCD中，設(shè)ABCD,ACBD。求證：（1）ADBC；（2）點A在底面BC
3、D上的射影是BCD的垂心；BDC'..例3.求證:如果一個角所在平面外一點到角的兩邊的距離相等，那么這點在平面內(nèi)的射影在這個角的平分線上已知：求證：PBEOαACF說明：可以作為定理來用。例5．已知：RtABC中，A,AB3,AC4，PA是面ABC的斜線，PABPAc。23(1)求PA與面ABC所成的角的大小;(2)當(dāng)PA的長度等于多少的時候，點P在平面ABC內(nèi)的射影恰好落在邊BC上；PBAC'..作業(yè)：1.正方體ABCDA1B1C1D1,E,F分別是A1A,AB上的點,EC1EF.求證:EFEB1。P2.已知：PA平面PBC
4、，PBPC,M是BC的中點。求證：BCAM；3.填空并證明：CA（1）在四面體ABCD中，對棱互相垂直，則A在底面BCD上的射影是底面MBCD的心。B（2）在四面體ABCD中，AB、ＡＣ、ＡＤ互相垂直，則A在底面BCD上的射影是底面BCD的心（3）在四面體ABCD中，AB=AC=AD，則A在底面BCD上的射影是底面BCD的心。（4）在四面體ABCD中，頂點A到BC、CD、DB的距離相等，則A在底面BCD上的射影是底面BCD的心。4.正方體ABCDA1B1C1D1中棱長a，點P在AC上，Q在BC1上，AP＝BQ＝a，（1）求直線
5、PQ與平面ABCD所成角的正切值；（2）求證：PQ⊥AD．5.在正方體ABCDA1B1C1D1中，設(shè)E是棱AA1上的點，且A1E:EA1:2，F(xiàn)是棱AB上的點，C1EF。求AF：FB。26.點P是ABC所在平面外一點，且PA⊥平面ABC。若O和Q分別是ΔABC和ΔPBC的垂心，試證：OQ⊥平面PBC。7.已知EAF在平面內(nèi)，AT,P,PAEPAF，EATFAT,PD,D。求證：DAT；'.
