三垂線定理及其逆定理

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1、三垂線定理及其逆定理知識點：1.三垂線定理；；2.三垂線定理的逆定理；3.綜合應(yīng)用；教學(xué)過程：1．三垂線定理：平面內(nèi)一條直線，如果和這個平面的一條斜線在平面內(nèi)的射影垂直，那么這條直線就和這條斜線垂直；已知：分別是平面的垂線和斜線，是在平面的射影,。求證：；證明：說明：（1）線射垂直（平面問題）線斜垂直（空間問題）；（2）證明線線垂直的方法：定義法；線線垂直判定定理；三垂線定理；（3）三垂線定理描述的是PO(斜線)、AO(射影)、a(直線)之間的垂直關(guān)系。（4）直線與可以相交，也可以異面。（5）三垂線定理的實質(zhì)是平面的一條斜線和平面內(nèi)的一條直線垂直的判定定

2、理。例1.已知是平面外一點，。求證：。例2.已知正方形所在平面，為對角線的中點。求證：。三垂線定理和逆定理第4頁共4頁例4.在正方體中，求證：；2．寫出三垂線定理的逆命題，并證明它的正確性；命題：已知：求證：證明：說明：例2．在空間四邊形ABCD中，設(shè)。求證：（1）；（2）點A在底面BCD上的射影是的垂心；三垂線定理和逆定理第4頁共4頁例3.求證:如果一個角所在平面外一點到角的兩邊的距離相等，那么這點在平面內(nèi)的射影在這個角的平分線上已知：求證：說明：可以作為定理來用。例5．已知：中，，PA是面的斜線，。(1)求PA與面ABC所成的角的大小;(2)當(dāng)PA的

3、長度等于多少的時候，點P在平面ABC內(nèi)的射影恰好落在邊BC上；三垂線定理和逆定理第4頁共4頁作業(yè)：1.正方體,分別是上的點,.求證:。2.已知：平面，是的中點。求證：；3.填空并證明：（1）在四面體ABCD中，對棱互相垂直，則A在底面BCD上的射影是底面BCD的心。（2）在四面體ABCD中，AB、ＡＣ、ＡＤ互相垂直，則A在底面BCD上的射影是底面BCD的心（3）在四面體ABCD中，AB=AC=AD，則A在底面BCD上的射影是底面BCD的心。（4）在四面體ABCD中，頂點A到BC、CD、DB的距離相等，則A在底面BCD上的射影是底面BCD的心。4.正方體中

4、棱長，點P在AC上，Q在BC1上，AP＝BQ＝a，（1）求直線PQ與平面ABCD所成角的正切值；（2）求證：PQ⊥AD．5.在正方體中，設(shè)E是棱上的點，且，F(xiàn)是棱AB上的點，。求AF：FB。6.點是所在平面外一點，且PA⊥平面ABC。若O和Q分別是ΔABC和ΔPBC的垂心，試證：OQ⊥平面PBC。7.已知在平面內(nèi)，，。求證：；三垂線定理和逆定理第4頁共4頁