三垂線定理及逆定理

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1、三垂線定理及逆定理(二)復(fù)習(xí)：什么叫平面的斜線、垂線、射影？如果aα,a⊥AO，思考a與PO的位置關(guān)系如何？aAPoαPO是平面α的斜線,O為斜足;PA是平面α的垂線,A為垂足;AO是PO在平面α內(nèi)的射影.PO平面PAOa⊥PO③三垂線定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個(gè)平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直。PA⊥αaα①PA⊥aAO⊥a②a⊥平面PAO1、三垂線定理描述的是PO(斜線)、AO(射影)、a(直線)之間的垂直關(guān)系。2、a與PO可以相交，也可以異面。3、三垂線定理的實(shí)質(zhì)是平面的一條斜線和平面內(nèi)的一條直線垂直的判定定理。

2、對(duì)三垂線定理的說明：三垂線定理PaAoα例題分析：例1、判定下列命題是否正確(1)若a是平面α的斜線、直線b垂直于a在平面α內(nèi)的射影，則a⊥b。()2°定理的關(guān)鍵:找一個(gè)平面（基準(zhǔn)面）強(qiáng)調(diào)：1°四線是相對(duì)同一個(gè)平面而言(2)若a是平面α的斜線，b是平面α內(nèi)的直線，且b垂直于a在β內(nèi)的射影，則a⊥b。()××三垂線定理例2:如圖,在△ABC中,∠ACB=90o,AB=8,∠BAC=60o,PC⊥平面ABC,PC=4,M為AB邊上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),求PM的最小值。APBCH由三垂線定理知PH⊥AB即點(diǎn)M在H時(shí)PM最小解：作CH⊥AB于H，連PH在△ABC

3、中，易求得CH=2則在RT△PCH中，PH=2即PM的最小值為2∵PC⊥平面ABC例3、如圖，已知正方體ABCD-A1B1C1D1中，連結(jié)BD1，AC，CB1，B1A，求證：BD1⊥平面AB1C∴BD1⊥ACA1D1C1B1ADCB∴BD1⊥平面AB1C證明：連結(jié)BD，連結(jié)A1B三垂線定理∵ABCD是正方形，∴AC⊥BD又DD1⊥平面ABCD∴BD是斜線BD1在平面ABCD上的射影而A1B是BD1在平面ABB1A1內(nèi)的射影∴BD1⊥AB1關(guān)于三垂線定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是找出平面(基準(zhǔn)面)的垂線。至于射影則是由垂足、斜足來確定的，因而是第二位的。利

4、用三垂線定理證明a⊥b的一個(gè)程序：一垂、二射、三證。第一、找平面(基準(zhǔn)面)及平面垂線第二、找射影線，這時(shí)a、b便成平面上的一條直線與一條斜線。三垂線定理第三、證明射影線與直線a垂直，從而得出a與b垂直。反過來,如果a⊥PO,是否有a⊥AO?aAPoα三垂線定理的逆定理:在平面內(nèi)的一條直線,如果和這個(gè)平面的一條斜線垂直,那么這條直線和斜線的射影垂直.例4四面體P-ABC中,PA⊥BC,PB⊥AC,求證PC⊥AB解:過P作PH⊥面ABC，連AH延長(zhǎng)交BC于E，連BH延長(zhǎng)交AC于FPH⊥平面PBC,PA⊥BC,而PA在面ABC內(nèi)的射影為AH,由三垂

5、線定理的逆定理知BC⊥AH三垂線定理則H為△ABC的垂心同理可證BF⊥ACPABCEFGH連CH延長(zhǎng)交AB于G，于是CG⊥AB而CH是PC在面ABC的射影故PC⊥AB請(qǐng)你解決一個(gè)實(shí)際問題：道旁有一條河，彼岸有電塔AB，高15m，只有水平測(cè)角器和皮尺作測(cè)量工具，能否求出電塔頂與道路的距離？（假設(shè)塔基B、道路處于同一水平面）BAC90°D45°三垂線定理三垂線定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個(gè)平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直。小結(jié)3°操作程序分三個(gè)步驟——“一垂二射三證”1°定理中四條線均針對(duì)同一平面而言2°應(yīng)用定理關(guān)鍵是找“基

6、準(zhǔn)面”三垂線定理三垂線定理的逆定理:在平面內(nèi)的一條直線,如果和這個(gè)平面的一條斜線垂直,那么這條直線也和斜線的射影垂直.