分?jǐn)?shù)階微分方程m點(diǎn)邊值共振問題解的存在性

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1、2015年2月純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)Feb．2015第31卷第1期PureandAppliedMathematicsVbl．31No．1分?jǐn)?shù)階微分方程仇點(diǎn)邊值共振問題解的存在性桂旺生，劉利斌(池州學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)系，安徽池州247000)摘要：利用Mawhin延拓定理考察了一類分?jǐn)?shù)階微分方程m點(diǎn)邊值共振問題解的存在性．得到了解的存在性的一個(gè)充分性條件，并且舉出實(shí)例用以說明主要結(jié)果．關(guān)鍵詞：分?jǐn)?shù)階微分方程；Mawhin延拓定理；共振中圖分類號(hào)：0175．8文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1008—5513(2015)01—0001-11DOI：i0．3969／j．issn．1008-5513．20

2、15．01．0011引言{。D抖z@’=，‘厶z‘。m’：-三2’‘。’’+e@L亡∈【o，1L<(1)I工JIXt(o)=0，z(1)=∑aix(蕁i)，～i=1其中，。D器z(t)(1≤Q<2)為Riemann-Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)，，(t，亂，口)∈c(【o，1】×R×R，R)，e(t)∈L1[o，1】，0<∈1<＆<<島n一2<1，ai∈【0，1](i=1，2，，m一2)，∑ai=1．分?jǐn)?shù)階微分方程是微分方程理論的一個(gè)新的重要分支，它在擴(kuò)散和輸送理論、混沌與湍流、高分子材料解鏈、粘彈性力學(xué)及非牛頓力學(xué)等領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用．對(duì)于分?jǐn)?shù)階微分方程二點(diǎn)與多點(diǎn)邊值問題，許多學(xué)者對(duì)其作了一

3、系列的研究，得到了解和正解存在性的一些結(jié)果[1-6]．例如，文獻(xiàn)【1]中利用重合度理論研究了如下分?jǐn)?shù)階微分方程二點(diǎn)邊值問題解的存在性：J。Dnz(t)=邢，z(t)，z他))，t∈【071】，f21Iz(o)=z(1)，z7(o)=z7(1)，其中，。D缸z(t)(1

4、錐，利用非緊性測(cè)度理論和錐拉伸與錐壓縮不動(dòng)點(diǎn)定理證明了如下仇點(diǎn)邊值問題的正解的存在性，得到了有關(guān)正解存在性的三個(gè)定理．p郵)+以D八屯以。弩以挺(0，1)，n=手呸仇(3)、。Iu(o)=∥(o)==u‘n一2’(o)=o，釷(1)2iE：1mu(已)，其中，D矗z(t)為Riemann-Lionville分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)，n為整數(shù)，Q≥2，吼≥0(i=l，2，，m一2)，m-2∑吼等一1<1，0<∈1<已<<‰一2<1，九(t)∈c([o，1]，[o，+∞))，{一1J=【0，1]，，∈C(J×只P)．本文受以上文獻(xiàn)的啟發(fā)，主要應(yīng)用重合度理論研究分?jǐn)?shù)階微分方程m點(diǎn)邊值問題(1)的解的存在性．

5、首先給出了與分?jǐn)?shù)階微分方程有關(guān)的幾個(gè)定義與引理，其次得到了本文的主要結(jié)果，即解的存在性定理，最后舉出實(shí)例作為應(yīng)用．2幾個(gè)引理首先給出下面幾個(gè)相關(guān)定義和引理：定義2．1【7。8](Riemann-Liouville)設(shè)函數(shù)讓(t)可積，Q階積分定義為：珥u(t)=麗1／o。(t—s)州u(s)ds．定義2．2【7-8](Riemann-Caputo)設(shè)函數(shù)釓(t)可積，n階導(dǎo)數(shù)定義為：吼心，=南／o‘?dāng)r粘as．引理2．1【8】設(shè)禮一1

6、n一1

7、omLnQ≠西，L：domLcX--+Y是零指標(biāo)的nedholIn算子，Ⅳ：Q-÷Y為連續(xù)算子，如果QN：孬--4Y和KpQ：孬_÷X都是緊算子，則稱N在孬上是L一緊的．引理2．3【9](Mawhin延拓定理)設(shè)L：domLcX-4Y是零指標(biāo)的Fredholm算子，N：X--+Y在豆上是三．緊的．若滿足：(1)Lx≠ANx，v(x，入)∈【(domL＼KerL)naQ]×(0，1)；(2)Nx垡ImL，比∈KerLnOft；(3)d