分數(shù)階微分方程m點邊值共振問題解的存在性

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1、2015年2月純粹數(shù)學與應用數(shù)學Feb．2015第31卷第1期PureandAppliedMathematicsVbl．31No．1分數(shù)階微分方程仇點邊值共振問題解的存在性桂旺生，劉利斌(池州學院數(shù)學與計算機科學系，安徽池州247000)摘要：利用Mawhin延拓定理考察了一類分數(shù)階微分方程m點邊值共振問題解的存在性．得到了解的存在性的一個充分性條件，并且舉出實例用以說明主要結(jié)果．關鍵詞：分數(shù)階微分方程；Mawhin延拓定理；共振中圖分類號：0175．8文獻標識碼：A文章編號：1008—5513(2015)01—0001-11DOI：i0．3969／j．issn．1008-5513．20

2、15．01．0011引言{。D抖z@’=，‘厶z‘。m’：-三2’‘?！?e@L亡∈【o，1L<(1)I工JIXt(o)=0，z(1)=∑aix(蕁i)，～i=1其中，。D器z(t)(1≤Q<2)為Riemann-Caputo分數(shù)階導數(shù)，，(t，亂，口)∈c(【o，1】×R×R，R)，e(t)∈L1[o，1】，0<∈1<＆<<島n一2<1，ai∈【0，1](i=1，2，，m一2)，∑ai=1．分數(shù)階微分方程是微分方程理論的一個新的重要分支，它在擴散和輸送理論、混沌與湍流、高分子材料解鏈、粘彈性力學及非牛頓力學等領域都有廣泛的應用．對于分數(shù)階微分方程二點與多點邊值問題，許多學者對其作了一

3、系列的研究，得到了解和正解存在性的一些結(jié)果[1-6]．例如，文獻【1]中利用重合度理論研究了如下分數(shù)階微分方程二點邊值問題解的存在性：J。Dnz(t)=邢，z(t)，z他))，t∈【071】，f21Iz(o)=z(1)，z7(o)=z7(1)，其中，。D缸z(t)(1

4、錐，利用非緊性測度理論和錐拉伸與錐壓縮不動點定理證明了如下仇點邊值問題的正解的存在性，得到了有關正解存在性的三個定理．p郵)+以D八屯以。弩以挺(0，1)，n=手呸仇(3)、。Iu(o)=∥(o)==u‘n一2’(o)=o，釷(1)2iE：1mu(已)，其中，D矗z(t)為Riemann-Lionville分數(shù)階導數(shù)，n為整數(shù)，Q≥2，吼≥0(i=l，2，，m一2)，m-2∑吼等一1<1，0<∈1<已<<‰一2<1，九(t)∈c([o，1]，[o，+∞))，{一1J=【0，1]，，∈C(J×只P)．本文受以上文獻的啟發(fā)，主要應用重合度理論研究分數(shù)階微分方程m點邊值問題(1)的解的存在性．

5、首先給出了與分數(shù)階微分方程有關的幾個定義與引理，其次得到了本文的主要結(jié)果，即解的存在性定理，最后舉出實例作為應用．2幾個引理首先給出下面幾個相關定義和引理：定義2．1【7。8](Riemann-Liouville)設函數(shù)讓(t)可積，Q階積分定義為：珥u(t)=麗1／o。(t—s)州u(s)ds．定義2．2【7-8](Riemann-Caputo)設函數(shù)釓(t)可積，n階導數(shù)定義為：吼心，=南／o‘攔粘as．引理2．1【8】設禮一1

6、n一1

7、omLnQ≠西，L：domLcX--+Y是零指標的nedholIn算子，Ⅳ：Q-÷Y為連續(xù)算子，如果QN：孬--4Y和KpQ：孬_÷X都是緊算子，則稱N在孬上是L一緊的．引理2．3【9](Mawhin延拓定理)設L：domLcX-4Y是零指標的Fredholm算子，N：X--+Y在豆上是三．緊的．若滿足：(1)Lx≠ANx，v(x，入)∈【(domL＼KerL)naQ]×(0，1)；(2)Nx垡ImL，比∈KerLnOft；(3)d