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1、分數階微分方程第三講分數階微分方程基本理論一、分數階微分方程的出現背景及研究現狀1、出現背景分數階微積分是關于任意階微分和積分的理論，它與整數階微積分是統(tǒng)一的，是整數階微積分的推廣。整數階微積分作為描述經典物理及相關學科理論的解析數學工具已為人們普遍接受，很多問題的數學模型最終都可以歸結為整數階微分方程的定解問題，其無論在理論分析還是數值求解方面都已有較完善的理論。但當人們進入到復雜系統(tǒng)和復雜現象的研究時，經典整數階微積分方程對這些系統(tǒng)的描述將遇到以下問題：（1）需要構造非線性方程，并引入一些人為的經驗參數和與實際不符的假設條件；（2）因材料或外界
2、條件的微小改變就需要構造新的模型；（3）這些非線性模型無論是理論求解還是數值求解都非常繁瑣?；谝陨显颍藗兤惹衅诖幸环N可用的數學工具和可依據的基本原理來對這些復雜系統(tǒng)進行建模。分數階微積分方程非常適合于刻畫具有記憶和遺傳性質的材料和過程，其對復雜系統(tǒng)的描述具有建模簡單、參數物理意義清楚、描述準確等優(yōu)勢，因而成為復雜力學與物理過程數學建模的重要工具之一。2、研究現狀在近三個世紀里，對分數階微積分理論的研究主要在數學的純理論領域里進行，似乎它只對數學家們有用。然而在近幾十年來，分數階微分方程越來越多的被用來描述光學和熱學系統(tǒng)、流變學及材料和力學
3、系統(tǒng)、信號處理和系統(tǒng)識別、控制和機器人及其他應用領域中的問題。分數階微積分理論也受到越來越多的國內外學者的廣泛關注，特別是從實際問題抽象出來的分數階微分方程成為很多數學工作者的研究熱點。隨著分數階微分方程在越來越多的科學領域里出現，無論對分數階微分方程的理論分析還是數值計算的研究都顯得尤為迫切。然而由于分數階微分是擬微分算子，它的保記憶性（非局部性）對現實問題進行了優(yōu)美刻畫的同時，也給我們的分析和計算造成很大困難。在理論研究方面，幾乎所有結果全都假定了滿足李氏條件，而且證明方法也和經典微積分方程一樣，換句話說，這些工作基本上可以說只是經典微積分方程
4、理論的一個延拓。對分數階微分方程的定性分析很少有系統(tǒng)性的結果，大多只是給出了一些非常特殊的方程的求解，且常用的求解方法都是具有局限性的。在數值求解方面，現有分數階方程數值算法還很不成熟，主要表現為：（1）在數值計算中一些挑戰(zhàn)性難題仍未得到徹底解決，如長時間歷程的計算和大空間域的計算等；（2）成熟的數值算法比較少，現在研究較多的算法主要集中在有限差分方法與有限單元法；（3）未形成成熟的數值計算軟件，嚴重滯后于應用的需要。鑒于此，發(fā)展新數值算法，特別是在保證計算可靠性和精度的前提下，提高計算效率，解決分數階微分方程計算量和存儲量過大的難點問題，發(fā)展相應
5、的計算力學應用軟件成為迫切需要關注的課題。一、預備知識1、分數階微積分經典定義回顧作為分數階微積分方程的基礎，本書在第二章中對分數階微積分的定義及性質做了系統(tǒng)的介紹，為了接下來討論的需要，我們首先對其進行一個簡要的回顧。（1）分數階微積分的主要思想如上圖所示，分數階微積分的主要思想是推廣經典的整數階微積分，從而將微積分的概念延拓到整個實數軸，甚至是整個復平面。但由于延拓的方法多種多樣，因而根據不同的需求人們給出了分數階微積分的不同定義方式。然而這些定義方式不僅只能針對某些特定條件下的函數給出，而且只能滿足人們的某些特定需求，迄今為止，人們仍然沒能給
6、出分數階微積分的一個統(tǒng)一的定義,這對分數階微積分的研究與應用造成了一定的困難。（2）幾種經典的分數階微積分定義下面我們試圖從理論依據、定義域、表達式和優(yōu)缺點幾個方面給出常見的四種分數階微積分定義的比較圖。從上圖我們看到，在分數階微積分的發(fā)展過程中，人們根據不同的需求，從不同角度給出了分數階微積分的定義，但這些定義無論從對象上還是從表達式上都無法實現統(tǒng)一，它們之間的關系大致可以用下圖來表示。注：條件1：在上逐段連續(xù)，且在任何有限子區(qū)間上可積；條件2：在上具有階連續(xù)導數；條件3：，；條件4：，。由上圖我們可以看到，對于不同的分數階微積分定義方式有著不同
7、定義域，即便是在公共區(qū)域內，不同的定義方式之間也無法實現完全的統(tǒng)一，這對分數階微積分的應用和研究造成了一定的困難，因此人們迫切期望著分數階微積分的一種哪怕是形式上的統(tǒng)一定義方式。1、M-R序列分數階微分的定義為了滿足實際需要，下面我們試圖從形式上對分數階微積分給出一種統(tǒng)一的表達式。分數階微積分的主要思想是推廣經典的累次微積分，所有推廣方法的共同目標是以非整數參數取代經典微積分符號中的整數參數，即：實際上，任意的階微分都可以看成是一列一階微分的疊加：（1）由此，我們可以給出一種在很多實際應用中十分重要的分數階微積分的推廣方式。首先，我們假設已有一種合
8、適的推廣方式來將一階微分推廣為（）階微分，即是可實現的。那么類似地可得到（1）的推廣式為：（2）這種推廣方式最初是由和提出
