東三省建模聯(lián)賽論文c題

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1、物資分配問題摘要在各種各樣的搶險(xiǎn)救災(zāi)行動(dòng)中，應(yīng)急物資的合理分配在降低災(zāi)害的影響方面體現(xiàn)出重要作用。我們通過對問題的深入理解和分析，將問題歸結(jié)為非線性規(guī)劃問題。我們首先確立了通過合理優(yōu)化救災(zāi)物資的分配使其能最大限度降低災(zāi)害的影響為根本分配原則。接著我們根據(jù)不同物資在維持災(zāi)民正常生活中所起到的作用大小不同劃定了各物資的優(yōu)先級，給定了適當(dāng)?shù)臋?quán)重；接著綜合考慮各個(gè)災(zāi)民所缺物資的數(shù)量、種類、供給量及物資的權(quán)重，確定了不同災(zāi)民受災(zāi)程度的判定標(biāo)準(zhǔn)；隨后對受災(zāi)情況和物質(zhì)分配情況進(jìn)行了矩陣描述。在此基礎(chǔ)上我們用救

2、災(zāi)效果表示整個(gè)救災(zāi)過程使災(zāi)情降低的程度，并假設(shè)每分配出一個(gè)最小單位的救災(zāi)物資就相應(yīng)產(chǎn)生一定量的救災(zāi)效果，最終整體救災(zāi)效果為它們之和。我們又進(jìn)一步假設(shè)每個(gè)最小單位救災(zāi)物資產(chǎn)生的救災(zāi)效果與分配物資的權(quán)重、分配給的災(zāi)民受災(zāi)程度正相關(guān)，得到了基本的數(shù)學(xué)模型：單位物資救災(zāi)效果=該物資權(quán)重×分配給災(zāi)民的受災(zāi)程度最終救災(zāi)效果=單位物資救災(zāi)效果求和模型的約束條件由各種物資的數(shù)量有限得到。我們以最大限度減小災(zāi)害影響為分配原則，即最大限度增強(qiáng)最終救災(zāi)效果，在此抽象為求解最終救災(zāi)效果在約束條件下的最大值。其對應(yīng)的最優(yōu)

3、解即為最佳分配方案。在模型求解中，我們本著最大程度地發(fā)揮各種物資效用的原則，按照物資的優(yōu)先級從高到低逐一對物資進(jìn)行了分配。在具體分配某一物資時(shí)，首先求得分配結(jié)果與產(chǎn)生的救災(zāi)效果的函數(shù)，繼而簡化為有約束的多元函數(shù)最值問題，并分別采用了MATLAB程序解法和拉格朗日乘數(shù)法。緊接著我們給出了一個(gè)具體災(zāi)情，并用量化后的模型求出最優(yōu)解，通過對結(jié)果的分析研究討論了模型的合理性。最后，我們對模型的優(yōu)缺點(diǎn)進(jìn)行了討論，并提出了模型的改進(jìn)方案，并且對模型的實(shí)際應(yīng)用做了推廣。關(guān)鍵詞救災(zāi)效果物資權(quán)重受災(zāi)程度單位物資一、

4、問題重述某一災(zāi)區(qū)有N名受災(zāi)群眾，現(xiàn)有一批救災(zāi)物資要發(fā)放給這些受災(zāi)者。物資共有M種，每種物質(zhì)的數(shù)量有限；各受災(zāi)者的災(zāi)情不同，對每種物資的急需程度和需求量不同。（1）你作為一名分配者，請制定分配原則并給出合理的分配方法。（2）試給出一個(gè)符合題意的數(shù)值算例。二、符號說明與基本假設(shè)2.1符號說明符號含義第i位災(zāi)民第j種物資第j種物資總量第i位災(zāi)民短缺第j種物資的數(shù)量第i位災(zāi)民分配到的第j種物資的數(shù)量第j種物資的權(quán)重第i位災(zāi)民的受災(zāi)程度2.2基本假設(shè)1.所有物資對降低災(zāi)害的貢獻(xiàn)取決于每單位物資貢獻(xiàn)之和2.

5、每單位物資對降低災(zāi)害的貢獻(xiàn)與該物資的作用大小正相關(guān)3.每單位物資對降低災(zāi)害的貢獻(xiàn)與得到該物資災(zāi)民的災(zāi)情大小正相關(guān)4.每種物資的供給均小于需求三、問題分析與基本思路為減輕自然災(zāi)害的影響，對應(yīng)急物資分配策略的研究就有了十分重要的意義。通過對問題的分析與理解并結(jié)合實(shí)際情況，我們給出了抗險(xiǎn)救災(zāi)中物資分配的基本原則：在應(yīng)急物資有限的情況下，對救災(zāi)物資進(jìn)行最優(yōu)分配，使得分配結(jié)果能最大限度地降低災(zāi)害。我們用最終救災(zāi)效果表示物資分配降低災(zāi)害的程度，那么分配原則就等價(jià)于使最終救災(zāi)效果最大。而最終救災(zāi)效果又與每單位

6、物資產(chǎn)生的救災(zāi)效果有關(guān)。通過給出物資權(quán)重和受災(zāi)程度的概念我們對每單位物資產(chǎn)生的救災(zāi)效果進(jìn)行了數(shù)學(xué)表示，從而通過求和，最終確定了主函數(shù)——最終救災(zāi)效果。在求解模型時(shí)，由于非線性離散優(yōu)化問題的求解十分困難，我們進(jìn)行了適當(dāng)?shù)暮喕?，轉(zhuǎn)化為非線性連續(xù)優(yōu)化問題，繼而通過MATLAB優(yōu)化工具箱和拉格朗日乘數(shù)法求解了模型。在此我們給出整體研究思路：M×N矩陣對物資需求的描述目標(biāo)函數(shù)規(guī)劃受災(zāi)程度的分析判定物資權(quán)重的說明與優(yōu)先級劃分Matlab優(yōu)化工具箱拉格朗日極值M×N型矩陣描述物資分配的方案具體算例比較模型改進(jìn)

7、與推廣優(yōu)缺點(diǎn)評價(jià)四、模型的準(zhǔn)備4.1物資需求狀況的描述某地區(qū)遭受災(zāi)害的一種表現(xiàn)形式為該地區(qū)災(zāi)民的各種生活物資出現(xiàn)了不同程度的短缺。為了描述災(zāi)情即各個(gè)災(zāi)民缺少各種物資的量，我們建立了N×M型矩陣A：其中表示災(zāi)民缺少物資的量。A中數(shù)據(jù)由物資分配者通過對災(zāi)情的調(diào)查得到，均為非負(fù)常數(shù)。其中A的行向量表示災(zāi)民對不同物資的需求量。A的列向量表示整個(gè)災(zāi)區(qū)對物資的需求量情況。4.2物資權(quán)重的說明由于不同物資在維持災(zāi)民正常生活中的作用不同，相同量的不同物資在減輕災(zāi)害的效用上不同。為表征物資的這一特性，我們首先將物

8、資化分為四大類，并為其評定了優(yōu)先級。優(yōu)先級物資大類舉例最高優(yōu)先級關(guān)鍵物資應(yīng)急食品：方便面、礦泉水等較高優(yōu)先級基礎(chǔ)物資衣被、棉被等中等優(yōu)先級重要物資大米、面粉、豆油等較低優(yōu)先級可替代物資其他生活物資：帳蓬等根據(jù)物資所屬大類及其優(yōu)先級，按優(yōu)先級與權(quán)重正相關(guān)的原則，給于物資合理的權(quán)重，規(guī)定1>>0。4.3受災(zāi)程度的評定為表征不同災(zāi)民受災(zāi)嚴(yán)重程度的大小不同，引入函數(shù)表示災(zāi)民的受災(zāi)程度。受災(zāi)程度取決于短缺物資的種類和數(shù)量，同時(shí)受災(zāi)程度也與供給物資總量有關(guān)，當(dāng)物資充足，受災(zāi)程度就相應(yīng)較小。假設(shè)某一時(shí)刻災(zāi)民已