不等式恒成立、能成立、恰成立問題分析

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1、WORD資料下載可編輯不等式恒成立、能成立、恰成立問題分析一、不等式恒成立問題問題引入：已知不等式對(duì)恒成立，其中，求實(shí)數(shù)的取值范圍。分析：思路（1）通過化歸最值，直接求函數(shù)的最小值解決，即。思路（2）通過分離變量，轉(zhuǎn)化到解決，即。思路（3）通過數(shù)形結(jié)合，化歸到作圖解決，即圖像在的上方。小結(jié)：不等式恒成立問題的處理方法1、轉(zhuǎn)換求函數(shù)的最值：（1）若不等式在區(qū)間D上恒成立,則等價(jià)于在區(qū)間D上的下界大于A；（2）若不等式在區(qū)間D上恒成立,則等價(jià)于在區(qū)間D上的上界小于B。tg(t)o·1圖1t=m例已知對(duì)任意恒成立，試求實(shí)數(shù)的

2、取值范圍。解：等價(jià)于對(duì)任意恒成立,又等價(jià)于時(shí),成立.由于在上為增函數(shù),則,所以2、分離參數(shù)法（1）將參數(shù)與變量分離，即化為（或）恒成立的形式；（2）求在上的最大（或最?。┲?；（3）解不等式(或)，得的取值范圍。例已知函數(shù)時(shí)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍。解：將問題轉(zhuǎn)化為對(duì)恒成立。專業(yè)資料整理分享WORD資料下載可編輯令，則由可知在上為減函數(shù)，故∴即的取值范圍為。注：分離參數(shù)后，方向明確，思路清晰能使問題順利得到解決。例已知二次函數(shù)，若時(shí)，恒有，求的取值范圍。解：，，即（1）當(dāng)時(shí)，不等式顯然成立，（2）當(dāng)時(shí)，由得，，．又，，．

3、綜上得，的取值范圍為。3、數(shù)形結(jié)合法（1）若不等式在區(qū)間D上恒成立，則等價(jià)于在區(qū)間D上函數(shù)和圖象在函數(shù)圖象上方；（2）若不等式在區(qū)間D上恒成立，則等價(jià)于在區(qū)間D上函數(shù)和圖象在函數(shù)圖象下方。例設(shè),,若恒有成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.x-2-4yO-4分析：在同一直角坐標(biāo)系中作出及的圖象如圖所示，的圖象是半圓的圖象是平行的直線系。要使恒成立，則圓心到直線的距離專業(yè)資料整理分享WORD資料下載可編輯滿足解得（舍去)例當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求的取值范圍．分析：注意到函數(shù)，都是我們熟悉的函數(shù)，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，可知要使對(duì)一切，恒成立，

4、只要在內(nèi)，的圖象在圖象的上方即可．顯然，再運(yùn)用函數(shù)思想將不等式轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，即．解：設(shè)，，則要使對(duì)一切，恒成立，由圖象可知，并且，故有，，又點(diǎn)評(píng)：通過上述的等價(jià)轉(zhuǎn)化，使恒成立的解決得到了簡(jiǎn)化，其中也包含著函數(shù)思想和數(shù)形結(jié)合思想的綜合運(yùn)用。此外，從圖象上直觀得到后還需考查區(qū)間右端點(diǎn)處的函數(shù)值的大小。4、變換主元法例對(duì)于滿足的一切實(shí)數(shù)，不等式恒成立，試求的取值范圍。分析：習(xí)慣上把當(dāng)作自變量，記函數(shù)，于是問題轉(zhuǎn)化為：當(dāng)時(shí)，恒成立，求的取值范圍．解決這個(gè)等價(jià)的問題需要應(yīng)用二次函數(shù)以及二次方程的區(qū)間根原理，可想而知，這是

5、相當(dāng)復(fù)雜的。解：設(shè)函數(shù)，顯然，則是的一次函數(shù)，要使恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)，且時(shí)，解得的取值范圍是。點(diǎn)評(píng)：本題看上去是一個(gè)不等式問題，但是經(jīng)過等價(jià)轉(zhuǎn)化，把它化歸為關(guān)于的一次函數(shù)，利用一次函數(shù)的單調(diào)性求解，解題的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)換變量角色。例對(duì)任意，不等式恒成立，求的取值范圍。分析：題中的不等式是關(guān)于的一元二次不等式，但若把看成主元，則問題可轉(zhuǎn)化為一次不等式在上恒成立的問題。專業(yè)資料整理分享WORD資料下載可編輯解：令，則原問題轉(zhuǎn)化為恒成立（）。當(dāng)時(shí)，可得，不合題意。當(dāng)時(shí)，應(yīng)有解之得。故的取值范圍為。注：一般地，一次函數(shù)在上恒有的充要條

6、件為。例設(shè)函數(shù)，對(duì)任意，都有在恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍。分析：解決雙參數(shù)問題一般是先解決一個(gè)參數(shù)，再處理另一個(gè)參數(shù)。以本題為例，實(shí)質(zhì)還是通過函數(shù)求最值解決。方法1：化歸最值，；方法2：變量分離，或；方法3：變更主元，，簡(jiǎn)解：對(duì)于方法3：變更主元，原函數(shù)可以看成是關(guān)于的函數(shù)，只需即可，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)有最大值在恒成立，只需。當(dāng)時(shí)，，得的取值范圍是。練習(xí)題1、設(shè),當(dāng)x[-1,+]時(shí)，都有恒成立，求a的取值范圍。解：a的取值范圍為[-3，1]2、R上的函數(shù)既是奇函數(shù)，又是減函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，有恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。tg(t)

7、o·1圖2t=m解：由得到：因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，故有恒成立，又因?yàn)闉镽減函數(shù)，從而有對(duì)專業(yè)資料整理分享WORD資料下載可編輯恒成立。設(shè)，則對(duì)于恒成立，設(shè)函數(shù),對(duì)稱軸為.tg(t)o·1圖3t=m①當(dāng)時(shí)，，即，又∴(如圖1)②當(dāng)，即時(shí),,即,∴,又,∴(如圖2)③當(dāng)時(shí)，恒成立.∴（如圖3）故由①②③可知：.3、若不等式對(duì)恒成立，實(shí)數(shù)a的取值范圍是。4、若對(duì)于任意，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)x的取值范圍解：5、當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，則的取值范圍__________解析：當(dāng)時(shí)，由得.∴.O6、若對(duì)任意,不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__

8、______解析：對(duì),不等式恒成立則由一次函數(shù)性質(zhì)及圖像知，即。二、不等式能成立問題若在區(qū)間D上存在實(shí)數(shù)使不等式成立，則等價(jià)于在區(qū)間D上；若在區(qū)間D上存在實(shí)數(shù)使不等式成立，則等價(jià)于在區(qū)間D上的專業(yè)資料整理分享WORD資料下載可編輯例已知不等式在實(shí)數(shù)集R上的解集不是空集，求實(shí)數(shù)的取值范圍______解：例若關(guān)于的不等式的解集不是空集