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《求函數(shù)定義域和值域方法和典型題歸納》由會(huì)員上傳分享,免費(fèi)在線閱讀,更多相關(guān)內(nèi)容在工程資料-天天文庫(kù)。
1、完美WORD格式<一>求函數(shù)定義域、值域方法和典型題歸納一、基礎(chǔ)知識(shí)整合1.函數(shù)的定義:設(shè)集合A和B是非空數(shù)集,按照某一確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f,使得集合A中任意一個(gè)數(shù)x,在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)與之對(duì)應(yīng)。則稱f:為A到B的一個(gè)函數(shù)。2.由定義可知:確定一個(gè)函數(shù)的主要因素是①確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系(f),②集合A的取值范圍。由這兩個(gè)條件就決定了f(x)的取值范圍③{y
2、y=f(x),x∈A}。3.定義域:由于定義域是決定函數(shù)的重要因素,所以必須明白定義域指的是:(1)自變量放在一起構(gòu)成的集合,成為定義域。(2)數(shù)學(xué)表
3、示:注意一定是用集合表示的范圍才能是定義域,特殊的一個(gè)個(gè)的數(shù)時(shí)用“列舉法”;一般表示范圍時(shí)用集合的“描述法”或“區(qū)間”來表示。4.值域:是由定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系(f)共同作用的結(jié)果,是個(gè)被動(dòng)變量,所以求值域時(shí)一定注意求的是定義域范圍內(nèi)的函數(shù)值的范圍。(1)明白值域是在定義域A內(nèi)求出函數(shù)值構(gòu)成的集合:{y
4、y=f(x),x∈A}。(2)明白定義中集合B是包括值域,但是值域不一定為集合B。二、求函數(shù)定義域(一)求函數(shù)定義域的情形和方法總結(jié)1已知函數(shù)解析式時(shí):只需要使得函數(shù)表達(dá)式中的所有式子有意義。(1)常見要是滿足有意
5、義的情況簡(jiǎn)總:①表達(dá)式中出現(xiàn)分式時(shí):分母一定滿足不為0;②表達(dá)式中出現(xiàn)根號(hào)時(shí):開奇次方時(shí),根號(hào)下可以為任意實(shí)數(shù);開偶次方時(shí),根號(hào)下滿足大于或等于0(非負(fù)數(shù))。③表達(dá)式中出現(xiàn)指數(shù)時(shí):當(dāng)指數(shù)為0時(shí),底數(shù)一定不能為0.④根號(hào)與分式結(jié)合,根號(hào)開偶次方在分母上時(shí):根號(hào)下大于0.⑤表達(dá)式中出現(xiàn)指數(shù)函數(shù)形式時(shí):底數(shù)和指數(shù)都含有x,必須滿足指數(shù)底數(shù)大于0且不等于1.(0<底數(shù)<1;底數(shù)>1)⑥表達(dá)式中出現(xiàn)對(duì)數(shù)函數(shù)形式時(shí):自變量只出現(xiàn)在真數(shù)上時(shí),只需滿足真數(shù)上所有式子大于0,且式子本身有意義即可;自變量同時(shí)出現(xiàn)在底數(shù)和真數(shù)上時(shí),
6、要同時(shí)滿足真數(shù)大于0,底數(shù)要大于0且不等于1.()注:(1)出現(xiàn)任何情形都是要注意,讓所有的式子同時(shí)有意義,及最后求的是所有式子解集的交集。(2)求定義域時(shí),盡量不要對(duì)函數(shù)解析式進(jìn)行變形,以免發(fā)生變化。(形專業(yè)整理分享完美WORD格式如:)2.抽象函數(shù)(沒有解析式的函數(shù))解題的方法精髓是“換元法”,根據(jù)換元的思想,我們進(jìn)行將括號(hào)為整體的換元思路解題,所以關(guān)鍵在于求括號(hào)整體的取值范圍??偨Y(jié)為:(1)給出了定義域就是給出了所給式子中x的取值范圍;(2)在同一個(gè)題中x不是同一個(gè)x;(3)只要對(duì)應(yīng)關(guān)系f不變,括號(hào)的取值
7、范圍不變。(4)求抽象函數(shù)的定義域個(gè)關(guān)鍵在于求f(x)的取值范圍,及括號(hào)的取值范圍。例1:已知f(x+1)的定義域?yàn)閇-1,1],求f(2x-1)的定義域。解:∵f(x+1)的定義域?yàn)閇-1,1];(及其中x的取值范圍是[-1,1])∴;(x+1的取值范圍就是括號(hào)的取值范圍)∴f(x)的定義域?yàn)閇0,2];(f不變,括號(hào)的取值范圍不變)∴f(2x-1)中∴∴f(2x-1)的定義域?yàn)?.復(fù)合函數(shù)定義域復(fù)合函數(shù)形如:,理解復(fù)合函數(shù)就是可以看作由幾個(gè)我們熟悉的函數(shù)組成的函數(shù),或是可以看作幾個(gè)函數(shù)組成一個(gè)新的函數(shù)形式。
8、例2:分析:由題目可以看出g(x)是由y=x+1、y=x-2和y=f(x)三個(gè)函數(shù)復(fù)合起來的新函數(shù)。此時(shí)做加運(yùn)算,所以只要求出f(x+1)和f(x-2)的定義域,再根據(jù)求函數(shù)定義域要所有式子同時(shí)滿足,即只要求出f(x+1)和f(x-2)的定義域的交集即可。解:由f(x)的定義域?yàn)椋?2,3),則f(x+1)的定義域?yàn)椋?3,2),f(x-2)的定義域?yàn)椋?,4);,解得09、求下列函數(shù)的定義域(3)與函數(shù)定義域有關(guān)的問題題①若函數(shù)的定義域?yàn)镽,求實(shí)數(shù)m的取值范圍。②函數(shù)的定義域?yàn)镽,求k的取值范圍。③函數(shù)的定義域?yàn)镽,求m的取值范圍。2.求抽象數(shù)定義域①若函數(shù)f(x)的定義域?yàn)椋?2,6),求的定義域。②若數(shù)求函數(shù)的定義域。③若數(shù)求函數(shù)的定義域。④若函數(shù),求函數(shù)g(x)的定義域。專業(yè)整理分享完美WORD格式⑤若,,令F(x)=f(x)-g(x),求F(x)的定義域。二、求函數(shù)值域(一)求函數(shù)值域方法和情形總結(jié)1.直接觀察法(利用函數(shù)圖象)一般用于給出圖象或是常見的函數(shù)的情形,根據(jù)圖
10、象來看出y值的取值范圍。2.配方法適用于二次函數(shù)型或是可以化解成二次函數(shù)型的函數(shù),此時(shí)注意對(duì)稱軸的位置,在定義域范圍內(nèi)(以a<0為例),此時(shí)對(duì)稱軸的地方為最大值,定義域?yàn)閮?nèi)端點(diǎn)離對(duì)稱軸最遠(yuǎn)的端點(diǎn)處有最小值;對(duì)稱軸在定義域的兩邊則根據(jù)單調(diào)性來求值域??偨Y(jié)為三個(gè)要點(diǎn):(1)含參數(shù)的二次型函數(shù),首先判斷是否為二次型,即討論a;(2)a不為0時(shí),討論開口方向;(3)注意區(qū)間,即討論對(duì)稱軸。例1