奧數(shù)：牛吃草問(wèn)題c級(jí)

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1、牛吃草問(wèn)題知識(shí)框架（1）英國(guó)科學(xué)家牛頓在他的《普通算術(shù)》一書中，有一道關(guān)于牛在牧場(chǎng)上吃草的問(wèn)題，即牛在牧場(chǎng)上吃草，牧場(chǎng)上的草在不斷的、均勻的生長(zhǎng)．后人把這類問(wèn)題稱為牛吃草問(wèn)題或叫做“牛頓問(wèn)題”．（2）“牛吃草”問(wèn)題主要涉及三個(gè)量：草的數(shù)量、牛的頭數(shù)、時(shí)間．難點(diǎn)在于隨著時(shí)間的增長(zhǎng)，草也在按不變的速度均勻生長(zhǎng)，所以草的總量不定．“牛吃草”問(wèn)題是小學(xué)應(yīng)用題中的難點(diǎn)．（3）解“牛吃草”問(wèn)題的主要依據(jù)：草的每天生長(zhǎng)量不變；每頭牛每天的食草量不變；草的總量草場(chǎng)原有的草量新生的草量，其中草場(chǎng)原有的草量是一個(gè)固定值新生的草量每天生長(zhǎng)量天數(shù)．（4）同一片牧場(chǎng)中的“牛吃草”問(wèn)

2、題，一般的解法可總結(jié)為：⑴設(shè)定1頭牛1天吃草量為“1”；⑵草的生長(zhǎng)速度(對(duì)應(yīng)牛的頭數(shù)較多天數(shù)對(duì)應(yīng)牛的頭數(shù)較少天數(shù))(較多天數(shù)較少天數(shù))；⑶原來(lái)的草量對(duì)應(yīng)牛的頭數(shù)吃的天數(shù)草的生長(zhǎng)速度吃的天數(shù)；⑷吃的天數(shù)原來(lái)的草量(牛的頭數(shù)草的生長(zhǎng)速度)；⑸牛的頭數(shù)原來(lái)的草量吃的天數(shù)草的生長(zhǎng)速度．（1）“牛吃草”問(wèn)題有很多的變例，像抽水問(wèn)題、檢票口檢票問(wèn)題等等，只有理解了“牛吃草”問(wèn)題的本質(zhì)和解題思路，才能以不變應(yīng)萬(wàn)變，輕松解決此類問(wèn)題．重難點(diǎn)（1）理解牛吃草這類題目的解題步驟，掌握牛吃草問(wèn)題的對(duì)比的解題思路.（2）初步了解牛吃草的變式題，會(huì)將一些變式題與牛吃草問(wèn)題進(jìn)行區(qū)別與

3、聯(lián)系例題精講一、一塊草地的牛吃草【例1】由于天氣逐漸變冷，牧場(chǎng)上的草每天以均勻的速度減少．經(jīng)計(jì)算，牧場(chǎng)上的草可供20頭牛吃5天，或可供16頭牛吃6天．那么，可供11頭牛吃幾天？【考點(diǎn)】牛吃草問(wèn)題【難度】3星【題型】解答【解析】設(shè)1頭牛1天的吃草量為“1”，天自然減少的草量為，原有草量為：．若有11頭牛來(lái)吃草，每天草減少；所以可供11頭牛吃(天)．【答案】天【鞏固】由于天氣逐漸冷起來(lái)，牧場(chǎng)上的草不僅不長(zhǎng)，反而以固定的速度在減少。如果某塊草地上的草可供25頭牛吃4天，或可供16頭牛吃6天，那么可供10頭牛吃多少天？【考點(diǎn)】牛吃草問(wèn)題【難度】3星【題型】解答【解

4、析】設(shè)1頭牛1天吃的草為“1”。牧場(chǎng)上的草每天自然減少原來(lái)牧場(chǎng)有草可供10頭牛吃的天數(shù)是：(天)。【答案】天一、牛羊一起吃草的“牛吃草問(wèn)題”【例1】一片勻速生長(zhǎng)的牧草，如果讓馬和牛去吃，15天將草吃盡；如果讓馬和羊去吃，20天將草吃盡；如果讓牛和羊去吃，30天將草吃盡．已知牛和羊每天的吃草量的和等于馬每天的吃草量．現(xiàn)在讓馬、牛、羊一起去吃草，幾天可以將這片牧草吃盡？【考點(diǎn)】牛吃草問(wèn)題【難度】4星【題型】解答【關(guān)鍵詞】對(duì)比思想方法【解析】設(shè)1匹馬1天吃草量為“1”，根據(jù)題意，有：15天馬和牛吃草量原有草量天新生長(zhǎng)草量……⑴20天馬和羊吃草量原有草量天新生長(zhǎng)草

5、量……⑵30天牛和羊(等于馬)吃草量原有草量天新生長(zhǎng)草量……⑶由可得：30天牛吃草量原有草量，所以：牛每天吃草量原有草量；由⑶可知，30天羊吃草量天新生長(zhǎng)草量，所以：羊每天吃草量每天新生長(zhǎng)草量；設(shè)馬每天吃的草為份將上述結(jié)果帶入⑵得：原有草量，所以牛每天吃草量．這樣如果同時(shí)放牧牛、羊、馬，可以讓羊去吃新生長(zhǎng)的草，牛和馬吃原有的草，可以吃：(天)．【答案】天【鞏固】現(xiàn)在有牛、羊、馬吃一塊草地的草，牛、馬吃需要45天吃完，于是馬、羊吃需要60天吃完，于是牛、羊吃需要90天吃完，牛、羊一起吃草的速度為馬吃草的速度，求馬、牛、羊一起吃，需多少時(shí)間?【考點(diǎn)】牛吃草問(wèn)題

6、【難度】4星【題型】解答【解析】牛、馬45天吃了原有天新長(zhǎng)的草①牛、馬90天吃了2原有天新長(zhǎng)的草⑤馬、羊60天吃了原有天新長(zhǎng)的草②牛、羊90天吃了原有天新長(zhǎng)的草③馬90天吃了原有天新長(zhǎng)的草④所以，由④、⑤知，牛吃了90天，吃了原有的草；再結(jié)合③知，羊吃了90天，吃了90天新長(zhǎng)的草，所以，可以將羊視為專門吃新長(zhǎng)的草．所以，②知馬60天吃完原有的草，③知牛90天吃完原有的草．現(xiàn)在將牛、馬、羊放在一起吃；還是讓羊吃新長(zhǎng)的草，牛、馬一起吃原有的草.所需時(shí)間為天.所以，牛、羊、馬一起吃，需36天．【答案】天一、“牛”吃草問(wèn)題的變例【例1】一水庫(kù)原有存水量一定，河水每

7、天均勻入庫(kù).5臺(tái)抽水機(jī)連續(xù)20天可抽干；6臺(tái)同樣的抽水機(jī)連續(xù)15天可抽干.若要求6天抽干，需要多少臺(tái)同樣的抽水機(jī)？【考點(diǎn)】牛吃草問(wèn)題【難度】3星【題型】解答【解析】水庫(kù)原有的水與20天流入的水可供多少臺(tái)抽水機(jī)抽1天？(臺(tái)).水庫(kù)原有的水與15天流入的水可供多少臺(tái)抽水機(jī)抽1天？(臺(tái)).每天流入的水可供多少臺(tái)抽水機(jī)抽1天？(臺(tái)).原有的水可供多少臺(tái)抽水機(jī)抽1天？(臺(tái)).若6天抽完，共需抽水機(jī)多少臺(tái)？(臺(tái)).【答案】臺(tái)【鞏固】北京密云水庫(kù)建有個(gè)泄洪洞，現(xiàn)在水庫(kù)的水位已經(jīng)超過(guò)安全線，并且水量還在以一個(gè)不變的速度增加，為了防洪，需要調(diào)節(jié)泄洪的速度，假設(shè)每個(gè)閘門泄洪的

8、速度相同，經(jīng)測(cè)算，若打開一個(gè)泄洪閘，個(gè)小時(shí)以后水位降至安全線；若同