分段函數(shù)在分段點(diǎn)處求導(dǎo)方法初探

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1、分段函數(shù)在分段點(diǎn)處求導(dǎo)方法初探?摘要：本文利用微分中值定理對分段函數(shù)在分段點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)進(jìn)行了討論，并給出了一種求導(dǎo)方法。關(guān)鍵詞：分段函數(shù)，分段點(diǎn)，導(dǎo)數(shù)，微分中值定理。一、問題的提出在《微積分》教材及很多高等數(shù)學(xué)參考書中，分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù)一般按下面方法來求：（1）在各個部分區(qū)間內(nèi)用導(dǎo)數(shù)公式與運(yùn)算法則求導(dǎo)。（2）在分段點(diǎn)處按導(dǎo)數(shù)定義求導(dǎo)，即求分段點(diǎn)處的左、右導(dǎo)數(shù)。而分段點(diǎn)處可導(dǎo)的充分必要條件是左、右導(dǎo)數(shù)存在且相等。但是，我在教學(xué)過程中經(jīng)常發(fā)現(xiàn)：一些學(xué)生在求分段函數(shù)在分段點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)時，不按導(dǎo)數(shù)定義去求左、右導(dǎo)數(shù)，而是利用導(dǎo)函數(shù)在分段點(diǎn)處的左、右極限得出左、右導(dǎo)數(shù)。例如：設(shè)

2、函數(shù)：?????討論在分段點(diǎn)處的可導(dǎo)性時，一些學(xué)生這樣來求左、右導(dǎo)數(shù)：而這樣做得結(jié)果與按導(dǎo)數(shù)定義求左、右導(dǎo)數(shù)所得結(jié)果相同，那么這樣做對不對呢？下面我們來討論這一問題。二、問題探討定理：設(shè)分段函數(shù)其中，均為初等函數(shù)，在a點(diǎn)右鄰域可導(dǎo)，在點(diǎn)左鄰域可導(dǎo)，在處連續(xù)，若極限?，存在，則有：,證：因為在處連續(xù)，則當(dāng)時，因在點(diǎn)右鄰域可導(dǎo)，故在內(nèi)可導(dǎo)，又為初等函數(shù)，故在上連續(xù)，從而在上滿足微分中值定理的條件，由微分中值定理有：　　　　　故由導(dǎo)數(shù)定義有：又因為，則當(dāng)時，有從而可得：當(dāng)時，雖然在處無定義，但因為在處連續(xù)，則可以補(bǔ)充定義，令：又為初等函數(shù)，故在上連續(xù)，又在點(diǎn)的左鄰域可

3、導(dǎo)，故在上可導(dǎo)，從而由微分中值定理可得：?????完全類似地可推得：??????????綜上所述，我們有：??????????????????????????關(guān)于該定理，我們進(jìn)一步說明以下幾點(diǎn)：1、在滿足該定理條件之下，可利用該定理結(jié)論求出與，然后比較與是否相等，從而得出在處是否可導(dǎo)的結(jié)論。這樣，就避免了用導(dǎo)數(shù)定義求左、右導(dǎo)數(shù)的麻煩。2、該定理要求在處連續(xù)。事實上，若在處不連續(xù)，由連續(xù)與可導(dǎo)關(guān)系知，不連續(xù)一定不可導(dǎo)，由此可得出在處不可導(dǎo)的結(jié)論。因此應(yīng)用該定理結(jié)論時，應(yīng)判斷在處是否連續(xù)。否則，即使有，也不一定在處可導(dǎo)。例：????雖然有，但在處不可導(dǎo)，因為在處不連

4、續(xù)。3、若與極限至少有一個不存在時，在處可能可導(dǎo)，也可能不可導(dǎo)，需用導(dǎo)數(shù)定義判斷。例如函數(shù)：?????????討論在處的可導(dǎo)性時，由連續(xù)性定義可知在處連續(xù)，而極限不存在，并不意味著不存在，此時用導(dǎo)數(shù)定義求：則在處可導(dǎo)。4、該定理給出了分段函數(shù)只有一個分段點(diǎn)的情況，對于分段函數(shù)有多個分段點(diǎn)的情況，可完全類似得出相應(yīng)的結(jié)論。三、應(yīng)用舉例例1、討論函數(shù)?在處的可導(dǎo)性。解：?????????故?從而在處連續(xù)由定理可知：?從而有：所以在處可導(dǎo)。例2：討論函數(shù)????在處的可導(dǎo)性。解：由于????????則，故在處連續(xù)，由定理可知：故在處可導(dǎo)。例３．函數(shù)　，確定的值，使在處

5、可導(dǎo)。解：因為在處可導(dǎo)，則在處連續(xù)，故有：?????????從而有：，即?????????????????　　　　　　　　　　　(1)又在處可導(dǎo)，則有從而有??????????????????????????????????　　　　　　　(2)由（1）、（2）可得：?參考文獻(xiàn)：［１］李靜芬，劉蒲凰　經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)　西南財經(jīng)大學(xué)出版社,１９９４