淺談導數(shù)在高中數(shù)學的幾點應用

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1、淺談導數(shù)在高中數(shù)學的幾點應用　　《普通高中數(shù)學課程標準（實驗）》指出：高中數(shù)學課程是由必修課程和選修課程兩部分構成的。必修課程是整個高中數(shù)學課程的基礎，選修課程是在完成必修課程學習的基礎上，希望進一步學習數(shù)學的學生根據(jù)自己的興趣和需求選修。選修課程由系列1、系列2、系列3、系列4等組成，在系列1和系列2中都選擇了導數(shù)及其應用。顯然，導數(shù)在高中階段的重要性不言而喻。具體如下：　　一、有利于學生更好地理解函數(shù)的性態(tài)　　在高中階段學習函數(shù)時，為了理解函數(shù)的性態(tài)，學生主要學習函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、周期性、有界性等。我們知道，函數(shù)的這些性質都可以通過函數(shù)的圖象表

2、示出來，因而，如果能準確地做出函數(shù)的圖象，函數(shù)的性質就一目了然，函數(shù)的性態(tài)也容易掌握了。　　如果所涉及的函數(shù)是基本初等函數(shù)，用描點法就可以做出函數(shù)的圖象。但是，如果所涉及的函數(shù)是非基本初等函數(shù)，比如y=x3-2x2+x-1等函數(shù)，僅用描點法就很難較為準確地做出圖象。但是，掌握了導數(shù)的知識之后，學生就可以利用函數(shù)的一階導數(shù)判定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值點、最值點；利用函數(shù)的二階導數(shù)判定函數(shù)的凹凸區(qū)間、拐點；利用極限的思想找出其水平漸近線和垂直漸近線，然后再結合描點法，就能較為準確地做出函數(shù)的圖象。這樣就有利于學生更好地理解函數(shù)的性態(tài)，同時也拓寬了學生的知識面。4　　二、有利

3、于學生更好地掌握函數(shù)思想　　數(shù)學上的許多問題，用初等數(shù)學方法是不能解決的，或者難以解決，而通過數(shù)學模型建立函數(shù)關系，利用函數(shù)思想，然后用導數(shù)來研究其性質，充分發(fā)揮導數(shù)的工具性和應用性的作用，可以輕松簡捷地獲得問題的解決，這也正體現(xiàn)和顯示了新課程的優(yōu)越性?！　∑鋵嵨覀儾浑y發(fā)現(xiàn)，函數(shù)是建立在中學數(shù)學知識和導數(shù)之間的一座橋梁，不管是在證明不等式，解決數(shù)列求和的有關問題，以及解決一些實際應用問題，我們都可以構造函數(shù)模型，并且利用導數(shù)來解決相關問題?！　∪?、有利于學生弄清曲線的切線問題　　學生由于受“圓上某點的切線”的定義的影響，誤認為曲線在某點處的切線，就是與曲線有一個公共

4、點的直線。如果學習了導數(shù)的定義及其幾何意義后，學生就知道f（x）在點x=x0的切線斜率k，正是割線斜率在x→x0時的極限，即k=■=■。　　由導數(shù)的定義，k=f′（x），所以曲線y=f（x）在點（x0，y0）的切線方程是y-y0=f′（x0）（x-x0）?！　∵@就是說：函數(shù)f在點x0的導數(shù)f′（x0）是曲線y=　　f（x）在點（x0，y0）處的切線斜率[1]?！　亩瑢W生就掌握了切線的一般定義：設有曲線C及C上的一點P，在點P外另取曲線C上一點Q，作割線PQ，當點Q沿曲線C趨向點P時，如果割線PQ繞點P旋轉而趨向極限位置PT，那么直線PT就稱為曲線C在點P處的切線

5、?！　∷?、有利于學生學好其他學科4　　高中的物理、化學等課程都與數(shù)學緊密相關，我們所學的導數(shù)是微分學的核心概念，它在物理、化學、生物、天文、工程以及地質學等中都有著廣泛的應用。微積分所討論的基本對象是函數(shù)，而且以函數(shù)的極限為基礎。作為微積分的一個重要分支――微分學，主要涉及變量的“變化率”問題，對于y=f（x），導數(shù)f′（x）可以解釋為y關于x的變化率。在學習并且掌握了導數(shù)及其應用以后，學生就可以很容易地根據(jù)做變速直線運動物體的運動方程：S=S（t），算出物體的瞬時速度：V（t）=ds/dt，瞬時加速度：A（t）=d2s/dt2；對化學中的反應速度、冷卻速度等也都可

6、以通過微積分的方法來解決了。　　五、有利于發(fā)展學生的思維能力　　在以前的《課程標準》中，無論是導數(shù)的概念還是應用，更多的是作為一種規(guī)則來教、來學。這樣造成的后果是：不僅使學生感受不到學習導數(shù)有什么好處，反而加重了他們的學習負擔?！　《镀胀ǜ咧袛?shù)學課程標準（實驗）》就對這一部分內(nèi)容的教育價值、定位和處理做了一定的變化：即在高中階段，應通過大量的實例，讓學生理解從“平均變化到瞬時變化”、從“有限到無限”的思想，認識和理解這種特殊的極限，通過它了解這種認識世界的思維方式，提高學生的思維能力?！　≡僬撸€可以讓學生體會研究導數(shù)所用的思想方法：先研究函數(shù)在某一點處的導數(shù)，再

7、過渡到一個區(qū)間上；在應用導數(shù)解決實際問題時，利用函數(shù)在某個區(qū)間上的性質來研究曲線在某一點處的性質。這種從局部到整體，再由整體到局部的思想方法是很值得學生學習的。4　　還有，導數(shù)在解題中的應用也很重要，導數(shù)是研究函數(shù)性質的一種重要工具。而在處理與不等式有關的綜合性問題時，往往需要利用函數(shù)的性質；因此，很多時候可以利用導數(shù)作為工具得出函數(shù)性質，從而解決不等式問題?！　】傊ㄟ^學習導數(shù)，使學生學會以動態(tài)的、變化的、無限的變量數(shù)學觀點來研究問題，而不僅僅是停留在靜態(tài)的、不變的、有限的常量數(shù)學觀點上。在學習過程中逐步體會常量與變量、有限與無限、近似與準確、動與靜、直與曲