應(yīng)矩理論下梁的變形

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1、http://www.paper.edu.cn應(yīng)矩理論下梁的變形新概念彈性理論（5）123韓文壩，蔡冰清，韓曉東1中國(guó)石化總公司揚(yáng)子石油化工股份有限公司，南京（210048）2哈爾濱工業(yè)大學(xué)，哈爾濱（150001）3深圳岱宇實(shí)業(yè)有限公司，深圳（518035）[1]摘要：應(yīng)矩理論證明了純彎曲體內(nèi)無(wú)正應(yīng)力，證明了彎應(yīng)矩（單位面積彎矩的極限）不[1]為零。因此，對(duì)應(yīng)力理論下推導(dǎo)出來(lái)的撓曲線微分方程要修正為用應(yīng)矩表示的撓曲線微分方程。而應(yīng)力理論下設(shè)計(jì)的梁尺寸越大越不能滿足剛度要求，保證剛度要求的尺寸，稱為臨界尺寸。本

2、文推導(dǎo)出不同截面梁的臨界尺寸。正方形梁的臨界尺寸為邊長(zhǎng)am*30=m，矩形梁高h(yuǎn)m*30=m，及圓形梁直徑Dm*34=m為臨界尺寸。凡小于臨界尺寸的梁都能保證剛度要求，凡大于臨界尺寸的梁都不能滿足剛度要求，尺寸愈大，剛度下降的應(yīng)愈利害。推導(dǎo)出應(yīng)力理論下的轉(zhuǎn)角和撓度與應(yīng)矩理論下的扭角和撓度的當(dāng)量關(guān)系式。同時(shí)得出：兩種理論下的轉(zhuǎn)角和撓度的公式形式不變。應(yīng)矩理論下的轉(zhuǎn)角和撓度只要把應(yīng)力理論下公式中的E換成G，把I換成S即成為應(yīng)矩理論下的變形公式。通過(guò)用兩種理論對(duì)轉(zhuǎn)角和撓度對(duì)比計(jì)wzz算得出：當(dāng)梁的尺寸大于臨界尺寸時(shí)

3、，應(yīng)矩理論下的變形要比應(yīng)力理論大的多，說(shuō)明應(yīng)力理論不能保證剛度要求。關(guān)鍵詞：撓曲線微分方程，端面轉(zhuǎn)角，最大撓度，臨界尺寸5.1前言彎曲變形如果達(dá)不到要求會(huì)造成磨損不勻，產(chǎn)生噪音，降低壽命，影響加工精度等。而應(yīng)矩理論得出，凡大于臨界尺寸的梁，其轉(zhuǎn)角和撓度都嚴(yán)重超標(biāo)。這就找到了加工產(chǎn)品精品不夠的根本原因。用兩種理論下?lián)隙然蜣D(zhuǎn)角相等時(shí)，推導(dǎo)出來(lái)的臨界尺寸與用彎曲變形能推導(dǎo)出來(lái)的臨界尺寸完全相同。兩種理論下變形公式的形式相同，只要把拉伸彈性模量E換成彎曲彈性模量；把慣性矩I換成絕對(duì)靜矩S就可以了，不需要對(duì)不同形式，受

4、不同載荷zz的梁重新做一一推導(dǎo)。由于梁變形剛度的臨界尺寸與強(qiáng)度的臨界尺寸完全相同，因此對(duì)彎曲的細(xì)長(zhǎng)桿及短梁下一個(gè)完整的定義：凡小于臨界尺寸的梁（碳素剛圓梁為D*3≤4mm，短形和方形梁hm*3≤0m）定為細(xì)長(zhǎng)梁；現(xiàn)行彈性理論的公式只適用于細(xì)長(zhǎng)梁；凡大于臨界尺寸的梁稱為短粗梁，應(yīng)矩理論的新公式適用于短粗梁。這就找到短粗梁斷裂事故經(jīng)常出現(xiàn)的根本原因，及轉(zhuǎn)角和剛度不能滿足要求的根本原因，是彈性基礎(chǔ)理論錯(cuò)誤造成的。5.2應(yīng)矩理論下梁的撓曲線微分方程[2]正應(yīng)力理論推導(dǎo)出梁的撓曲線近似微分方程為2dyM=（5.1）2d

5、xEIz而應(yīng)矩理論認(rèn)為撓曲線是由彎矩產(chǎn)生的，不是正應(yīng)力產(chǎn)生的，因此不能用拉伸虎克定律推導(dǎo)其公式，而是要用彎曲定律和彎應(yīng)矩的公式來(lái)推導(dǎo)。-1-http://www.paper.edu.cn圖5.1梁橫截面上距中性軸為y處的線應(yīng)變Figure5.1linestraininthesectionofgirder(y)由圖5.1（a）的矩形截面梁，在P作用下變形為凹曲線，在X處，取微段dx。其曲率半徑為ρ，轉(zhuǎn)角為θ。如圖5.1（b）所示，在距離中性軸為Y處的線應(yīng)變?yōu)棣?，則有（詳y見材料力學(xué)的推導(dǎo)）yε=（a）yρ[3]

6、由彎曲定律得y處的彎應(yīng)矩為m=Gε（4.1）xzwy[3]由彎應(yīng)矩公式得y處的彎應(yīng)矩為M(x)m=y（4.5）xzSz把（a）式和（4.1）式代入（4.5）式，可得M(x)1=（5.2）GSρwz由高等數(shù)學(xué)可知，曲線y=f（x）的任一點(diǎn)曲率公式為2dy1dx2=±（b）3ρdy2[1+()]2dx由（5.2）式和（b）式，可得2ayM()xdx2=±（c）3GwSzdy22[1+()]dx（c）式就是應(yīng)矩理論下的撓曲線微分方程。dydy2由于梁是小變形，且梁的撓曲線為一平緩曲線，故轉(zhuǎn)角=?遠(yuǎn)小于1。()比1d

7、xdxdy2更小。因此()可略。（c）式就變成dx-2-http://www.paper.edu.cn2()dyMx±=（5.3）2dxGSwz（5.3）式就是撓曲線近似微分方程。微分方程中正負(fù)號(hào)的選取。（5.3）式左邊的正負(fù)號(hào)取正還是取負(fù)，決定于坐標(biāo)系的選取和彎矩符號(hào)規(guī)定。2dy在選定y坐標(biāo)向上的情況下，如圖5.2，彎矩M(x)與二階導(dǎo)數(shù)符號(hào)總是相同的。2dx2dy圖5.2a中彎矩M()x是正的，而二階導(dǎo)數(shù)也是正的。圖5.2b中，彎矩M()x是負(fù)的，2dx而二階導(dǎo)數(shù)也是負(fù)的。故（5.3）式成為2()dyMx

8、=（5.4）2dxGSwz上式就是計(jì)算撓度和轉(zhuǎn)角的撓曲線近似微分方程。圖5.2彎應(yīng)矩與二階導(dǎo)數(shù)的正負(fù)號(hào)總是相同的Figure5.2bendingMPUAhasthesamesignwithtwodegreedifferentialcoefficient5.3積分法求梁的變形dy已知梁的轉(zhuǎn)角?=（5.5）dxdyM(x)由（5.4）式有，?==dx+c（5.6）m∫dxGSwz（5.6）式為轉(zhuǎn)角方程。