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《4 函數(shù)圖象的割線斜率與切線斜率的關(guān)系》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在行業(yè)資料-天天文庫。
1、函數(shù)圖象的割線斜率與切線斜率的關(guān)系題1(2010年高考遼寧卷理科第21(2)題)已知函數(shù).如果對任意，求的取值范圍.(答案：.)題2(2009年高考遼寧卷理科第21(2)題)已知函數(shù).證明：若，則對任意，有.題3(2009年高考浙江卷理科第10題)對于正實(shí)數(shù)，記為滿足下述條件的函數(shù)構(gòu)成的集合：R且，有.下列結(jié)論中正確的是()(答案：C.)A.若，則B.若且，則C.若，則D.若且，則題4(2006年高考四川卷理科第22(2)題)已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是，是不相等的正數(shù)，求證：.深入研究這四道高考題(除題8是
2、選擇壓軸題外，其余三道都是解答壓軸題的最后一問)，可得函數(shù)圖象的割線斜率與切線斜率的關(guān)系：定理設(shè)R，函數(shù)在區(qū)間上可導(dǎo)，則(1)有；(2)有且區(qū)間，當(dāng)時(shí)不能恒成立；(3)有；(4)有且區(qū)間，當(dāng)時(shí)不能恒成立；(5)有；(6)有且區(qū)間，當(dāng)時(shí)及均不能恒成立；(7)有；(8)有且區(qū)間，當(dāng)時(shí)及均不能恒成立.為證明定理，須介紹兩個(gè)引理，它們在《數(shù)學(xué)分析》中均可找到(比如文獻(xiàn)[1],[2])：引理1若函數(shù)在區(qū)間上可導(dǎo)，則在上單調(diào)不減(不增)的充要條件是在時(shí)恒成立.(注：若有，則稱在區(qū)間上單調(diào)不減(不增).)引理2若
3、函數(shù)在區(qū)間上可導(dǎo)，則在上嚴(yán)格遞增(遞減)在上且對于任意的區(qū)間，當(dāng)時(shí)不能恒成立.(注：若有，則稱在區(qū)間上嚴(yán)格遞增(遞減).)定理的證明設(shè).(1)左邊有有在上單調(diào)不增右邊.(2)左邊有有在上嚴(yán)格遞減(用引理2，這里省去了一些文字的敘述，下同)右邊.(3)同(1)可證.(4)同(2)可證.(5)左邊有有右邊.(6)左邊有有右邊.(7)有有或有或或或(8)同(7)可證.題5已知函數(shù)R的圖象上任意不同的兩點(diǎn)連線的斜率小于1，求的取值范圍.解由定理9(2)，得在R時(shí)恒成立，即恒成立，所以.所以所求的取值范圍是.
4、注由定理9(1)知，若把例1中的“小于”改成“不大于”，所得答案不變.還可驗(yàn)證：當(dāng)時(shí)，的圖象上任一割線的斜率小于1，但圖象在拐點(diǎn)(即凹凸性的分界點(diǎn)，其二階導(dǎo)數(shù)值為0，參見文獻(xiàn)[2]或[3])處切線的斜率為1(圖1).圖1題6(2013年福建省廈門一中月考試題)已知函數(shù)R(1)若函數(shù)的圖象上任意兩個(gè)不同的點(diǎn)連線斜率小于1，求證：；(2)若，且函數(shù)的圖象上任意一點(diǎn)處的切線斜率為k，試證明的充要條件為.由題5的結(jié)論可知，題6的第(1)問是錯(cuò)題(可得第(2)問是正確的).下面用定理給出題1~4的簡解.題3的
5、簡解即滿足條件“R，有”的函數(shù)構(gòu)成的集合.由定理(6)，得即滿足條件“R且對于任意的區(qū)間，當(dāng)時(shí)及均不能恒成立”的函數(shù)的集合.由此及絕對值不等式可證得選項(xiàng)C成立(且可排除選項(xiàng)A、B、D)，所以選C.題2的簡解由定理(4)知只需證明“當(dāng)時(shí)且只能在一些孤立點(diǎn)上成立”：所以要證結(jié)論成立.(并且還可得：當(dāng)時(shí)，結(jié)論也成立.)題1的簡解.由定理(7)知題設(shè)即在時(shí)恒成立，由及均值不等式可得所求的取值范圍是.注下面把題1中的題設(shè)“”改成“R”，再來求解：此時(shí)題意即“在時(shí)恒成立，求的取值范圍”.當(dāng)時(shí)，已得；當(dāng)時(shí)，可得函
6、數(shù)是單調(diào)減函數(shù)，可得此時(shí)不滿足題設(shè)；當(dāng)時(shí)，由均值不等式可得.所以所求的取值范圍是.題4的簡解設(shè)，即證.由定理(8)知，只需證明：當(dāng)時(shí)，即只需證即這由均值不等式及題設(shè)可證：所以欲證成立.注由以上簡解知，把題4中的“”改成“”后所得結(jié)論也成立.參考文獻(xiàn)1劉玉璉，傅沛仁.數(shù)學(xué)分析講義(上冊)[M].3版.北京：高等教育出版社，19922華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編.數(shù)學(xué)分析(上冊)[M].3版.北京：高等教育出版社，2001
