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《穩(wěn)定性分析——勞斯判據(jù)》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫。
1、第四章控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析上海交通大學(xué)自動化系田作華Zhtian@sjtu.edu.cn1第一節(jié)穩(wěn)定性的基本概念一、系統(tǒng)的穩(wěn)定性如果一個線性定常系統(tǒng)在擾動作用消失后，能夠恢復(fù)到原始的平衡狀態(tài)，即系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)是收斂的，則稱系統(tǒng)是穩(wěn)定的。反之，若系統(tǒng)不能恢復(fù)到原始的平衡狀態(tài)，即系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)具有等幅震蕩或發(fā)散性質(zhì)，則稱系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。第四章控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析2例：穩(wěn)定系統(tǒng)不穩(wěn)定系統(tǒng)定義表明：線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性僅取決于系統(tǒng)自身的固有特性，而與外界條件無關(guān)。設(shè)系統(tǒng)在初始條件為零，輸入為單位脈沖函數(shù)，即R（S）=1。當(dāng)t>0時，=0，這相當(dāng)
2、于系統(tǒng)在擾動信號作用下，輸出信號偏離原平衡工作點的問題。若時，這時系統(tǒng)的輸出為脈沖響應(yīng)即輸出增量收斂于原平衡工作點，線性系統(tǒng)穩(wěn)定。3二、線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件設(shè)閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)令為系統(tǒng)特征方程的根，而彼此不等。干擾為理想脈沖函數(shù)：則4上式表明：1。當(dāng)且僅當(dāng)系統(tǒng)的特征根全部具有負(fù)實部（和均小于零），即特征根的位置分布在S平面的左半部時，才能成立，此時系統(tǒng)在擾動消失后能恢復(fù)到原來的平衡狀態(tài)，則系統(tǒng)是穩(wěn)定的。2。若特征根中有一個或一個以上正實部根，即根的位置分布在S平面的右半部，則，表明系統(tǒng)不穩(wěn)定；3。若特征根中具有一個或一個以上實部的根為
3、零（虛根），即根的位置正好分布在S平面的虛軸上，而其余的根均位于S平面的左半部，此時系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)，輸出呈等幅振蕩，系統(tǒng)在擾動信號消失后也不能恢復(fù)到原來的平衡位置，按照穩(wěn)定性定義，也屬于不穩(wěn)定系統(tǒng)。5結(jié)論：線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是：閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的所有根均具有負(fù)實部；或者說，閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點均分布在平面的左半部。6系統(tǒng)是否穩(wěn)定特征方程根的分布方程的系數(shù)。勞斯穩(wěn)定判據(jù)就是根據(jù)特征方程的系數(shù)來分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性的一種判據(jù)，它避免了直接求特征方程根的繁瑣過程。勞斯穩(wěn)定判據(jù)一般簡稱為勞斯判據(jù)。第二節(jié)勞斯穩(wěn)定判據(jù)7設(shè)線性系統(tǒng)的特征方程為：
4、由代數(shù)知識可知：方程的所有根均分布在左半平面的必要條件是：特征方程所有系數(shù)均為正數(shù)。(若均為負(fù)數(shù)，方程兩邊同乘以-1，使之也變?yōu)檎龜?shù))，即若特征方程中任一系數(shù)為負(fù)或缺項（系數(shù)為零），則可斷定此系統(tǒng)為不穩(wěn)定系統(tǒng)。81．勞斯判據(jù)應(yīng)用勞斯判據(jù)分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性步驟：第一步：將特征方程式的系數(shù)按下列規(guī)則排成兩行，即第二步：建立勞斯表（又叫勞斯陣列）。例：五階系統(tǒng)，其特征方程：9第三步：根據(jù)勞斯判據(jù)判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。勞斯判據(jù)：線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是：勞斯表中第一列各值為正，則系統(tǒng)穩(wěn)定；若勞斯表中第一列出現(xiàn)負(fù)值，則系統(tǒng)不穩(wěn)定，且實部為正（即分布在平
5、面右半部）的根的數(shù)目，等于勞斯表中第一列系數(shù)符號改變的次數(shù)。10例：系統(tǒng)的特征方程：試用勞斯判據(jù)判別其穩(wěn)定性。解：列出勞斯表勞斯表中第一列元素?zé)o符號變化，說明該系統(tǒng)特征方程沒有正實部根，所以系統(tǒng)穩(wěn)定。11例：系統(tǒng)的特征方程為：試用勞斯判據(jù)判別其穩(wěn)定性。解:列出勞斯表因為勞斯表中第一列元素的符號變化兩次，說明該系統(tǒng)有兩個特征方程的根在右半s平面，所以系統(tǒng)不穩(wěn)定。122．勞斯判據(jù)的兩種特殊情況（1）勞斯表中某一行第一項元素為零，其余項不為零或不全為零，此時，用一個任意小的正數(shù)代替這個零，然后按通常的規(guī)則繼續(xù)完成勞斯表中其余各項元素的計算。如
6、果零（）上面這項系數(shù)符號與零（）下面這項系數(shù)符號相反，表明這里有一個符號變化。例：特征方程如下：試用勞斯判據(jù)判別其穩(wěn)定性。解：列出勞斯表13勞斯表中第一列元素符號的變化兩次，說明特征方程有兩個正實部的根，所以系統(tǒng)不穩(wěn)定。14（2）某一行元素全為零在勞斯表中，如果出現(xiàn)某一行元素全為零，說明特征方程存在大小相等符號相反的實根和（或）共軛虛根，或者共軛復(fù)根。此時，可用全零行上面一行的元素構(gòu)造一個輔助方程，利用輔助方程對s的求導(dǎo)后得到的方程系數(shù)代替全零行的元素，然后再按通常的規(guī)則完成勞斯表中其余各項元素的計算。輔助方程的次數(shù)總是偶數(shù)，所有那些數(shù)
7、值相同符號相異的根都可由輔助方程求得。15例系統(tǒng)特征方程為：試用勞斯判據(jù)判別其穩(wěn)定性。解：列出勞斯表勞斯表中行元素全為零，這時可用全零行上面一行（行）的元素構(gòu)造一個輔助方程：將輔助方程A(s)對變量s求導(dǎo)，得新方程，并用新方程的系數(shù)代替全零行的元素。16求解輔助方程A(s)=0得到說明此特征方程有一對共軛根分布在虛軸上系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。3．勞斯判據(jù)的應(yīng)用勞斯判據(jù)主要用來判斷系統(tǒng)是否穩(wěn)定。問題：1。這種判據(jù)并不能指出如何使系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)定。2。如果采用勞斯表判別出的系統(tǒng)是穩(wěn)定的，它也不能表明系統(tǒng)一定具備滿意的動態(tài)響應(yīng)。即：勞斯判據(jù)不能表征
8、特征方程在左半面的根相對于虛軸的距離。17例：確定系統(tǒng)穩(wěn)定的K、T值。解:系統(tǒng)的特征方程為列出勞斯表要使系統(tǒng)穩(wěn)定，第一列元素的符號均應(yīng)大于零由此得：1。即：2。18則穩(wěn)定條件為：,0
