數(shù)學期望地計算方法及其應用

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1、實用文檔數(shù)學期望的計算方法及其應用摘要：在概率論中，數(shù)學期望是隨機變量一個重要的數(shù)字特征，它比較集中的反映了隨機變量的某個側(cè)面的平均性，而且隨機變量的其他數(shù)字特征都是由數(shù)學期望來定義的，因此對隨機變量的數(shù)學期望的計算方法的研究與探討具有很深的實際意義。本論文著重總結(jié)了隨機變量的數(shù)學期望在離散型隨機變量分布與連續(xù)型隨機變量分布下的一些常用的計算方法，如利用數(shù)學期望的定義和性質(zhì)，利用不同分布的數(shù)學期望公式等等，并通過一些具體的例子說明不停的計算方法在不同情況下的應用，以達到計算最簡化的目的。本文還通過介紹了一些隨機變量數(shù)學期望的計算技巧，并探討了各種

2、簡化計算隨機變量數(shù)學期望的方法，利用一些特殊求和與積分公式，利用數(shù)學期望定義的不同形式，利用隨機變量分布的對稱性、重期望公式以及特征函數(shù)等，并通過例題使我們更加了解和掌握這些計算技巧，已達到學習該內(nèi)容的目的。關(guān)鍵詞：離散型隨機變量連續(xù)型隨機變量數(shù)學期望計算方法ABSTRACT：第一節(jié)離散型隨機變量數(shù)學期望的計算方法及應用1.1利用數(shù)學期望的定義，即定義法定義：設離散型隨機變量Ｘ分布列為…………則隨機變量Ｘ的數(shù)學期望E(X)=注意：這里要求級數(shù)絕對收斂，若級數(shù)不收斂，則隨機變量文案大全實用文檔Ｘ的數(shù)學期望不存在例1某推銷人與工廠約定，永川把一箱貨物

3、按期無損地運到目的地可得傭金10元，若不按期則扣2元，若貨物有損則扣5元，若既不按期又有損壞則扣16元。推銷人按他的經(jīng)驗認為，一箱貨物按期無損的的運到目的地有60﹪把握，不按期到達占20﹪，貨物有損占10﹪，不按期又有損的占10﹪。試問推銷人在用船運送貨物時，每箱期望得到多少？解設Ｘ表示該推銷人用船運送貨物時每箱可得錢數(shù)，則按題意，Ｘ的分布為85-60.60.20.1按數(shù)學期望定義，該推銷人每箱期望可得10×0.6＋8×0.2＋5×0.1－6×0.1＝7.5元1.1公式法對于實際問題中的隨機變量，假如我能夠判定它服從某重點性分布特征（如二項分布，

4、泊松分布，超幾何分布等），則我們就可以直接利用典型分布的數(shù)學期望公式來求此隨機變量的期望。（1）二點分布：~，則（2）二項分布：，，則（3）幾何分布：,則有（4）泊松分布：，有（5）超幾何分布：,有例2一個實驗競賽考試方式為：參賽者從6道題中一次性隨機抽取3道題,按要求獨立完成題目.競賽規(guī)定：至少正確完成其中2題者方可通過,已知6道備選題中參賽者甲有4題能正確完成,2題不能完成；參賽者乙每題能正確完成的概率都是,且每題正確完成與否互不影響.分別求出甲、乙兩參賽者正確完成題數(shù)的數(shù)學期望.解設參賽者甲正確完成的題數(shù)為,則服從超幾何分布,其中,∴設參賽

5、者乙正確完成的題數(shù)為,則,1.3性質(zhì)法文案大全實用文檔利用數(shù)學期望的性質(zhì)求期望，主要性質(zhì)有：其中為隨機變量，為常數(shù)。例3某工程隊完成某項工程的時間(單位：月)是一個隨機變量，它的分布列為（1）試求該工程隊完成此項任務的平均月數(shù)；（2）社該工程隊所獲利潤為,單位為萬元。試求工程隊的平均利潤。解（1）根據(jù)題意，我們可求平均月數(shù)為：月（2）由（1）知，則可得1.5利用逐項微分法這種方法是對于概率分布中含有參數(shù)的隨機變量而言的，我們可以通過逐項求微分的方法求解出隨機變量的數(shù)學期望，關(guān)鍵步驟是對分布列的性質(zhì)兩邊關(guān)于參數(shù)進行求導，從而解出數(shù)學期望。例5設隨機

6、變量，求。解因為，故其中則（1）對（1）式兩邊關(guān)于求導得文案大全實用文檔根據(jù)數(shù)學期望的定義知：且知因此上式可以寫成：從而解得1.6利用條件數(shù)學期望公式法條件分布的數(shù)學期望稱為條件數(shù)學期望，它主要應用于二維隨機變量。在為二維離散隨機變量場合下，其計算公式為：或例6設二維離散隨機變量的聯(lián)合分布列為012301234500.010.010.010.010.020.030.020.030.040.050.040.050.050.050.060.070.060.050.060.090.080.060.05試求和解要求，首先得求文案大全實用文檔同理可得用同樣

7、的方法，我們可得1.7利用重期望公式法重期望是在條件期望的基礎之下產(chǎn)生的，是的函數(shù)，對的不同取值，條件期望的取值也在變化，因此我們可以把看作一個隨機變量。重期望的公式是,此公式的前提是存在。如果是一個離散隨機變量，則重期望公式可改寫成為例7口袋中有編碼為的個球，從中任取一球，若取到1號球，則得1分，且停止摸球；若取得號球，則得分，且將此球放回，重新摸球。如此下去，試求得到的平均總分數(shù)。解記為得到的總分數(shù)，為第一次取到的球的號碼，則又因為，而當時，所以由此解得第二節(jié)連續(xù)型隨機變量數(shù)學期望的計算方法及應用連續(xù)型隨機變量的數(shù)學期望的定義和含義完全類似于

8、離散隨機變量的，只要在離散隨機變量的數(shù)學期望定義中用密度函數(shù)代替分布列，用積分是代替和式，即得到連續(xù)場合下數(shù)學期望的定義。2.1定義法設