線性代數(shù)幾何背景及應(yīng)用

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1、線性代數(shù)中的幾何背景一、方程及方程組的幾何意義二、行列式的幾何意義三、平面上線性變換的幾何意義四、二維矩陣特征值的幾何意義五、向量組的線性相關(guān)性的幾何意義六、二次型的正定性及其所對(duì)應(yīng)的二次曲面一、方程及方程組的幾何意義二元一次方程在幾何上表示的是一根直線，則兩個(gè)二元一次方程組在幾何上則表示兩根直線的位置關(guān)系：相交====〉有惟一解平行====〉無(wú)解重合====〉無(wú)窮多解例1求解下列三個(gè)線性方程組（a）（b）（c）用ezplot(s1),holdon,ezplot(s2),命令可以解出結(jié)果如下圖其中s1和s2分別為方程的字符串表達(dá)式若有三個(gè)二元一次方程或更多個(gè)數(shù)的二元一次方程，代數(shù)上稱之

2、為“超定方程”，一般是不相容的和無(wú)解的，幾何中平面上三根或更多根直線很難交于一點(diǎn)。例2求解方程組用圖解法解例2三元一次方程在幾何上表示平面，從而兩個(gè)三元一次方程構(gòu)成的方程組表示兩個(gè)平面的交線，三個(gè)三元一次方程構(gòu)成的方程組兩兩聯(lián)立求交線，得到兩個(gè)二元一次方程，對(duì)于求得兩根交線在xoy面上的投影。求得兩根交線的交點(diǎn)即為方程組的解。若三個(gè)平面不重合且沒(méi)有交線或交點(diǎn)，則表示該方程組無(wú)解。如下例。例3求解下列線性方程組，并畫(huà)出三維圖形來(lái)表示解的情況。（1）；（2）；（3）；（4）利用MATLAB的M文件編輯器繪圖可得：圖3三元非齊次線性方程組解的幾何意義從圖3中可以看出：方程組（1）的解為三個(gè)平

3、面的交點(diǎn)，故該方程組有唯一解；方程組（2）的三個(gè)平面剛好相交于同一條直線，這個(gè)齊次線性方程組有無(wú)窮多解，即解空間是一維的。方程組（3）的三個(gè)平面沒(méi)有共同的交點(diǎn)。即方程組無(wú)解。方程組（4）也無(wú)解。推廣之后，更多元的線性代數(shù)方程組，則表示更高維空間內(nèi)的方程組，雖然很難想象直觀的幾何圖形，但關(guān)于方程的基本概念是一脈相承的，涉及到計(jì)算就是從幾何概念過(guò)渡到代數(shù)概念。如：階數(shù)、維數(shù)等概念。二、行列式的幾何意義二維已知向量由向量和所構(gòu)成的平行四邊形的面積為行列式的絕對(duì)值三維已知三個(gè)向量由這三個(gè)向量所構(gòu)成的平行六面體的體積即為三階行列式的絕對(duì)值如圖三、平面上線性變換的幾何意義例3已知向量，矩陣，，，，

4、。請(qǐng)分析經(jīng)過(guò)線性變換后，向量與原向量的幾何關(guān)系。繪制圖形如下圖所示：圖4線性變換的幾何意義從圖4中可以看出：矩陣對(duì)進(jìn)行線性變換的結(jié)果為向量的豎直軸對(duì)稱向量；矩陣對(duì)進(jìn)行線性變換的結(jié)果為向量的水平軸對(duì)稱向量；矩陣對(duì)進(jìn)行線性變換的結(jié)果為把向量的橫坐標(biāo)乘以0.5，把的縱坐標(biāo)乘以2得到的向量；矩陣對(duì)進(jìn)行線性變換的結(jié)果為把向量按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)所得到的向量。例4：設(shè)x為二維平面上第一象限中的一個(gè)單位方塊，其四個(gè)頂點(diǎn)的數(shù)據(jù)可寫(xiě)成把不同的A矩陣作用于此組數(shù)據(jù)，可以得到多種多樣的結(jié)果yi=Ai*x。用程序ag911進(jìn)行變換計(jì)算，并畫(huà)出x及yi圖形：x?[0,1,1,0;0,0,1,1];subplot(2

5、,3,1),fill([x(1,:),0],[x(2,:),0],'r')A1?[?1,0;0,1],y1?A1*xsubplot(2,3,2),fill([y1(1,:),0],[y1(2,:),0],'g')繪制幾何圖形可得：使用MATLAB時(shí)，行列式用Di=det(Ai)求得，特征值和特征向量則用[pi,lamdai]=eig(Ai)計(jì)算，算得的結(jié)果如下：關(guān)于筆算與機(jī)算的結(jié)合①矩陣的賦值和其加、減、乘、除（求逆）命令；②矩陣化為最簡(jiǎn)行階梯型的計(jì)算命令；[U0,ip]=rref(A)③多元線性方程組MATLAB求解的幾種方法；x=inv(A)*b,U=rref(A)④行列式的幾種計(jì)

6、算機(jī)求解方法；D=det(A),[L,U]=lu(A);D=prod(diag(U))⑤n個(gè)m維向量組的相關(guān)性及其秩的計(jì)算方法和命令;r=rank(A),U=rref(A)⑥求線性方程組的基礎(chǔ)解系及方程解的MATLAB命令；xb=null(A)⑦矩陣的特征方程、特征根和特征向量的計(jì)算命令；f=poly(A);[P,D]=eig(A)⑧化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型的MATLAB命令；yTDy=xTAx;其中y=P-1x,解高階線性方程組的方法解右列方程組AX=b可有多種方法,如(1)X=Ab(2)化為行最簡(jiǎn)型A=[3,-4,2,2,-1;0,-6,0,-3,-3;4,-3,4,3,-2;1,2,1

7、,0,-5;-2,6,-2,1,3]b=[2;-3;2;-2;1];X=inv(A)*b,pauseC=[A,b],[Uc,ip]=rref(C)應(yīng)用一：線性方程組與矩陣1.1插值多項(xiàng)式例1給定t-y平面上的三個(gè)點(diǎn)(1,2),(2,3)和(3,6)，求過(guò)這三點(diǎn)的二次多項(xiàng)式函數(shù)：解：本題歸結(jié)為求a,b,c三個(gè)系數(shù)，使它們滿足下列各方程這是典型的三元線性方程組，用Matlab時(shí)，鍵入：>>B=[1,1,1,2;1,2,4,3;1,3,9,6];x=