3、實(shí)常數(shù).若存在一個正數(shù)嶺，對任何自然數(shù)"，總存在-個片，當(dāng)斗>"時，有"年嶺，則稱數(shù)列⑷發(fā)散（或之不是數(shù)列｛號｝的極限）.符號表達(dá)法為lim%"—3^>0.VM3n>忒有氐-傘吊我們口J以川極限定義的否定式的符號表達(dá)法，來證明數(shù)列發(fā)散.例1證明數(shù)列卜嘰發(fā)散.證明3'=I,分兩種情況，冇當(dāng)“0時嚴(yán)W町火倚?)>"1廣一a卜
4、—I—a
5、=1+aN耳9華<0時嚴(yán)w召珂?zhèn)幉?有卜1廣-彳=卜彳=i+(T：>吊(卜訓(xùn)即數(shù)列'1發(fā)散.發(fā)散.■卜『證明數(shù)列L證明3,以下分兩種情況W工0時，站e%丸俺?；)>M有卜廳島*1需*°H當(dāng)O"吋，城玉刪ft)>M有所以：不是數(shù)列的極限,2?用子列
6、的性質(zhì)為了討論數(shù)列的斂散性，我們經(jīng)常用到子列.子列的概念：設(shè)Z是一個數(shù)列，而碼5<…是一列嚴(yán)格單調(diào)增加的正整數(shù)，則'■?G…也形成-個數(shù)列，稱為數(shù)列g(shù)的子列，記為子列與原數(shù)列具有密切關(guān)系，即“若數(shù)列收斂于二，則它的任何子列?也收斂于立.”這個結(jié)論的等價儀述是：若數(shù)列｛斗｝有一個了列發(fā)散，或有某兩個收斂了列，它們極限不相等.則稱數(shù)列｛石必發(fā)散.也就是說我們在證明數(shù)列發(fā)散時，只要能找出一個了列發(fā)散，或者找到某兩個了列極限不相等的子列即可.這樣我們可以把整體問題轉(zhuǎn)化為局部問題，應(yīng)用起來特別簡單.例1的斂散性.則得到兩個子列其小4hrlunXm=limsm―—=limujt>r=O
7、tim=甕2直11.促上：2〉"=豊殳曲11（2上十￡）=I即兩個了列{^Ub)的極限不等,Lin^l故I發(fā)散.■L例2判斷數(shù)列1屹他呦的斂散性.解記“頑頑，因?yàn)閯俋,所以“耐麗廠喬呵取牡"°*€**,從而lg{lg^O>k+lgk3.左右極限法以函數(shù)極限為例，在函數(shù)極限I，的定義屮，自變量工可以按任意的方式趨于匸（只要.但有的吋候，只在壬的-?側(cè)（左側(cè)或右側(cè)）有定義，或者需要分別研究在工:兩側(cè)的狀態(tài).求分段函數(shù)在“分點(diǎn)”處的極限就是函數(shù)極限屮利用此方法求解的最重要的一類題型.單側(cè)極限和雙側(cè)極限的關(guān)系定理：函數(shù)才?在壬極限存在的充要條件是在三的Iuh/（jO=蟲Qlim/
8、（x）=link/W=A左極限和右極限存在并相等.即f由此得知，只要有一個單側(cè)極限不存在，或者兩個單側(cè)極限存在但不相等，我們就可得出分段函數(shù)在“分點(diǎn)”處極限不存在的結(jié)論.JT/W=0x<0x=0x>0已知函數(shù)求護(hù)解時卄屛沖即爐3咱溝所以53"）不存在/rC8JTZW=-求函數(shù)x>—2JT在*一2處的極限._JT_JF即/⑴在*2處的右側(cè)極限不存在.所以才⑴在可2處的極限不存在.4.無窮大量按數(shù)列收斂定義，｛刃‘冋附叫等數(shù)列都是發(fā)散的，但是它們與W的發(fā)散有一個根本區(qū)別，即當(dāng)可增大時，其各類的絕對值也無限制的增大.這樣的數(shù)列我們稱為無窮人量.其嚴(yán)格的分析定義可表述為：若對于任意
9、給定的Ga°,可以找到正整數(shù)“使得當(dāng)Q%,成立X卜°則稱數(shù)列g(shù)是無窮大量.記為輒心"lim斗=80弋N.有
10、耳卜(7用符號表示法f?因此，我們只要證出-?個數(shù)列是無窮人量，就可以說這個數(shù)列是發(fā)散的，這樣用起來非常方便.例」明數(shù)列咕寸"知是發(fā)散的.證明VGM),取叫於］,當(dāng)3"成立lim所以**即數(shù)列b+l血+2石｝是發(fā)散的.例2設(shè)輒"FW定義證明*X-證明設(shè)輒％=則V0>oV*i>0對固定的城網(wǎng)沁叩“"成立于是"Ftl]+■■■+tlj^M耳4哥+???+%二吆乂+叫乜+???■!■%XM士—22恤込土土1二柚所以
