狄拉克與狄拉克方程

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1、狄拉克與狄拉克方程英國(guó)著名理論物理學(xué)家狄拉克（PaulDirac1902～1984）；在量子力學(xué)領(lǐng)域把哈密頓理論推廣到原子方面，建立了量子力學(xué)變量的運(yùn)動(dòng)方程，使海森堡的矩陣力學(xué)成為一個(gè)完善的理論。他在薛定諤方程的基礎(chǔ)上提出了相對(duì)論波動(dòng)方程，憑借自己非凡的想象力，大膽地預(yù)言了“反粒子”的存在。并依靠自己卓越的邏輯推理做出第一流的科學(xué)工作，使他置身于20世紀(jì)最偉大的理想物理學(xué)家行列。5、1狄拉克算符圖10-12為狄拉克（左）和海森伯（右）在劍橋1925年前后，劍橋大學(xué)的俄籍物理學(xué)家卡皮察（PeterLeonidovichKapitza，1894～1978）組織了定期

2、科學(xué)討論會(huì)叫“卡皮察俱樂(lè)部”。每周二晚舉行聚會(huì)，首先有人自愿宣讀自己新近完成的科學(xué)論文，然后大家進(jìn)行討論和爭(zhēng)論。這年夏天，海森堡應(yīng)邀到這個(gè)俱樂(lè)部作了一次關(guān)于反常塞曼效應(yīng)的報(bào)告。臨到結(jié)束時(shí)，他又介紹了自己關(guān)于建立量子論的一些新的想法。不久，海森堡回到德國(guó)以后又把自己關(guān)于矩陣力學(xué)的論文寄一份給福勒（FowlersirRalphHoward，1899～1944）。9月，在劍橋大學(xué)跟隨導(dǎo)師福勒攻讀研究生的狄拉克，在度假時(shí)收到了福勒寄給他的海森伯關(guān)于量子力學(xué)的第一篇論文的校樣；狄拉克認(rèn)真思考了用矩陣元表述的新力學(xué)量的不可對(duì)易性。例如，兩個(gè)力學(xué)量相乘pq≠qp，這顯然違背了

3、過(guò)去的力學(xué)量（標(biāo)量）之間的乘法交換規(guī)則，開(kāi)始思索時(shí)感到不可思議，而后卻意識(shí)到這種不對(duì)易性恰恰是新的力學(xué)理論的重要特征。并從潛意識(shí)中感覺(jué)到，不對(duì)易性與哈密頓力學(xué)中的泊松括號(hào)十分類似。泊松括號(hào)是19世紀(jì)法國(guó)數(shù)學(xué)家泊松（S．Poisson）發(fā)明的一種簡(jiǎn)化算子記號(hào)，用以表述兩個(gè)不可對(duì)易量的微分乘積的關(guān)系。如果能找到這二者之間的聯(lián)系，就能證明在量子力學(xué)和經(jīng)典力學(xué)的哈密頓理論表述之間有某種內(nèi)在關(guān)系，哈密頓力學(xué)體系的很多計(jì)算和表述方式有可能移植到量子力學(xué)中來(lái)。例如，把微觀客體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律描述為以哈密頓函數(shù)（能量函數(shù)）和廣義坐標(biāo)、廣義動(dòng)量之間關(guān)系的統(tǒng)一數(shù)學(xué)系統(tǒng)。狄拉克把海森伯理論

4、納入哈密頓公式體系，把量子力學(xué)的對(duì)易關(guān)系類比于經(jīng)典力學(xué)中的泊松括號(hào)，得出一種處理量子論中力學(xué)量的偏微分方法，這種辦法一般稱為正則量子化方案，并很快寫(xiě)成了他的成名作“量子力學(xué)的基本方程”。狄拉克這項(xiàng)工作澄清了量子變量與經(jīng)典變量之間的關(guān)系，使海森伯的矩陣力學(xué)成為一個(gè)完善的理論。這篇以“量子力學(xué)的基本方程”為題的論文，隨后就在皇家學(xué)會(huì)的會(huì)刊上發(fā)表。海森堡看到論文后認(rèn)為，狄拉克的表述形式簡(jiǎn)潔優(yōu)美，而且作為一項(xiàng)新成果把量子論向前大大推進(jìn)了一步。5、2費(fèi)米—狄拉克統(tǒng)計(jì)1926年，薛定諤發(fā)表了一系列關(guān)于波動(dòng)力學(xué)的論文，波動(dòng)力學(xué)和矩陣力學(xué)相比顯然具有某種優(yōu)越性；同年6月，玻恩對(duì)

5、薛定諤波函數(shù)提出了幾率解釋，認(rèn)為波動(dòng)力學(xué)中的波函數(shù)平方是位形空間里的幾率密度，原先的矩陣力學(xué)與波動(dòng)力學(xué)具有某種物理學(xué)上的類似性：矩陣元平方所描述的是坐標(biāo)確定時(shí)各種可能的能量本征值的出現(xiàn)幾率，而波函數(shù)模數(shù)的平方所描述的，則是能量確定時(shí)各種可能的位置本征值的出現(xiàn)幾率；波動(dòng)力學(xué)與矩陣力學(xué)在數(shù)學(xué)上是等效的。但由于在波動(dòng)力學(xué)框架中可以引進(jìn)位形空間波函數(shù)，它在處理多體問(wèn)題時(shí)就比較方便，特別是便于用來(lái)研究多體系統(tǒng)的統(tǒng)計(jì)法，被大多數(shù)物理學(xué)家普通接受。在薛定諤多體波函數(shù)的啟示下，狄拉克考慮到全同粒子的不可分辨性，得到了一類處于平衡態(tài)的粒子系統(tǒng)行為所遵從的費(fèi)米—狄拉克統(tǒng)計(jì)。所謂全同

6、粒子是指互換這類粒子并不導(dǎo)致系統(tǒng)出現(xiàn)新的狀態(tài)。全同粒子系統(tǒng)可分兩類，一類由對(duì)稱波函數(shù)描述的粒子所構(gòu)成的系統(tǒng)，稱玻色系統(tǒng)。這種粒子遵循的統(tǒng)計(jì)稱玻色—愛(ài)因斯坦統(tǒng)計(jì)，是由玻色（BoseSatendraNath，1894～1974）和愛(ài)因斯坦在1924年先后提出來(lái)的。另一類由反對(duì)稱波函數(shù)描述的粒子所構(gòu)成的系統(tǒng)，這種粒子必須遵循泡利不相容原理，每個(gè)量子態(tài)上至多只能有一個(gè)粒子，它們遵循的統(tǒng)計(jì)稱費(fèi)米—狄拉克統(tǒng)計(jì)。是由費(fèi)米（FermiEnrico，1901～1954）和狄拉克在1926年先后提出的。設(shè)近獨(dú)立全同粒子組成的系統(tǒng)具有確定的粒子數(shù)Ni、能量E和體積V，以εi和gi分別

7、表示單粒子的第i個(gè)（i=1，2，3，…）能量和對(duì)應(yīng)該能量的量子態(tài)數(shù)（簡(jiǎn)并度）。對(duì)于玻色系統(tǒng)，由于粒子的不可分辨和每個(gè)態(tài)上占據(jù)的粒子數(shù)不限，則給定的Ni個(gè)粒子分布在gi個(gè)量子態(tài)的方式數(shù)，等于從Ni+gi－1個(gè)元素中選取gi－1個(gè)元素的組合數(shù)?？紤]各能級(jí)的結(jié)果，就得到對(duì)應(yīng)粒子數(shù)分布｛Ni｝的系統(tǒng)微觀狀態(tài)數(shù)。對(duì)于費(fèi)米系統(tǒng)，Ni個(gè)不可分辨的全同粒子分布在gi個(gè)狀態(tài)上（每個(gè)態(tài)上至多只能有一個(gè)粒子）的可能方式數(shù)，就是從gi個(gè)元素中選取Ni個(gè)元素的組合數(shù)，應(yīng)該等于，則對(duì)應(yīng)粒子數(shù)分布｛Ni｝的系統(tǒng)微觀狀態(tài)數(shù)：。雖然這后一種統(tǒng)計(jì)法已由費(fèi)米在幾個(gè)月前就推導(dǎo)出來(lái)了，但狄拉克卻更深刻地

8、給出了統(tǒng)計(jì)類型與波函數(shù)對(duì)