廣義逆矩陣及其應(yīng)用文獻(xiàn)綜述

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1、文獻(xiàn)綜述廣義逆矩陣及其應(yīng)用　　　　　一、前言矩陣是數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要的基本概念，是代數(shù)學(xué)的一個(gè)主要研究對(duì)象，也是數(shù)學(xué)研究和應(yīng)用的一個(gè)重要工具?！熬仃嚒边@個(gè)詞是由西爾維斯特首先使用的，他是為了將數(shù)字的矩形陣列區(qū)別于行列式而發(fā)明了這個(gè)術(shù)語(yǔ)。而實(shí)際上，矩陣這個(gè)課題在誕生之前就已經(jīng)發(fā)展的很好了。從行列式的大量工作中明顯的表現(xiàn)出來，為了很多目的，不管行列式的值是否與問題有關(guān)，方陣本身都可以研究和使用，矩陣的許多基本性質(zhì)也是在行列式的發(fā)展中建立起來的。在邏輯上，矩陣的概念應(yīng)先于行列式的概念，然而在歷史上次序正好相反。先把矩陣作為一個(gè)獨(dú)立的數(shù)學(xué)概念提出來，并首先發(fā)表了關(guān)于這個(gè)題目的一系列文章。凱萊同研究

2、線性變換下的不變量相結(jié)合，首先引進(jìn)矩陣以簡(jiǎn)化記號(hào)。1858年，他發(fā)表了關(guān)于這一課題的第一篇論文《矩陣論的研究報(bào)告》，系統(tǒng)地闡述了關(guān)于矩陣的理論。文中他定義了矩陣的相等、矩陣的運(yùn)算法則、矩陣的轉(zhuǎn)置以及矩陣的逆等一系列基本概念，指出了矩陣加法的可交換性與可結(jié)合性。另外，凱萊還給出了方陣的特征方程和特征根（特征值）以及有關(guān)矩陣的一些基本結(jié)果。1855年，埃米特(C.Hermite，1822～1901)證明了別的數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)的一些矩陣類的特征根的特殊性質(zhì)，如現(xiàn)在稱為埃米特矩陣的特征根性質(zhì)等。后來，克萊伯施(A.Clebsch，1831～1872)、布克海姆(A.Buchheim)等證明了對(duì)稱矩陣的

3、特征根性質(zhì)。泰伯(H.Taber)引入矩陣的跡的概念并給出了一些有關(guān)的結(jié)論。在矩陣論的發(fā)展史上，弗羅伯紐斯(G.Frobenius,1849-1917)的貢獻(xiàn)是不可磨滅的。他討論了最小多項(xiàng)式問題，引進(jìn)了矩陣的秩、不變因子和初等因子、正交矩陣、矩陣的相似變換、合同矩陣等概念，以合乎邏輯的形式整理了不變因子和初等因子的理論，并討論了正交矩陣與合同矩陣的一些重要性質(zhì)。1854年，約當(dāng)研究了矩陣化為標(biāo)準(zhǔn)型的問題。1892年，梅茨勒(H.Metzler)引進(jìn)了矩陣的超越函數(shù)概念并將其寫成矩陣的冪級(jí)數(shù)的形式。傅立葉、西爾和龐加萊的著作中還討論了無(wú)限階矩陣問題，這主要是適用方程發(fā)展的需要而開始的。矩陣

4、本身所具有的性質(zhì)依賴于元素的性質(zhì)，矩陣由最初作為一種工具經(jīng)過兩個(gè)多世紀(jì)的發(fā)展，現(xiàn)在已成為獨(dú)立的一門數(shù)學(xué)分支——矩陣論。而矩陣論又可分為矩陣方程論、矩陣分解論和廣義逆矩陣論等矩陣的現(xiàn)代理論。矩陣的應(yīng)用是多方面的，不僅在數(shù)學(xué)領(lǐng)域里，而且在力學(xué)、物理、科技等方面都有十分廣泛的應(yīng)用。矩陣?yán)碚摬坏墙?jīng)典數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，同時(shí)又是很有實(shí)用價(jià)值的數(shù)學(xué)理侖。計(jì)算機(jī)的廣泛應(yīng)用為矩陣?yán)碚摰膽?yīng)用開辟了廣闊的應(yīng)用前景。逆矩陣的概念在矩陣?yán)碚撝姓加兄匾恢?，尤其求解方程組問題，它顯得更為重要。但是，一般的逆矩陣只是對(duì)非奇異的方陣才有意義，也就是說，當(dāng)方程組的個(gè)數(shù)等于未知數(shù)的個(gè)數(shù)時(shí)．才可以用矩陣的逆來表示方程組的解。實(shí)際

5、問題中，遇到的矩陣不一定是方陣，即使是方陣也不一定是非奇異的，所以要考慮將逆矩陣的概念進(jìn)行推廣。廣義逆矩陣的思想可追溯到19O3年瑞典數(shù)學(xué)家弗雷德霍姆的工作，他討論了關(guān)于積分算子的一種廣義逆(稱之為偽逆)。1904年，德國(guó)數(shù)學(xué)家希爾伯特在廣義格林函數(shù)的討論中，含蓄地提出了微分算子的廣義逆．而任意矩陣廣義逆的定義最早是由美國(guó)芝加哥的穆爾(Moore)教授在192O年提出來的，他以抽象的形式發(fā)表在美國(guó)數(shù)學(xué)會(huì)會(huì)刊上。由于不知其用途，該理論幾乎未被注意，這一概念在以后3O年中沒有多大發(fā)展。我國(guó)數(shù)學(xué)家曾遠(yuǎn)榮在1933年、美籍匈牙利數(shù)學(xué)家馮·諾伊曼和弟子默里在1936年對(duì)希爾伯特空間中線性算子的廣義

6、逆也作過討論和研究。1951年瑞典人布耶爾哈梅爾A重新發(fā)現(xiàn)了穆爾(Moore)廣義逆矩陣的定義，并注意到廣義逆矩陣與線性方程組的關(guān)系。1955年，英國(guó)數(shù)學(xué)物理學(xué)家彭羅斯(PenroseR)以更明確的形式給出了與穆爾(Moore)等價(jià)的廣義逆矩陣定義，因此通稱為Moore—Penrose廣義逆矩陣，從此廣義逆矩陣的研究進(jìn)入了一個(gè)新階段?，F(xiàn)如今，Moore—Penrose廣義逆矩陣在數(shù)據(jù)分析、多元分析、信號(hào)處理、系統(tǒng)理論、現(xiàn)代控制理論、網(wǎng)絡(luò)理論等許多領(lǐng)域中有著重要的應(yīng)用，使這一學(xué)科得到迅速發(fā)展，并成為矩陣論的一個(gè)重要分支。二、主題我們認(rèn)識(shí)一個(gè)新的知識(shí)，首先從它的概念出發(fā)。文獻(xiàn)[1]、[2]中

7、給出了Moore—Penros廣義逆矩陣的定義。設(shè)，若有某個(gè)，滿足①②③④中的全部或其中的一部分，則稱X為A的一個(gè)Moore—Penros廣義逆矩陣。按照定義，如果X是滿足第個(gè)條件的廣義逆矩陣，就記為，如果X是滿足第個(gè)條件的廣義逆矩陣，就記為。如果G是滿足第個(gè)條件的廣義逆矩陣，就記為，如果G是滿足四個(gè)條件的廣義逆矩陣，就記為。除了是唯一確定之外，其余各類廣義逆矩陣都不是唯一確定的，每一類廣義逆矩陣都包含著一類矩陣，為了表示這種情況，