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1、5.6向量空間的同構(gòu)授課題目：向量空間的同構(gòu)教案目標(biāo)1.理解向量空間同構(gòu)的概念、性質(zhì)及重要意義.2.掌握有限維向量空間同構(gòu)的充要條件.授課時(shí)數(shù)：2學(xué)時(shí)教案重點(diǎn)：向量空間同構(gòu)的概念.教案難點(diǎn)：同構(gòu)的判別.教案過程：一、線性空間同構(gòu)的定義定義1：設(shè)、是兩個(gè)向量空間。V到W的一個(gè)映射f叫做一個(gè)同構(gòu)映射，如果由定義的條件(3>,取,那么.(
2、ii>由定義的條件(2>,.所以有.(iii>利用條件(2>和(3>可直接得到.(iv>如果線性相關(guān),那么存在不全為零的數(shù),使得4/4.由(i>和(iii>得到.于是線性相關(guān).反之,如果線性相關(guān),那么存在不全為零的數(shù),使得3.設(shè)、是兩個(gè)向量空間，是V的基，f是V到W的同構(gòu)映射，則是W的基.證明思路:1、線性無關(guān).2、每個(gè)都能由線性表出.三、線性空間的同構(gòu)如果兩個(gè)線性空間與之間可以建立一個(gè)同構(gòu)映射,那么就說與同構(gòu),記作定理5.6.1設(shè)，則.證明:由V是數(shù)域F上的一個(gè)n維線性空間,取定V的一個(gè)基,對(duì)任意關(guān)于基的坐標(biāo)為.令顯然是V到的一個(gè)雙射.如果對(duì)于任意并且,.由定理5.5.1
3、得4/4對(duì)于,從而是V到的同構(gòu)映射,故.定理5.6.2向量空間的同構(gòu)是一個(gè)等價(jià)關(guān)系.證明:反身性和傳遞性顯然,下面主要證明對(duì)稱性.設(shè),是線性空間到的同構(gòu)映射,由于是到的雙射,所以是是到的雙射,且是到的恒等映射,是是到的恒等映射.設(shè),由于是到的同構(gòu)映射b5E2RGbCAP.因?yàn)槭菃紊?所以.同理可證,對(duì)任意,故有是到的同構(gòu)映射.定理5.6.3證明:如果,設(shè)是到的同構(gòu)映射,是的基,則由定理有是的一個(gè)基,因而.設(shè),則,于是.定理表明:數(shù)域F上具有相同維數(shù)的線性空間本質(zhì)上是一致的.例：設(shè)是n維空間的的一個(gè)基，是ns矩陣證明：的維數(shù)等于的秩。證明:設(shè)為的第k列，則，設(shè)是中的任意t個(gè)向
4、量，則于是知，與其所對(duì)應(yīng)的t個(gè)列向量4/4有完全相同的線性關(guān)系，故與有相同的秩，即的維數(shù)等于的秩。申明：所有資料為本人收集整理，僅限個(gè)人學(xué)習(xí)使用，勿做商業(yè)用途。4/4
