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1、空間向量及向量的應(yīng)用??空間直角坐標(biāo)系的原則:?????????規(guī)定:一切空間向量的起點都是坐標(biāo)系原點,于是,空間任意一個向量與它的終點坐標(biāo)一一對應(yīng)。???一個向量在直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)等于表示這個向量的有向線段的終點的坐標(biāo)減去起點的坐標(biāo)。???設(shè),,???則:??空間向量的直角坐標(biāo)運算:空間兩點間距離:;??????空間線段的中點M(x,y,z)的坐標(biāo):;1:利用空間向量證明空間位置關(guān)系(同平面向量)2:利用空間向量求線線角、線面角(1)異面直線所成角設(shè)分別為異面直線的方向向量,則(2)線面角設(shè)是直線的方向向量,是平面的法向量,則3:利用空間向量求二面角其計算公式為:設(shè)分別為平
2、面的法向量,則與互補或相等,操作方法:1.空間中各種角包括:異面直線所成的角、直線與平面所成的角以及二面角。(1)異面直線所成的角的范圍是。轉(zhuǎn)化為共面問題。(2)直線與平面所成的角的范圍是。射影轉(zhuǎn)化法。(3)二面角的范圍一般是指,解題時要注意圖形的位置和題目的要求。作二面角的平面角常有三種方法①棱上一點雙垂線法:②面上一點三垂線法:③空間一點垂面法:斜面面積和射影面積的關(guān)系公式:(為原斜面面積,為射影面積,為斜面與射影所成二面角的平面角)這個公式對于斜面為三角形,任意多邊形都成立.是求二面角的好方法.當(dāng)作二面角的平面角有困難時,如果能找得斜面面積的射影面積,可直接應(yīng)用公式,求出
3、二面角的大小。2.空間的距離點線距,點面距,線線距,線面距,面面距都是對應(yīng)圖形上兩點間的最短距離。abEF3.空間向量的應(yīng)用(1)用法向量求異面直線間的距離如右圖所示,a、b是兩異面直線,是a和b的法向量,點E∈a,F(xiàn)∈b,則異面直線a與b之間的距離是;(2)用法向量求點到平面的距離ABCα如右圖所示,已知AB是平面α的一條斜線,為平面α的法向量,則A到平面α的距離為;(3)用法向量求直線到平面間的距離首先必須確定直線與平面平行,然后將直線到平面的距離問題轉(zhuǎn)化成直線上一點到平面的距離問題。(4)用法向量求兩平行平面間的距離首先必須確定兩個平面是否平行,這時可以在一個平面上任取一
4、點,將兩平面間的距離問題轉(zhuǎn)化成點到平面的距離問題。(5)用法向量求二面角如圖,有兩個平面α與β,分別作這兩個平面的法向量與,則平面α與β所成的角跟法向量與所成的角相等或互補,所以首先必須判斷二面角是銳角還是鈍角。(6)法向量求直線與平面所成的角要求直線a與平面α所成的角θ,先求這個平面α的法向量與直線a的夾角的余弦,易知θ=或者。αβ向量的應(yīng)用例題1.在四邊形ABCD中,·=0,=,則四邊形ABCD是A.直角梯形B.菱形C.矩形D.正方形解析:由·=0知⊥.由=知BCAD.∴四邊形ABCD是矩形.答案:C2.已知a、b是兩個非零向量,當(dāng)a+tb(t∈R)的模取最小值時,(1)求
5、t的值;(2)求證:b⊥(a+tb).解:(1)設(shè)a與b的夾角為θ,則
6、a+tb
7、2=(a+tb)2=
8、a
9、2+t2
10、b
11、2+2a·(tb)=
12、a
13、2+t2
14、b
15、2+2t
16、a
17、
18、b
19、cosθ=
20、b
21、2(t+cosθ)2+
22、a
23、2sin2θ,所以當(dāng)t=-cosθ=-=-時,
24、a+tb
25、有最小值.(2)證明:因為b·(a+tb)=b·(a-·b)=a·b-a·b=0,所以b⊥(a⊥tb).已知=a,=b,a·b=
26、a-b
27、=2,當(dāng)△AOB面積取最大值時,求a與b的夾角.解:因為
28、a-b
29、2=4,所以a2-2a·b+b2=4.所以
30、a
31、2+
32、b
33、2=4+2a·b=8,S△AOB=·s
34、inθ=
35、a
36、
37、b
38、==≤=,(當(dāng)且僅當(dāng)
39、a
40、=
41、b
42、=2時取等號)所以當(dāng)
43、a
44、=
45、b
46、=2時,△AOB的面積取最大值,這時,cosθ===,所以θ=60°.3.如圖,△ABC的BC邊的中點為M,利用向量證明:AB2+AC2=2(AM2+BM2).證明:設(shè)=m,=b,=c,則m=,m·m=·=b2+b·c+c2=AB2+AC2+AB·AC·cos∠BAC=AB2+AC2+AB·AC·=AB2+AC2+(AB2+AC2-BC2).∴AM2=AB2+AC2-BC2.又∵BC2=4BM2,∴AB2+AC2=2(AM2+BM2).4.已知A(4,0),N(1,0),若點P滿足·=6
47、
48、
49、.(1)求點P的軌跡方程,并說明該軌跡是什么曲線;(2)求
50、
51、的取值范圍;(3)若M(-1,0),求∠MPN在[0,π]上的取值范圍.解:(1)設(shè)P(x,y),=(x-4,y),=(1-x,-y),=(-3,0),∵·=6
52、
53、,∴-3(x-4)=6,即3x2+4y2=12.∴=1.∴P點的軌跡是以(-1,0)、(1,0)為焦點,長軸長為4的橢圓.(2)N(1,0)為橢圓的右焦點,x=4為右準(zhǔn)線,設(shè)P(x0,y0),P到右準(zhǔn)線的距離為d,d=4-x0,=e=,
54、PN
55、=d=.∵-2≤x0≤2,