數(shù)學(xué)建模-蒙特卡羅方法.ppt

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1、2017美賽培訓(xùn)：蒙特卡羅方法主講人：老教練報(bào)告人：陳蓉蓉陳雨路楊園園什么叫蒙特卡羅方法？蒙特卡羅方法又稱統(tǒng)計(jì)模擬法、隨機(jī)抽樣技術(shù)，是一種隨機(jī)模擬方法，以概率和統(tǒng)計(jì)理論方法為基礎(chǔ)的一種計(jì)算方法，是使用隨機(jī)數(shù)（或偽隨機(jī)數(shù)）來(lái)解決很多計(jì)算問(wèn)題的方法。將所求解的問(wèn)題同一定的概率模型相聯(lián)系，用電子計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)統(tǒng)計(jì)模擬或抽樣，以獲得問(wèn)題的近似解。為象征性地表明這一方法的概率統(tǒng)計(jì)特征，故借用賭城蒙特卡羅命名?；舅枷氘?dāng)所求問(wèn)題的解是某個(gè)事件的概率，或者是某個(gè)隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望，或者是與概率，數(shù)學(xué)期望有關(guān)的量時(shí)，通過(guò)某種試驗(yàn)的方法，得出該事件發(fā)生

2、的概率，或者該隨機(jī)變量若干個(gè)具體觀察值的算術(shù)平均值，通過(guò)它得到問(wèn)題的解。當(dāng)隨機(jī)變量的取值僅為1或0時(shí)，它的數(shù)學(xué)期望就是某個(gè)事件的概率?；蛘哒f(shuō)，某種事件的概率也是隨機(jī)變量（僅取值為1或0）的數(shù)學(xué)期望。蒙特卡羅方法的特點(diǎn)優(yōu)點(diǎn)：1、能夠比較逼真地描述具有隨機(jī)性質(zhì)的事物的特點(diǎn)及物理實(shí)驗(yàn)過(guò)程2、受幾何條件限制小3、收斂速度與問(wèn)題的維數(shù)無(wú)關(guān)4、具有同時(shí)計(jì)算多個(gè)方案與多個(gè)未知量的能力5、誤差容易確定6、程序結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，易于實(shí)現(xiàn)缺點(diǎn)：1收斂速度慢2誤差具有概率性3在粒子輸運(yùn)問(wèn)題中，計(jì)算結(jié)果與系統(tǒng)大小有關(guān)所以在使用蒙特卡羅方法時(shí)，要“揚(yáng)長(zhǎng)避短”，只對(duì)

3、問(wèn)題中難以用解析（或數(shù)值）方法處理的部分，使用蒙特卡羅方法計(jì)算，對(duì)那些能用解析（或數(shù)值）方法處理的部分，應(yīng)當(dāng)盡量使用解析方法主要應(yīng)用范圍粒子輸運(yùn)問(wèn)題（實(shí)驗(yàn)物理，反應(yīng)堆物理，高能物理）統(tǒng)計(jì)物理典型數(shù)學(xué)問(wèn)題真空技術(shù)激光技術(shù)以及醫(yī)學(xué)生物探礦什么是隨機(jī)數(shù)？在連續(xù)型隨機(jī)變量的分布中，最簡(jiǎn)單而且最基本的分布是單位均勻分布。由該分布抽取的簡(jiǎn)單子樣稱為隨機(jī)數(shù)序列，其中每一個(gè)體稱為隨機(jī)數(shù)符號(hào)：兩個(gè)特點(diǎn)：獨(dú)立性，均勻性產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)隨機(jī)數(shù)表方法物理方法隨機(jī)數(shù)表隨機(jī)數(shù)表是由0,1,2,3,4,5,6,7,8,9十個(gè)數(shù)字組成，每個(gè)數(shù)字以0.1的等概率出現(xiàn)，數(shù)

4、字之間相互獨(dú)立，這些數(shù)字序列叫作隨機(jī)數(shù)字序列。（如果要得到n位有效數(shù)字的隨機(jī)數(shù)，只需將表中每n個(gè)相鄰的隨機(jī)數(shù)字合并在一起，且在最高位的前邊加上小數(shù)點(diǎn)即可。例如，某隨機(jī)數(shù)表的第一行數(shù)字為763425891...，要想得到三位有效數(shù)字的隨機(jī)數(shù)一次為0.763，0.425，0.891...）物理方法利用某些物理現(xiàn)象，在計(jì)算機(jī)上增加些特殊設(shè)備，可以在計(jì)算機(jī)上直接產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)。作為隨機(jī)數(shù)發(fā)生器的物理源主要有兩種：一種是根據(jù)放射性物質(zhì)的放射性，另一種是利用計(jì)算機(jī)的固有噪聲。一般情況下，任意一個(gè)隨機(jī)數(shù)在計(jì)算機(jī)內(nèi)總是用二進(jìn)制的數(shù)表示的：其中或者為0

5、，或者為1。因此，利用物理方法在計(jì)算機(jī)產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)，就是要產(chǎn)生只取0或1的隨機(jī)數(shù)字序列，數(shù)字之間相互獨(dú)立，每個(gè)數(shù)字取0或1的概率均為0.5缺點(diǎn)隨機(jī)數(shù)表需在計(jì)算機(jī)中占有很大內(nèi)存，而且也難以滿足蒙特卡羅方法對(duì)隨機(jī)數(shù)需要量非常大的要求，因此，該方法不適于在計(jì)算機(jī)上使用。物理方法產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)序列無(wú)法重復(fù)實(shí)現(xiàn)，不能進(jìn)行程序復(fù)算。給驗(yàn)證結(jié)果帶來(lái)很大困難。而且增加隨機(jī)數(shù)發(fā)生器和電路聯(lián)接等附加設(shè)備，費(fèi)用昂貴。因此該方法也不適合在計(jì)算機(jī)上使用。偽隨機(jī)數(shù)用遞推公式產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)序列。偽隨機(jī)數(shù)存在的兩個(gè)問(wèn)題遞推公式和初始值確定后，整個(gè)隨機(jī)數(shù)序列便被唯一確定。

6、不滿足隨機(jī)數(shù)相互獨(dú)立的要求。由于隨機(jī)數(shù)序列是由遞推公式確定的，而在計(jì)算機(jī)上所能表示的[0，1]上的數(shù)又是有限的，因此，這種方法產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)序列就不可能不出現(xiàn)重復(fù)。隨機(jī)數(shù)序列出現(xiàn)周期性的循環(huán)現(xiàn)象。解決方案第一個(gè)問(wèn)題：不能從本質(zhì)上加以改變，但只要遞推公式選的比較好，隨機(jī)數(shù)間的相互獨(dú)立性是可以近似滿足的。第二個(gè)問(wèn)題：因?yàn)橛妹商乜_方法解任何具體問(wèn)題時(shí)，所使用的隨機(jī)數(shù)的個(gè)數(shù)總是有限的，只要所用隨機(jī)數(shù)的個(gè)數(shù)不超過(guò)偽隨機(jī)數(shù)序列出現(xiàn)循環(huán)現(xiàn)象時(shí)的長(zhǎng)度就可以了。應(yīng)用：蒙特卡羅方法計(jì)算積分可以通俗地說(shuō)，蒙特卡羅方法是用隨機(jī)試驗(yàn)的方法計(jì)算積分，即將所要

7、計(jì)算的積分看作服從某種分布密度函數(shù)f(r)的隨機(jī)變量ｇ(r)的數(shù)學(xué)期望通過(guò)某種試驗(yàn)，得到Ｎ觀察值r1，r2，…，rN（用概率語(yǔ)言來(lái)說(shuō)，從分布密度函數(shù)f(r)中抽?。蝹€(gè)子樣r1，r2，…，rN，），將相應(yīng)的Ｎ個(gè)隨機(jī)變量的值g(r1)，g(r2)，…，g(rN)的算術(shù)平均值作為積分的估計(jì)值（近似值）。求積分（2.1）蒙特卡羅方法步驟如下：1、在區(qū)間【a,b】上利用計(jì)算機(jī)均勻產(chǎn)生n個(gè)隨機(jī)數(shù)x1，x2·····xn，這個(gè)可以在MATLAB軟件中用unifrnd命令實(shí)現(xiàn)。2、計(jì)算每一個(gè)隨機(jī)數(shù)相應(yīng)的被積函數(shù)值f（x1），f（x2）····f（

8、xn）。3、計(jì)算被積函數(shù)值的平均值4、所以2.1式的值≈簡(jiǎn)單定積分例子：用蒙特卡羅方法求首先我們進(jìn)行嚴(yán)格的數(shù)學(xué)計(jì)算，便于后面與蒙特卡洛計(jì)算方法所得結(jié)果形成對(duì)比：已知的原函數(shù)是，那么定積分值就是：我們可以在Matlab中輸入以下代碼進(jìn)行精確計(jì)算：ex