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1、2017美賽培訓：蒙特卡羅方法主講人：老教練報告人：陳蓉蓉陳雨路楊園園什么叫蒙特卡羅方法？蒙特卡羅方法又稱統(tǒng)計模擬法、隨機抽樣技術(shù)，是一種隨機模擬方法，以概率和統(tǒng)計理論方法為基礎(chǔ)的一種計算方法，是使用隨機數(shù)（或偽隨機數(shù)）來解決很多計算問題的方法。將所求解的問題同一定的概率模型相聯(lián)系，用電子計算機實現(xiàn)統(tǒng)計模擬或抽樣，以獲得問題的近似解。為象征性地表明這一方法的概率統(tǒng)計特征，故借用賭城蒙特卡羅命名。基本思想當所求問題的解是某個事件的概率，或者是某個隨機變量的數(shù)學期望，或者是與概率，數(shù)學期望有關(guān)的量時，通過某種試驗的方法，得出該事件發(fā)生
2、的概率，或者該隨機變量若干個具體觀察值的算術(shù)平均值，通過它得到問題的解。當隨機變量的取值僅為1或0時，它的數(shù)學期望就是某個事件的概率?；蛘哒f，某種事件的概率也是隨機變量（僅取值為1或0）的數(shù)學期望。蒙特卡羅方法的特點優(yōu)點：1、能夠比較逼真地描述具有隨機性質(zhì)的事物的特點及物理實驗過程2、受幾何條件限制小3、收斂速度與問題的維數(shù)無關(guān)4、具有同時計算多個方案與多個未知量的能力5、誤差容易確定6、程序結(jié)構(gòu)簡單，易于實現(xiàn)缺點：1收斂速度慢2誤差具有概率性3在粒子輸運問題中，計算結(jié)果與系統(tǒng)大小有關(guān)所以在使用蒙特卡羅方法時，要“揚長避短”，只對
3、問題中難以用解析（或數(shù)值）方法處理的部分，使用蒙特卡羅方法計算，對那些能用解析（或數(shù)值）方法處理的部分，應當盡量使用解析方法主要應用范圍粒子輸運問題（實驗物理，反應堆物理，高能物理）統(tǒng)計物理典型數(shù)學問題真空技術(shù)激光技術(shù)以及醫(yī)學生物探礦什么是隨機數(shù)？在連續(xù)型隨機變量的分布中，最簡單而且最基本的分布是單位均勻分布。由該分布抽取的簡單子樣稱為隨機數(shù)序列，其中每一個體稱為隨機數(shù)符號：兩個特點：獨立性，均勻性產(chǎn)生隨機數(shù)隨機數(shù)表方法物理方法隨機數(shù)表隨機數(shù)表是由0,1,2,3,4,5,6,7,8,9十個數(shù)字組成，每個數(shù)字以0.1的等概率出現(xiàn)，數(shù)
4、字之間相互獨立，這些數(shù)字序列叫作隨機數(shù)字序列。（如果要得到n位有效數(shù)字的隨機數(shù)，只需將表中每n個相鄰的隨機數(shù)字合并在一起，且在最高位的前邊加上小數(shù)點即可。例如，某隨機數(shù)表的第一行數(shù)字為763425891...，要想得到三位有效數(shù)字的隨機數(shù)一次為0.763，0.425，0.891...）物理方法利用某些物理現(xiàn)象，在計算機上增加些特殊設(shè)備，可以在計算機上直接產(chǎn)生隨機數(shù)。作為隨機數(shù)發(fā)生器的物理源主要有兩種：一種是根據(jù)放射性物質(zhì)的放射性，另一種是利用計算機的固有噪聲。一般情況下，任意一個隨機數(shù)在計算機內(nèi)總是用二進制的數(shù)表示的：其中或者為0
5、，或者為1。因此，利用物理方法在計算機產(chǎn)生隨機數(shù)，就是要產(chǎn)生只取0或1的隨機數(shù)字序列，數(shù)字之間相互獨立，每個數(shù)字取0或1的概率均為0.5缺點隨機數(shù)表需在計算機中占有很大內(nèi)存，而且也難以滿足蒙特卡羅方法對隨機數(shù)需要量非常大的要求，因此，該方法不適于在計算機上使用。物理方法產(chǎn)生的隨機數(shù)序列無法重復實現(xiàn)，不能進行程序復算。給驗證結(jié)果帶來很大困難。而且增加隨機數(shù)發(fā)生器和電路聯(lián)接等附加設(shè)備，費用昂貴。因此該方法也不適合在計算機上使用。偽隨機數(shù)用遞推公式產(chǎn)生隨機數(shù)序列。偽隨機數(shù)存在的兩個問題遞推公式和初始值確定后，整個隨機數(shù)序列便被唯一確定。
6、不滿足隨機數(shù)相互獨立的要求。由于隨機數(shù)序列是由遞推公式確定的，而在計算機上所能表示的[0，1]上的數(shù)又是有限的，因此，這種方法產(chǎn)生的隨機數(shù)序列就不可能不出現(xiàn)重復。隨機數(shù)序列出現(xiàn)周期性的循環(huán)現(xiàn)象。解決方案第一個問題：不能從本質(zhì)上加以改變，但只要遞推公式選的比較好，隨機數(shù)間的相互獨立性是可以近似滿足的。第二個問題：因為用蒙特卡羅方法解任何具體問題時，所使用的隨機數(shù)的個數(shù)總是有限的，只要所用隨機數(shù)的個數(shù)不超過偽隨機數(shù)序列出現(xiàn)循環(huán)現(xiàn)象時的長度就可以了。應用：蒙特卡羅方法計算積分可以通俗地說，蒙特卡羅方法是用隨機試驗的方法計算積分，即將所要
7、計算的積分看作服從某種分布密度函數(shù)f(r)的隨機變量ｇ(r)的數(shù)學期望通過某種試驗，得到Ｎ觀察值r1，r2，…，rN（用概率語言來說，從分布密度函數(shù)f(r)中抽?。蝹€子樣r1，r2，…，rN，），將相應的Ｎ個隨機變量的值g(r1)，g(r2)，…，g(rN)的算術(shù)平均值作為積分的估計值（近似值）。求積分（2.1）蒙特卡羅方法步驟如下：1、在區(qū)間【a,b】上利用計算機均勻產(chǎn)生n個隨機數(shù)x1，x2·····xn，這個可以在MATLAB軟件中用unifrnd命令實現(xiàn)。2、計算每一個隨機數(shù)相應的被積函數(shù)值f（x1），f（x2）····f（
8、xn）。3、計算被積函數(shù)值的平均值4、所以2.1式的值≈簡單定積分例子：用蒙特卡羅方法求首先我們進行嚴格的數(shù)學計算，便于后面與蒙特卡洛計算方法所得結(jié)果形成對比：已知的原函數(shù)是，那么定積分值就是：我們可以在Matlab中輸入以下代碼進行精確計算：ex
