中心力場(chǎng)三維定態(tài)問(wèn)題課件.ppt

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1、第6章三維定態(tài)問(wèn)題（1）中心力場(chǎng)的主要性質(zhì)（2）簡(jiǎn)單的三維定態(tài)問(wèn)題（3）兩體問(wèn)題（4）中心力場(chǎng)（5）氫原子（6）帶電粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)內(nèi)容提要1、中心力場(chǎng)的一般性質(zhì)角動(dòng)量守恒與徑向方程徑向波函數(shù)的漸近行為兩體問(wèn)題向單體的轉(zhuǎn)化2、球方勢(shì)阱無(wú)限深球方勢(shì)阱有限深球方勢(shì)阱3、三維各向同性諧振子球坐標(biāo)下的本征方程及解和性質(zhì)直角坐標(biāo)系下本征方程解4、氫原子能量本征方程、本征值和本征波函數(shù)能級(jí)簡(jiǎn)并度徑向位置幾率分布幾率分布與角度的關(guān)系電流分布與磁矩自然界中中心力場(chǎng)是個(gè)廣泛的問(wèn)題；中心力場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的粒子保持角動(dòng)量守恒，無(wú)論是經(jīng)典力學(xué)還是量子力學(xué)

2、都是如此。現(xiàn)看經(jīng)典力學(xué)情形:中心力場(chǎng)的一般性質(zhì)1、角動(dòng)量守恒與徑向方程（2）簡(jiǎn)單三維問(wèn)題粒子的勢(shì)能在直角坐標(biāo)系中的表達(dá)形式：哈密頓算符：定態(tài)薛定諤方程：分離變量：顯然上式每一項(xiàng)都必定是常數(shù)，可以記為E1E2E3代入薛定諤方程：例題：求粒子在三維無(wú)限深方勢(shì)阱中運(yùn)動(dòng)的定態(tài)能量和波函數(shù)分離變量：定態(tài)能量和波函數(shù)可以表示為（3）兩體問(wèn)題體系由兩個(gè)粒子組成，兩個(gè)粒子之間的相互作用勢(shì)只與相對(duì)位置有關(guān)薛定諤方程引入質(zhì)心坐標(biāo)R與相對(duì)坐標(biāo)r：方程可以變?yōu)椋悍纸獬蓛蓚€(gè)方程：體系Hamilton量H的本征方程對(duì)于勢(shì)能只與r有關(guān)而與θ,?無(wú)關(guān)的有心力

3、場(chǎng)，使用球坐標(biāo)求解較為方便。于是方程可改寫為：V=-Ze2/r考慮一電子在一帶正電的核所產(chǎn)生的電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，電子質(zhì)量為μ，電荷為-e，核電荷為+Ze。取核在坐標(biāo)原點(diǎn)，電子受核電的吸引勢(shì)能為：?xz球坐標(biāo)r?y此式使用了角動(dòng)量平方算符L2的表達(dá)式：4中心力場(chǎng)（二）求解Schrodinger方程（1）分離變量化簡(jiǎn)方程ψ(r,θ,?)=R(r)Ylm(θ,?)令注意到L2Ylm=?(?+1)?2Ylm則方程化為：令R(r)=u(r)/r代入上式得：若令討論E<0情況，方程可改寫如下：于是化成了一維問(wèn)題，勢(shì)V(r)稱為等效勢(shì)，它由離心勢(shì)

4、和庫(kù)侖勢(shì)兩部分組成。令（2）求解(I)解的漸近行為ρ→∞時(shí)，方程變?yōu)樗钥扇〗鉃橛邢扌詶l件要求A'=0???2(II)求級(jí)數(shù)解令為了保證有限性條件要求：當(dāng)r→0時(shí)R=u/r→有限成立即代入方程令ν'=ν-1第一個(gè)求和改為:把第一個(gè)求和號(hào)中ν=0項(xiàng)單獨(dú)寫出，則上式改為：再將標(biāo)號(hào)ν'改用ν后與第二項(xiàng)合并，代回上式得：[s(s-1)-?(?+1)]b0=0→s(s-1)-?(?+1)=0S=-?不滿足s≥1條件，舍去。s=?+1高階項(xiàng)系數(shù)：[(ν+s+1)(ν+s)-?(?+1)]bν+1+(β-ν-s)bν=0系數(shù)bν的遞推公式注

5、意到s=?+1上式之和恒等于零，所以ρ得各次冪得系數(shù)分別等于零，即（三）使用標(biāo)準(zhǔn)條件定解（3）有限性條件（1）單值；（2）連續(xù)。二條件滿足1.ρ→0時(shí)，R(r)有限已由s=?+1條件所保證。2.ρ→∞時(shí)，f(ρ)的收斂性如何？需要進(jìn)一步討論。所以討論波函數(shù)的收斂性可以用eρ代替f(ρ)后項(xiàng)與前項(xiàng)系數(shù)之比級(jí)數(shù)eρ與f(ρ)收斂性相同可見(jiàn)若f(ρ)是無(wú)窮級(jí)數(shù)，則波函數(shù)R不滿足有限性條件，所以必須把級(jí)數(shù)從某項(xiàng)起截?cái)?。與諧振子問(wèn)題類似，為討論f(ρ)的收斂性現(xiàn)考察級(jí)數(shù)后項(xiàng)系數(shù)與前項(xiàng)系數(shù)之比：最高冪次項(xiàng)的νmax=nr令注意此時(shí)多項(xiàng)式最

6、高項(xiàng)的冪次為nr+?+1則于是遞推公式改寫為量子數(shù)取值由?定義式由此可見(jiàn)，在粒子能量小于零情況下（束縛態(tài)）僅當(dāng)粒子能量取En給出的分立值時(shí)，波函數(shù)才滿足有限性條件的要求。?En<0將β=n代入遞推公式：利用遞推公式可把b1,b2,...,bn-?-1用b0表示出來(lái)。將這些系數(shù)代入f(?)表達(dá)式得：其封閉形式如下：締合拉蓋爾多項(xiàng)式總波函數(shù)為：至此只剩b0需要?dú)w一化條件確定則徑向波函數(shù)公式：徑向波函數(shù)第一Borh軌道半徑使用球函數(shù)的歸一化條件：利用拉蓋爾多項(xiàng)式的封閉形式采用與求諧振子波函數(shù)歸一化系數(shù)類似的方法就可求出歸一化系數(shù)表達(dá)

7、式如下：從而系數(shù)b0也就確定了（四）歸一化系數(shù)下面列出了前幾個(gè)徑向波函數(shù)Rnl表達(dá)式：（1）本征值和本征函數(shù)（2）能級(jí)簡(jiǎn)并性能量只與主量子數(shù)n有關(guān)，而本征函數(shù)與n,?,m有關(guān)，故能級(jí)存在簡(jiǎn)并。當(dāng)n確定后，?=n-nr-1，所以?最大值為n-1。當(dāng)?確定后，m=0,±1,±2,....,±?。共2?+1個(gè)值。所以對(duì)于En能級(jí)其簡(jiǎn)并度為：即對(duì)能量本征值En由n2個(gè)本征函數(shù)與之對(duì)應(yīng)，也就是說(shuō)有n2個(gè)量子態(tài)的能量是En。n=1對(duì)應(yīng)于能量最小態(tài)，稱為基態(tài)能量，E1=μZ2e4/2?2，相應(yīng)基態(tài)波函數(shù)是ψ100=R10Y00，所以基態(tài)是非

8、簡(jiǎn)并態(tài)。當(dāng)E<0時(shí)，能量是分立譜，束縛態(tài)，束縛于阱內(nèi)，在無(wú)窮遠(yuǎn)處，粒子不出現(xiàn)，有限運(yùn)動(dòng),波函數(shù)可歸一化為一。n=nr+?+l?=0,1,2,...nr=0,1,2,...（五）總結(jié)（3）簡(jiǎn)并度與力場(chǎng)對(duì)稱性由上面求解過(guò)程可以知道，由于庫(kù)侖場(chǎng)是球?qū)ΨQ的，所以徑向方程與m無(wú)關(guān)，而與