希爾伯特的23個(gè)問(wèn)題課件.ppt

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1、希爾伯特的23個(gè)問(wèn)題郁佩1.連續(xù)統(tǒng)假設(shè)1）康托的連續(xù)統(tǒng)假設(shè)問(wèn)題。1874年，康托猜測(cè)在可數(shù)集基數(shù)和實(shí)數(shù)集基數(shù)之間沒(méi)有別的基數(shù)，即著名的連續(xù)統(tǒng)假設(shè)。1963年，美國(guó)數(shù)學(xué)家科思證明連續(xù)統(tǒng)假設(shè)與ZF公理彼此獨(dú)立。因而，連續(xù)統(tǒng)假設(shè)不能用ZF公理加以證明。2.算術(shù)公理的相容性算術(shù)公理的相容性哥德?tīng)栐?931年證明了希爾伯特關(guān)于算術(shù)公理化相容性的“元數(shù)學(xué)”綱領(lǐng)不可能實(shí)現(xiàn)。3.兩等底等高四面體體積之相等只根據(jù)合同公理證明等底等高的兩個(gè)四面體有相等之體積是不可能的。問(wèn)題的意思是：存在兩個(gè)等高等底的四面體，它們不可能分解為有限個(gè)小四面體，使這兩組四面體彼此全等德思1900年已解決。4直

2、線為兩點(diǎn)間的最短距離此問(wèn)題提的一般。滿足此性質(zhì)的幾何很多，因而需要加以某些限制條件。1973年，蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家波格列洛夫宣布，在對(duì)稱距離情況下，問(wèn)題獲解決。5.拓?fù)鋵W(xué)成為李群的條件（拓?fù)淙海┻@一個(gè)問(wèn)題簡(jiǎn)稱連續(xù)群的解析性，即是否每一個(gè)局部歐氏群都一定是李群。1952年，由格里森、蒙哥馬利、齊賓共同解決。1953年，日本的山邁英彥已得到完全肯定的結(jié)果。6.物理公理的數(shù)學(xué)處理1933年，蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家柯?tīng)柲缏宸驅(qū)⒏怕收摴砘?。后?lái)，在量子力學(xué)、量子場(chǎng)論方面取得成功。7.某些數(shù)的無(wú)理性和超越性需證：如果α是代數(shù)數(shù)，β是無(wú)理數(shù)的代數(shù)數(shù)，那么αβ一定是超越數(shù)或至少是無(wú)理數(shù)。蘇聯(lián)的蓋爾封特1

3、929年、德國(guó)的施奈德及西格爾1935年分別獨(dú)立地證明了其正確性。但超越數(shù)理論還遠(yuǎn)未完成。目前，確定所給的數(shù)是否超越數(shù)，尚無(wú)統(tǒng)一的方法。8.素?cái)?shù)問(wèn)題素?cái)?shù)分布問(wèn)題，尤其對(duì)黎曼猜想、哥德巴赫猜想和孿生素共問(wèn)題。素?cái)?shù)是一個(gè)很古老的研究領(lǐng)域。希爾伯特在此提到黎曼猜想、哥德巴赫猜想以及孿生素?cái)?shù)問(wèn)題。黎曼猜想至今未解決。9.任意數(shù)域中最一般互反律的證明1921年由日本的高木貞治，1927年由德國(guó)的阿廷各自給以基本解決。而類(lèi)域理論至今還在發(fā)展之中。10.丟番圖方程可解性判別1970年，蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家馬蒂塞維奇最終證明：不存在判定任一給定丟番圖方程有無(wú)整數(shù)解的一般算法。11.一般代數(shù)數(shù)域內(nèi)

4、的二次型論12.類(lèi)域的構(gòu)成問(wèn)題11.德國(guó)數(shù)學(xué)家哈塞和西格爾在20年代獲重要結(jié)果。60年代，法國(guó)數(shù)學(xué)家魏依取得了新進(jìn)展。12.即將阿貝爾域上的克羅內(nèi)克定理推廣到任意的代數(shù)有理域上去。此問(wèn)題僅有一些零星結(jié)果，離徹底解決還很遠(yuǎn)。13.不可能用僅有兩個(gè)變數(shù)的函數(shù)解一般的七次方程七次方程x7+ax3+bx2+cx+1=0的根依賴于3個(gè)參數(shù)a、b、c；x=x(a,b,c)。這一函數(shù)能否用兩變量函數(shù)表示出來(lái)？1957年，蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家德阿諾爾解決了這個(gè)問(wèn)題。14.證明某類(lèi)完全函數(shù)系的有限性域K上的以x1,x2,…,xn為自變量的多項(xiàng)式fi（i=1,…，m），R為K〔X1，…，Xm]上的有

5、理函數(shù)F（X1，…，Xm）構(gòu)成的環(huán)，并且F（f1，…，fm）∈K[x1，…，xm]試問(wèn)R是否可由有限個(gè)元素F1，…，F(xiàn)N的多項(xiàng)式生成？這個(gè)與代數(shù)不變量問(wèn)題有關(guān)的問(wèn)題，日本數(shù)學(xué)家永田雅宜于1959年用漂亮的反例給出了否定的解決。15.舒伯特計(jì)數(shù)演算的嚴(yán)格基礎(chǔ)一個(gè)典型的問(wèn)題是：在三維空間中有四條直線，問(wèn)有幾條直線能和這四條直線都相交？舒伯特給出了一個(gè)直觀的解法。希爾伯特要求將問(wèn)題一般化，并給以嚴(yán)格基礎(chǔ)?，F(xiàn)在已有了一些可計(jì)算的方法，它和代數(shù)幾何學(xué)有密切的關(guān)系。但嚴(yán)格的基礎(chǔ)至今仍未建立。16.代數(shù)曲線和曲面的拓?fù)溲芯坑泻芏嘀匾慕Y(jié)果1957年，中國(guó)數(shù)學(xué)家秦元?jiǎng)缀推迅唤鹁唧w給出了n

6、＝2的方程具有至少3個(gè)成串極限環(huán)的實(shí)例。1978年，中國(guó)的史松齡在秦元?jiǎng)?、華羅庚的指導(dǎo)下，與王明淑分別舉出至少有4個(gè)極限環(huán)的具體例子。1983年，秦元?jiǎng)走M(jìn)一步證明了二次系統(tǒng)最多有4個(gè)極限環(huán)，并且是（1，3）結(jié)構(gòu)，從而最終地解決了二次微分方程的解的結(jié)構(gòu)問(wèn)題，并為研究希爾伯特第（16）問(wèn)題提供了新的途徑。17.半正定形式的平方和表示實(shí)系數(shù)有理函數(shù)f(x1,…，xn)對(duì)任意數(shù)組（x1，…,xn）都恒大于或等于0，確定f是否都能寫(xiě)成有理函數(shù)的平方和？1927年阿廷已肯定地解決。18.由全等多面體的構(gòu)造空間德國(guó)數(shù)學(xué)家比貝爾巴赫1910年，萊因哈特1928年作出部分解決19.正則變

7、分問(wèn)題的解是否總是解析函數(shù)？德國(guó)數(shù)學(xué)家伯恩斯坦（1929）和蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家彼德羅夫斯基（1939）已解決20.研究一般邊值問(wèn)題。此問(wèn)題進(jìn)展迅速，己成為一個(gè)很大的數(shù)學(xué)分支。日前還在繼讀發(fā)展。21.具有給定單值群的微分方程的存在性此問(wèn)題屬線性常微分方程的大范圍理論。希爾伯特本人于1905年、勒爾于1957年分別得出重要結(jié)果。1970年法國(guó)數(shù)學(xué)家德利涅作出了出色貢獻(xiàn)。22.解析函數(shù)的單值化此問(wèn)題涉及艱深的黎曼曲面理論，1907年克伯對(duì)一個(gè)變量情形已解決而使問(wèn)題的研究獲重要突破。其它方面尚未解決。23.發(fā)展變分學(xué)方法的研究這不是